复数复习课教案 1
教学目的
(1)使学生理解复数集与实数集的相互联系与区别，进一步弄清复数的有
关概念．
(2)使学生掌握解复数问题的基本思想方法，提高学生分析问题和解决问
题的能力．
教学过程
师：在作业中，我看到有的学生对下面问题的证明：
[例 1] 求证|z1＋z2|2＋|z1－z2|2=2|z1|2＋2|z2|2．
证明 |z1＋z2|2＋|z1－z2|2
=(z1＋z2)2＋(z1－z2)2
①
②
③
=2|z1|2＋2|z2|2．
④
这种证法对不对呢？错的话，错在什么地方呢？
生：第一步就错了，因为|z1＋z2|2与(z1＋z2)2不恒等．最后一步也错了．
师：错在第①、④两步．这两步实际上运用了|z|2=z2．这个式子当z∈R
时是正确的，但当z∈C 且z R 时，这个式子就不正确了．因为左边是一个实
数，而右边却不一定是一个实数．
(板书．)
实数的某些性质，复数也具备．但实数的有一些性质，复数却不具备．因
此我们要注意实数与复数的联系与区别．
另外，这是一个涉及复数模的命题，怎样证明这道题呢？
(学生口答，教师板书．)
证明 设z1=a1＋b1i，z2=a2＋b2i，则
|z1＋z2|2＋|z1－z2|2
=|(a1＋b1i)＋(a2＋b2i)|2＋|(a1＋b1i)－(a2＋b2i)|2
=|(a1＋a2)＋(b1＋b2)i|2＋|(a1－a2)＋(b1－b2)i|2
=(a1＋a2)2＋(b1＋b2)2＋(a1－a2)2＋(b1－b2)2
=2|z1|2＋2|z2|2．
师：上面的证法是借助于复数的代数表示形式来解决问题的．通过这个
例题，我们是否可以总结出这样一个数学方法，即证明有关复数z的命题，可
采用设z=a＋bi，运用复数运算法则和实数有关性质，通过计算来证明．这是
一个重要的方法．用这个方法可以证明下述命题成立：
(1)|z1＋z2≤|z1|＋|z2|，
|z1·z2|=|z1|·|z2|，
还可进一步证明：
|z1＋z2＋…zn|≤|z1|＋|z2|＋…＋|zn|，
|z1·z2·…·zn|=|z1|·|z2|·…·|zn|，
|zn|=|z|n．
面的公式．
|z1＋z2|2=？ |z1－z2|2=？
(学生推导公式，略．)
师：应用上面的公式就可以证明例1．
证明 |z1＋z2|2＋|z1－z2|2
这个例题我们用了两种证法：一种是运用复数的代数形式，设z=a＋bi，
根据复
数四则运算的法则，实数的有关性质，通过计算推出结论；另一种是运用
公式|z|2=
方法用得适当，可以简化证明过程．请看下面问题．
[例 2] 已知z1、z2∈C，z1z2=0，求证z1、z2中至少有一个是0．
这个问题怎么解？
生：我打算用反证法来证明．假设z1、z2都不是0，即z1≠0，z2≠0，那么
两个都不是0的数的积不等于0，也就是z1·z2≠0，这与已知z1z2=0矛盾，所
以z1、z2至少有一个是0．
师：这种证法对不对呢？错在什么地方呢？
(学生议论纷纷，教师启发．)
师：原命题与逆否命题有什么关系？
生：是等价的．即同真同假．
师：这位同学的证法犯了逻辑错误．他在逆否命题未得到证明的情况下，
用逆否命题去推证原命题成立．这也是很多同学易犯的错误．现在我们进一步
来分析这个命题的条件和结论．
下面我们要证明在复数集中这个性质也成立，即当z1、z2∈C 时，命题成立．
z2=0，或z1=0，z2=0．
(4)这个习题可不可以用例1的两种方法证明呢？
(学生思考、讨论、口答，教师板书．)
证明 设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i， 则
z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)
=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i
=0．
①、②两式平方相加，得
∴ a1=b1=0 或 a2=b2=0．
因此， z1=0 或 z2=0．
师：在上述证明中得出①、②两式时，还可以用讨论的方法得出a1=b1=0
或 a2=b2=0，进而得出z1=0或 z2=0．于是又得到下面的证明．
证明 ……
当b1=0时，有z1=0；
当b1≠0时，可得a2=b2=0，即z2=0．
综上所述，得出z1=0或 z2=0
|z2|的等式，从而由|z1|=0或|z2|=0得出z1=0或 z2=0的结论呢？
(学生思考、口答，教师板书．)
证明 ∵ z1z2=0，
|z1|2·|z2|2=0．
∴ |z1|=0 或 |z2|=0．
因此z1=0或 z2=0．
师：很好！这个证明方法，运用了共轭复数的运算性质．
生：还可以有下面的证法．
证明 ∵ z1z2=0，
∴ |z1z2|=0，
|z1|·|z2|=0，
∴|z1|=0 或 |z2|=0，
即 z1=0 或 z2=0．
师：这种证法运用了复数模的运算性质．上述证明方法都是采用综合法
中的直接证法．可不可以用反证法、分析法证明呢？
(学生练习用反证法、分析法证明此题．)
师：(小结)在证明有关复数z的命题时，常采用这样的方法，设
z=a+bi，运用复数运算法则和实数有关性质，通过计算得出证明；涉及复数的
模的有关问题，可考虑
下面布置作业：
1．用代数法证明|z1+z2|≤|z1|+|z2|，|z1·z2|=|z1|·|z2|．
2．用数学归纳法证明|z1+z2+…+zn|≤|z1|+|z2|+…+|zn|．
3．将例2中的证法二改为反证法．
自我评述
(1)实数集扩充到复数集以后，要注意在两个不同数集内考虑问题的联系
与区别，有些问题在复数集中比实数集中要复杂．
在教材中，解复数问题的一些重要方法，是通过习题给出的．因此，教学
中应充分注意习题的作用．
本节课将教材中的两个习题作为例题，在学生已经做过的基础上，给予分
析和总结，重点阐述了下述两种证明有关复数命题的方法：一是设z=a+bi，使
用复数的运算法则和实数有关性质，通过计算得出证明的方法；二是证明有关
复数模的命题，应
的方法．
(2)通过分析学生的错误，再讲述正确的方法．在讲述正确方法时，着重
分析条件与结论间的关系及证明的思路．这样做，便于学生接受，从而提高学
生分析问题的能力．
一个习题可能有多种解法．应该从条件与结论的几种不同途径的联系进行
分析，自然地引出多种解法．
在一个习题的多种解法中，有的较繁，有的较简．不能简单地认为较繁的
方法是不好的而不去分析讲解．例如本节例2的证法二是较繁的，但由于它涉
及到用分类去证明，这种方法有助于提高学生的逻辑思维能力，是不能不讲的．
在教学中讲解例题，重点不是讲怎样解，而是为什么这样解，从而达到会
解一类题，提高分析问题的能力．
(3)学生在证明平面几何、立体几何问题时，比较注意推理的严谨性，每一
步都能考虑是根据哪个定义、公理、定理进行的．但在证明代数问题时，有些学
生不注意证明过程的严谨性，不知道推理过程的根据，只知顺其自然地推导下
去，教师在讲解代数问题时，应引导学生搞清推导每一步的根据．代数课程同
样也是培养学生逻辑思维能力的有力工具．
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