0 0 类别 : 教案

第十二教时 二项式定理(二) 【教材】10.4二项式定理 【目的】1.正确运用二项式定理,解决与之相关的恒等式证明问题,进一步熟悉二项展开式通项 公式,灵活地应用于复杂的多项式中,求某些项系数的问题. 2.会利用二项式定理解决某些近似计算以及整除性问题. 【过程】： 一、复习引入 提问:写出二项式定理及其展开式的通项公式 引入:今天这节课我们学习运用二项式定理. 二、新课 1.二项式定理的应用 例1 ①计算: )1(5)1(10)1(10)1(5)1( 2345  xxxxx ②计算: nnnnn CCC 2421 21   指出:本例是二项式定理的逆用.若正用二项式定理,亦可求解,但过程较繁. ① 11]1)1[( 5 x ② n3 例2 证明恒等式: 101010110010 2 CCC  指出:本题的证明方法值得注意,它是对二项式定理中的 a 、b取某些特殊值. 引伸:化简 nnnnnnnnn CxCxCxC )1(22110    答案: nx )1(  例3 计算 6998.0 的近似值.(精确到0.001) 分 析 : 66 6 22 6 11 6 0 6 66 )002.0()002.0()002.0()002.01(998.0  CCCC  由于展开式中第三项为 00006.0002.015002.0 2226 C ,小于 001.0 ,从而以后各项的绝对值更小,故可以忽略不计,则 988.0)002.0()002.01(998.0 1160666  CC . 例 4 求证 )(983 *22 Nnnn  能被64整除. 分析:考虑到用二项式定理证明,就需要多项式展开后的各项尽量多的含有 28 的 式子.因此,可将 223 n 化成 112 )18()3(   nn 再进行展开,化简即可证 得. 引伸:①求证 1923  能被10整除;②求 138 除以9的余数. 2.通项公式的应用 例 5 求 7)21( x 的展开式中第四项的二项式系数及第四项的系数. 例6 求 9)1( xx  的展开式中 3x 的系数及 3x 的二项式系数. 例7 求 52 )1()1( xx  的展开式中 3x 的系数. 思路:利用通项公式 rrnrnr baCT  1 ,则 2)1( x 的通项公式 rrr xCT  21 , }2,1,0{r 5)1( x 的通项公式 kkkkkk xCxCT 551 )1()(  , }5,4,3,2,1,0{k 令 3 rk ,则     2 1 r k 或     1 2 r k 或     0 3 r k 从而 3x 的系数为 535251215  CCCC 引伸:求 103 )1)(1( xx  的展开式中 5x 的系数. ( 答案:207 ) 例 8 求 153 )1( xx  的展开式中的常数项和有理项. 分析:设展开式中的常数项为第 1r 项,则 6 530 15 153 151 )1()1()()1( r rrrrrr r xCxxCT     (*) 由题意得 06 530  r ,解得 6r , 所以展开式中的常数项为第7项 5005)1( 6156167   CTT . 由题意可得 Zr 6 530 ,即 r 是 6 的倍数,又因为 150 r ,所以 r =0,6,12 故展开式中的有理项为 5501501 )1( xxCT  , 50057 T , 5 13 420  xT . 例 9 已知 nxx ) 2( 2 的展开式的第 5项的二项式系数与第 3项的二项式系数之 比为14:3,求展开式中的常数项. 分析:由题意 3:14: 24 nn CC ,即 05052  nn ,∴ 10n 或 5n (舍去) ∵ 2 510 102 10 101 2)2()( r rrrrr r xCxxCT     , 由 题 意 得 02 510  r , 得 2r ,∴ 常 数 项 为 第 3 项 18022210123   CTT . 引伸:条件变为第5项的系数与的3项的系数之比为56:3,求展开式的中间项. 分析:由题意 3:56)4(:)16( 24 nn CC ,可得 10n ,展开式共 11项,故展开式的 中间项为第6项,即 2 15 6 8064  xT . 例 10求 1032 )1()1()1()1( xxxx   的展开式中含 2x 项的系数. 分析:注意到和式是以 x1 为首项, x1 为公比的等比数列的前 10项之和,应 该先求和,再求 2x 项的系数;也可以分别求二项式 2)1( x , 3)1( x ,… 10)1( x 展开式中 2x 项的系数,再求和. 三、小结: 1.二项式定理的应用:①近似计算;②证明整除问题. 2.通项公式的应用:①通项公式是第 1r 项,而不是第 r 项;②运用通项公式可以 求出展开式中任意指定的项或具有某种条件的项. 四、作业:教材第111页 习题第3、4(3)(4)、5题.