直线和圆的方程复习提高课教案 2
教学目标
(1)通过师生共同总结本章的知识体系和基础知识，带动学生更系
统全面地掌握基础知识，加深理解，强化记记忆，为今后更好地应用这
些知识打好基础．
(2)通过与本章知识相关的届年的高考试题的练习与研究，检验促
进学生对知识的理解和掌握，开拓学生的视野，培养他们的分析，综合
应用能力．
教学过程设计
在学生学习完第七章“直线和圆的方程”后，我们安排了两节复习
总结课，引导学生系统总结记忆本章的基础知识，进一步深化和准确对
这些基础知识的理解．这部分总结工作应启发学生自己完成，教师加以
完善．可事先布置为家庭作业．在总结基础知识的同时，我们以历年高
考题为练习题，组织学生试作，研究，教师最后进行总结讲评．
一、本章知识体系：
二、本章基础知识
直线
线性规划
圆．
三、典型问题练习与研究
(一)选择题
1．直线bx＋ay=ab(a＜0，b＜0)的倾斜角是
[ ]
(1993年高考题)
2．过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2=0上的圆的
方程是
[ ]
A．(x－1)2＋(y－1)2=4．
B．(x＋3)2＋(y－1)2=4．
C．(x－3)2＋(y＋1)2=4．
D．(x＋1)2＋(y＋1)2=4．
(2001年高考题)
共有
[ ]
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
(1991年高考题)
4．圆x2＋y2=1上的点到直线3x＋4y－25=0的距离的最小值是
[ ]
A．6
B．4
C．5
D．1
(1993年高考题)
5．设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若
直线PA的方程为x－y＋1=0，则直线PB的方程是
[ ]
A．2y－x－4=0．
B．2x－y－1=0．
C．x＋y－5=0．
D．2x＋y－7=0．
(2001年高考题)
[ ]
(1999年高考题)
7．已知直线l1和l2夹角的平分线为y=x，如果l1的方程是ax＋by
＋c=0(ab＞0)，那么l2的方程是
[ ]
A．bx＋ay＋c=0．
B．ax－by＋c=0．
C．bx＋ay－c=0．
D．bx－ay＋c=0．
(1992年高考题)
8．过原点的直线与圆x2＋y2＋4x＋3=0相切，若切点在第三象限，
则该直线的方程是
[ ]
(2000年高考题)
9．已知两条直线l1：y=x，l2：ax－y=0，其中a为实数，当这两
条直线的夹
[ ]
C．(0，1)
(2000年高考题)
10．设动点P在直线x=1上，O为坐标原点，以OP为直角边，点O
为直角顶点作等腰Rt△OPQ，则动点Q的轨迹是
[ ]
A．圆
B．两条平行直线
C．抛物线
D．双曲线
(2001年春高考题)
[分析与解答]
2．设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋=r2，圆心在直线x＋y－2=0
上，a＋b－2=0，
∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2=4，故应选(A)．
4．作出草图，再作OA垂直已知直线3x＋4y－25=0于 A点，
∴|OA|－1=5－1=4．就是圆x2＋y2=1上的点到直线3x＋4y－25=0
的距离的最小值．应选(B)．
5．P在直线x=2上，|PA|=|PB|，P点在AB的垂直平分线上，由x
－y＋1=0得 A点坐标为(－1，0)．于是B点坐标为(5，0)．
又KPA=1．KPB=－KPA=－1．
由点斜式，PB的方程y－0=(－1)(x－5)，即x＋y－5=0
∴应选(C)．
7．直线l1与直线l2关于直线y=x对称，以(y，x)代换(x，y)，由
l1得，ay＋bx＋c=0(ab＞0)，即bx＋ay＋c=0，应选(A)．
8．x2＋y2＋4x＋3=0，即(x＋2)2＋y2=1，圆心(－2，0)，半径为
1，过原点的直
9．这题有的同学用夹角公式去求，理论上是正确的，但计算量太
大了，实际上很难算出来．要认真分析，结合图形去思考．
l1：y=x，斜率为1，倾斜角α1=45°．
作出草图去思考，α1=45°,l1与l2的夹角不超过15°,则α2的范
围为30°到45°，及 45°到60°．
又tanα2=a，
a的范围在tan30°到tan45°，及 tan45°到tan60°，
10．设P点坐标(1，t)，Q点坐标(x，y)，这里有两个关系，
OP⊥OQ，|OP|=|OQ|，我们通过这两个条件，建立方程．
x2＋y2≠0，y2=1，∴y=±1．
所求轨迹为两条平行线，应选(B)．
(二)填空题．
1．给定三点A(1，0)，B(－1，0)，C(1，2)，那么通过点A，并
且与直线BC垂直的直线方程是________(1989年高考题)
[分析与解答]
直线的方程y－0=(－1)(x－1)即 x＋y－1=0，有的同学首先用两点
式求出直线BC的方
程，你认为有必要吗？
切线，找斜率的最大值．
设切线为y=Kx，Kx－y=0，
(三)在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1=0，∠A
的平分线所在直线的方程y=0，若点B的坐标为(1，2)，求点A和点C
的坐标．(1992年高考题)
[分析与解答]
两条直线相交得一个交点，求 A与 C的坐标，需先求过两点的直线
方程．
[解法二] 同解法一，得顶点A(－1，0)．
因 x轴是∠A的平分线，所以点B(1，2)关于x轴的对称点B1(1，
－2)在 AC所在的直线上，由两点式得AC的方程y=－(x＋1)，以下同解
法一．
(四)已知两条直线l1：2x－3y＋2=0，l2：3x－2y＋3=0，有一动
圆(圆心半径都在变动)与l1，l2都相交，并且l1、l2被圆所截得弦分别
为26，24，求圆心 M的轨迹方程．(1983年高考题)
[分析与解答]
两条直线同一个圆，l1，l2分别有圆半径，圆心距，弦长之间的关
系，消去共同变量圆半径，则可得到 M的轨迹方程．
设圆心 M(x，y)，圆半径 R，M到l1，l2的距离为 d1，d2．根据弦，
弦心距，半径间的关系
代入上式化简为x2＋2x＋1－y2=65
∴M的轨迹方程为 (x＋1)2－y2=65．
(五)已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C：x2＋y2=1，动点 M到
圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ＞0)，求动点 M的轨迹方程．
并说明它表示什么曲线．(1994年高考题)
[分析与解答]
如图，设 MN切圆于 N，|MN|=λ|MQ|，(λ＞0)
因圆的半径|ON|=1
|MN|2=|MO|2－|ON|2=|MO|2－1，
整理得，(x2－1)(x2＋y2)－4λ2x＋(1＋4x2)=0，为所求轨迹方程．
当λ≠1时，方程表示一个圆．
(六)已知一个圆C：x2＋y2＋4x－12y＋39=0，和一条直线l：3x－
4y＋5=0，求圆C关于直线l对称的圆的方程．(1985年高考题)
[分析与解答]
圆C：(x＋2)2＋(y－6)2=1，圆心为(－2，6)，半径 r=1．圆C关于
l对称的圆C'，圆C'的半径为1，而圆心(a，b)与(－2，6)关于直线l
对称，这个问题实际上是求点(－2，6)关于直线l的对称点(a，b)，用
求对称点的办法解决．
∴所求圆的方程为(x－4)2＋(y＋2)2=1．
(七)自点A(－3，3)发出的光线l射到x轴上，被 x轴反射，其反
射光线所在的直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7=0相切，求光线l所在直线
的方程．(1989年高考题)
[分析与解答]
根据入射光线与的反射光线的对称性，设光线所在直线的方程为
y－3=K(x＋3)，即Kx－y＋3K＋3=0
已知圆，x2＋y2－4x－4y＋7=0
圆C为(x－2)2＋(y－2)2=1与圆C关于x轴对称圆C'的方程为C'：
(x－2)2＋(y＋2)2=1，直线Kx－y＋3k＋3=0与圆C'相切．
∴所求直线方程为4x＋3y＋3=0或 3x＋4y－3=0．
[分析与解答]
sinAcosA=sinBcosB，sin2A=sin2B，A≠B，
可得，a=6，b=8，设△ABC内切圆圆心为O'
内切圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2=4．
[解法一] 设圆上动点P的坐标为(x，y)，
S=|PA|2＋|PB|2＋|PC|2=(x－8)2＋y2＋x2＋(y－6)2＋x2＋y2
=3[(x－2)2＋(y－2)2]－4x＋76=88－4x．
因 P点在内切圆上，0≤x≤4，
S 最大值=88－0=88，S 最小值=88－16=72．
圆上动点P的坐标为(2＋2cosθ，2＋2sinθ)．
S=|PA|2＋|PB|2＋|PC|2
=(2cosθ－6)2＋(2＋2sinθ)2＋(2＋2cosθ)2＋(2sinθ－4)2＋(2
＋2cosθ)2＋(2＋2sinθ)2
=80－8cosθ，
∵0≤θ＜2π，
S 最大值=80＋8=88，S 最小值=80－8=72．
(九)如图，在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴(坐标原点除
外)上给定两点A，B，试在x轴的正半轴(坐标原点除外)上求点C，使
∠ACB取得最大值．(1986年高考题)
[分析与解答]
设点A的坐标为(0，a)，点B的坐标为(0，b)，0＜b＜a，
设C点的坐标为(x，0)，(x＞0)，
(十)设圆满足①截 y轴所得弦长为2；②被 x轴分成两段圆弧，其
弧长的比为3∶1
在满足条件①，②的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离
最小的圆的方程．(1997年高考题)
[分析与解答]
设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别
为|b|，|a|．
由题设知圆P截 x轴所得各弧对的圆心角为90°，知圆P截 x轴所
得的弦长为
∴2b2=a2＋1，2b2－a2=1．
则 5d2=|a－2b|2=a2＋4b2－4ab≥a2＋4b2－2(a2＋b2)=2b2－a2=1．
当且仅当a=b时，上式等号成立，此时5d2=1，d取得最小值．
∴所求圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2=2或(x＋1)2(y＋1)2=2．
/1
