0 0 类别 : 教案

椭圆及其标准方程教案 1 教学内容 1、椭圆的定义 2、椭圆的两类标准方程 教学目标 1、掌握椭圆的定义 2、理解椭圆标准方程的推导过程，掌握椭圆的两类标准方程 3、掌握a、b、c三个量的几何意义及它们之间的关系 4、通过本节教学，使学生进一步掌握由曲线求方程的步骤，并注意数与形 的转化 设计思想 椭圆是应用十分广泛的一种曲线，可以通过实例引入，然后提问：椭圆是 满足什么条件的动点轨迹呢？学生会很感兴趣．然后给学生做一个固定两点拉 线画椭圆的实验，在此基础上提出椭圆的定义． 椭圆是对称图形（既是轴对称，又是中心对称的图形），在建立坐标系推 导它的标准方程时，应充分发挥椭圆的对称图形的特点（选取椭圆的中心为坐 标系原点，对称轴为坐标轴）这样所得到的标准方程会简单易记，具有对称美． 按照求曲线方程的步骤推导焦点在在 x轴上的椭圆的标准方程．运算有一 定难度，教学时要写清步骤，详细推导．当得到椭圆的标准方程 12 2 2 2  b y a x 之 后，可对照图形，结合定义探求a、b的几何意义以及a、b、c间的关系，以加深 对标准方程的理解． 根据对称性原理，只要交换 x、y的坐标就可以得到焦点在 y轴上的椭圆的 标准方程． 教学过程 一、知识讲解 1、由拉线画椭圆的实验，我们得到椭圆的定义．讲解时，必须强调2a＞2c ＞0 的条件．为此，我们在做拉线画椭圆的实验时，用同一根细绳（长度为 2a），不断改变 F1、F2的距离（为 2c）重复 画椭圆（即2a不变，2c变化），带领学生总结如下规律：F1和F2的距离越大， 画出的椭圆越扁平，F1和F2的距离越小，画出的椭圆越接近圆，当 F1和F2重合 时，椭圆变成了圆，当 F1和F2的距离等于绳长时，椭圆就“退化”为一条线段． 这样，不但突出了椭圆定义中 2a＞2c＞0的条件，还为讲解椭圆的离心率对其 扁圆程度的影响打下伏笔．（说明：也可以固定F1、F2，改变绳长画椭圆） 2、推导椭圆的标准方程，可按照求曲线方程的步骤进行：（1）设点（先建 立坐标系），（2）列式（3）代换（4）化简（5）证明（可省略）． 要注意以下几点： （1）为使所得方程简单易记，启发学生思考：怎样利用椭圆是对称图形的 特点来选取坐标系？ （2）对方程 aycxycx 2)()( 2222  ①化简有一定难度，教学中只 要抓住“怎样消去方程中的根号”这一关键问题，步骤写详细一些，学生可以 接受． （3）方程①两次平方，得到方程（a2-c2）x2+a2y2=a2(a2-c2)②后，指出： 为了使方程简单易记，且具有对称美，可设 b2=a2-c2，从而得到标准方程， 12 2 2 2  b y a x （a＞b＞0）． 接着提问：a、b、c中，c表示半焦距，a、b表示什么呢？教师可再回顾拉绳 画椭圆的实验． 如 图 2-4 当 动 点 M 到 达 A 点 时 ， aFAAFAFAFMFMF 21112121  可见 2a是椭圆的长轴． 如 图 2-5 ， 当 动 点 M 到 达 B 点 时 ，     aMFMFBFBFBF  21212 2 1 2 1 ．在 Rt△OBF2中，|OF2|＝c，所以| OB|2＝a2－c2．由此可见，b表示椭圆的短半轴． （4）由方程 aycxycx 2)()( 2222  ① 经两次平方并化简得到 方程 )()( 22222222 caayaxca  ② 可能不是同解变形，必须证明“以方 程②的解为坐标的点必在椭圆上”．由于证明过程学生接受起来比较困难，所 以教材中省略了．如有学生问起可以加以说明．（此证明在“引伸与提高”中 给出）． （5）当椭圆方程化为标准形式后，x2与y2项的哪个分母大，焦点就在哪条 坐标轴上． 二、例题分析 例1．求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是（-6，0）、（6，0），椭圆上一点 P到两焦点 距离的和等于20； （2）两个焦点的坐标分别为（0，-2）、（0，2），并且椭圆经过点 （3，2）． 分析：这是求椭圆标准方程的基础题目，根据焦点坐标可确定标准方程的 类型，由椭圆定义或 a、b、c间的关系确定a、b，就可以写出椭圆方程了． 解答：（1） 164100 22  yx （2） 11216 22  xy 例2．已知 B、C是两个定点，|BC|＝8，且ΔABC的周长等于18，求顶点 A 的轨迹方程． 分析：这是巩固椭圆定义和标准方程的题目．坐标系选取不同，所得方程 也不同． 解答：若以 BC 所在直线为 x 轴，BC 中垂线为 y 轴建立坐标系，可得 1925 22  yx 若以 BC所在直线为 y轴，BC中垂线为 x轴建立坐标系，A点轨迹方程是什 么？ 三、练习与讲评 1、写出适合下列条件的椭圆的标准方程 （1）a＝4，b＝3，焦点在x轴上; （2）a＝5，c＝4，焦点在y轴上; （3）b＝c＝4，焦点在坐标轴上． 2、填空 （1）如果椭圆 13664 22  yx 上一点 P到焦点 F1的距离等于 6，则P到另一焦点 F2 的距离 是 ． （2）椭圆 116 22  m xy 的焦点是（0，－3）和（0，3），则m＝ ． 答　案 1、（1） 1916 22  yx （2） 1925 22  xy （3） 11632 22  yx 或 11632 22  xy 2、（1）10 （2）7 讲评：练习时注意：（1）运用定义;（2）由焦点位置判断标准方程的类型; （3）利用a2＝b2＋c2的关系知二求一． 四、小结或总结 1、定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点 的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 2、标准方程： ① 12 2 2 2  b y a x （a>b>0），焦点F1（－c，0），F2（c，0），c2＝a2－b2; ② 12 2 2 2  b x a y （a>b>0），焦点F1（0，－c），F2（0，c），c2＝a2－b2． 对于 Ax2＋By2＝C，只要 A、B、C同号就是椭圆方程，可化为 1 22  B C y A C x ．