0 0 类别 : 教案

算术平均数与几何平均数教案 教学目标 (一)教学知识点 1.重要不等式：若a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”号). 2.算术平均数，几何平均数及它们的关系. (二)能力训练要求 1.学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理. 2.理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅 当这两个数相等. (三)德育渗透目标 通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能 力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力. ●教学重点 1.重要不等式：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”号). 2.如果a、b是正数，则 2 ba  为a、b的算术平均数， ab 是a、b的几何平均数，且有 “两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”.即定理：如果 a、b是正数，那么 2 ba  ≥ ab (当且仅当a＝b时取“＝”号). 3.上面两个公式都带有等号的不等式，其中的“当且仅当”…时取“＝”号的含义是： 当a＝b时取等号，即 a＝b 2 ba  ＝ ab ；仅当a＝b时取等号，即 2 ba  ＝ ab  a＝b.综合起来，就是a＝b是 2 ba  ＝ ab 的充要条件. ●教学难点 1.a2＋b2≥2ab和 2 ba  ≥ ab 成立的条件不相同，前者只要求 a、b都是实数，而后 者要求a、b都是正数. 2.这两个公式还可以变形用来解决有关问题. ab≤ 2 22 ba  ，ab≤（ 2 ba  ）2 ●教学方法 启发式教学法 ●教具准备 投影片两张 第一张：记作§6.2.1 A 1.差值比较法： (1)依据：a＞b a－b＞0；a＝b a－b＝0；a＜b a－b＜ 0. (2)步骤：作差→变形→判断差值符号→得出结论. (3)用途： ①比较两个实数的大小； ②证明不等式的性质； ③证明不等式和解不等式. 第二张：记作§6.2.1 B 1.不等式的基本性质： (1)反对称性： a＞b b＜a； (2)传递性： a＞b，b＞c a＞c； (3)可加性： a＞b a＋c＞b＋c； (4)可积性： a＞b，c＞0 ac＞bc， a＞b，c＜0 ac＜bc； (5)加法法则： a＞b，c＞d a＋c＞b＋d； (6)乘法法则： a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd； (7)乘方法则： a＞b＞0 an＞bn（n∈N）； (8)开方法则： a＞b＞0 nn ba  （n∈N） 2.应用：已知a、b为正实数，m、n∈N*且m＞n，求证：am＋bm≥am－nbn＋anbm－n. 教学过程 Ⅰ.课题导入 不等式在生产实践和相关的学科中应用非常广泛，又是学习高等数学的重要工具，所 以不等式是高考数学命题的重点.我们有必要重新回顾“差值”比较法，不等式的基本性质， 以便在今后学习中得到巩固和灵活运用. (一)打出投影片§6.2.1 A，请同学们回答： ［师］“差值”比较法解决问题的一般步骤是什么?主要解决哪些问题? 通过师生积极对话，简要作一下概括，打出投影片§6.2.1 A，使学生明确：“差值” 比较法的三个重要方面.即①依据是：a＞b a－b＞0；a＝b a－b＝0；a＜b a－b ＜0；②一般步骤是：作差→变形→判断差值符号→得出结论；③主要用途：两个实数大小 的比较；不等式性质的证明；证明不等式及解不等式. (二)不等式性质的巩固及应用(投影片§6.2.1 B) 课堂上，充分发挥师生的双边活动，共同复习不等式的基本性质，共同归纳，打出投 影片§6.2.1 B，使学生掌握下列不等式的基本性质：(1)反对称性 a＞b b＜a；(2)传 递性a＞b，b＞c a＞c；（3）可加性a＞b a＋c＞b＋c；(4)可积性a＞b，c＞0 ac ＞bc；a＞b，c＜0 ac＜bc；(5)加法法则 a＞b，c＞d a＋c＞b＋d；(6)乘法法则a＞ b＞0，c＞d＞0 ac＞bd；（７）乘方法则 a＞b＞0 an＞bn（n∈N）；(8)开方法则a＞ b＞0 nn ba  （n∈N). 为进一步更好地巩固不等式的性质，在教师引导下让学生做如下练习： 已知a、b为正实数，m、n∈N *且m＞n，求证： am＋bm≥am－nbn＋anbm－n. ［师］本题考查同学们正确地理解和运用不等式的性质.在运用不等式的性质时，多观 察，多思考，考虑问题一定要全面细致.请同学们自己完成本题证明过程. ［生］（am＋bm）－（am－nbn＋anbm－n） ＝（am－am－nbn）＋（bm－anbm－n） ＝am－n（an－bn）＋bm－n（bn－an） ＝（am－n－bm－n）（an－bn） ∵m＞n＞1，a＞0，b＞0 ∴当a＞b＞0时，则am－n＞bm－n，an＞bn ∴（am－n－bm－n）（an－bn）＞0 当a＝b＞0时，则（am－n－bm－n）（an－bn）＝0 当b＞a＞0时，则bm－n＞am－n，bn＞an ∴（am－n－bm－n）（an－bn）＞0 综上所述，当a、b为正实数，m、n∈N *且m＞n时，(am-n-bm-n)(an-bn)≥0 即 am＋bm≥am－nbn＋anbm－n. 下面，我们利用不等式的性质，研究推导下列重要的不等式. Ⅱ.讲授新课 重要不等式： 如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab（当且仅当a＝b时取“＝”号). ［师］请同学们利用我们已学过不等式性质的基础上，来证明这个重要不等式. ［生］a2＋b2－2ab＝a2－2ab＋b2＝（a－b）2 ∵a，b∈R ∴当a＝b时，a－b＝0 即 a2＋b2＝2ab 当 a≠b时，a－b≠0 ∴（a－b）2＞0 即 a2＋b2＞2ab 综上所述：若a，b∈R，则a2＋b2≥2ab（当且仅当a＝b时取“＝”号). ［师生共析］很明显，在此不等式中：a＝b a2＋b2＝2ab. 即当 a＝b时取等号，其含义是 a＝b a2＋b2＝2ab；仅当 a＝b时取等号，其含义是 a2＋b2＝2ab a＝b. 定理 如果a，b是正数，那么 abba 2 （当且仅当a＝b时取“＝”号). ［师］本定理既可运用不等式性质完成证明，又可运用上述重要不等式：“若 a，b∈R，则a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”号)”为依据完成证明.(把同学们分成 两组，分别从两种思路中完成证题过程). ［生甲］∵a，b为正数 ∴a＞0，b＞0 ∴a＝（ a ）2，b＝（ b ）2 ∴ 2 )( 2 2 2 2baabbaabba  当a＝b即 a ＝ b 时， 2 )( 2ba  ＝0，有 abba 2 . 当 a≠b即 a ≠ b 时， 2 )( 2ba  ＞0，有 abba 2 综上所述，当a、b为正数时，有 abba 2 (当且仅当a＝b时取“＝”号). ［生乙］∵a，b是正数 ∴（ a ）2＋（ b ）2≥2 a · b ∴a＋b≥2 ab 显然，当且仅当a＝b时， abba 2 即 abba 2 . 评述：1.如果把 2 ba  看作是正数a、b的等差中项， ab 看作是正数a、b的等比中项， 那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2.在数学中，我们称 2 ba  为a、b的算术平均数，称 ab 为a、b的几何平均数.本节 定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 下面，我们给出定理：“如果 a、b是正数，那么 abba 2 （当且仅当 a＝b时取 “＝”号）”的一种几何解释 (如图所示) 以 a＋b长的线段为直径作圆，在直径 AB上取点 C，使 AC＝a，Ｃ B＝b.过点 C作垂直 于直径 AB的弦DD′，连接 AD、DB，易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣ B，那么ＣD2＝Ｃ A·Ｃ B 即ＣD＝ ab . 这个圆的半径为 2 ba  ，显然，它大于或等于 CD，即 abba 2 ，其中当且仅当点 C与圆心重合，即a＝b时，等号成立. ［例题］已知：（a＋b）（x＋y）＞2（ay＋bx），求证： 2   yx ba ba yx ［师］本题结论中，注意 yx ba ba yx     与 互为倒数，它们的积为 1，可利用公式 a＋ b≥2 ab ，但要注意条件 a、b 为正数.故此题应从已知条件出发，经过变形，说明 yx ba ba yx     与 为正数开始证题. (在教师引导，学生积极参与下完成证题过程) ［生］∵（a＋b）（x＋y）＞2（ay＋bx） ∴ax＋ay＋bx＋by＞2ay＋2bx ∴ax－ay＋by－bx＞0 ∴（ax－bx）－（ay－by）＞0 ∴（a－b）（x－y）＞0 即a－b与 x－y同号 ∴ yx ba ba yx     与 均为正数 ∴ yx ba ba yx yx ba ba yx      2 ＝2(当且仅当 yx ba ba yx    时取“＝”号) ∴ yx ba ba yx    ≥2. ［师生共析］我们在运用重要不等式a2＋b2≥2ab时，只要求a、b为实数就可以了.而 运用定理：“ abba 2 ”时，必须使 a、b满足同为正数.本题通过对已知条件变形(恰 当地因式分解)，从讨论因式乘积的符号来判断 yx ba ba yx     与 是正还是负，是我们今后 解题中常用的方法. Ⅲ.课堂练习 1.已知a、b、c都是正数，求证 （a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８ abc 分析：对于此类题目，选择定理： abba 2 （a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结 果. 答案：∵a，b，c都是正数 ∴a＋b≥2 ab ＞0 b＋c≥2 bc＞0 c＋a≥2 ac ＞0 ∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2 ab ·2 bc·2 ac ＝８ abc 即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８ abc. 2.已知 x、y都是正数，求证： (1) y x x y  ≥2； (2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3. 分析：在运用定理： abba 2 时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把 握好每条性质成立的条件)，进行变形. 答案：∵x，y都是正数 ∴ y x ＞0， x y ＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0 (1) x y y x x y y x  2 ＝2即 x y y x  ≥2. (2)x＋y≥2 xy ＞0 x2＋y2≥2 22 yx ＞0 x3＋y3≥2 33 yx ＞0 ∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3） ≥2 xy ·2 22 yx ·2 33 yx ＝８x3y3 即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3. 3.求证：（ 2 ba  ）2≤ 2 22 ba  . 分析：利用完全平方公式，结合重要不等式：a2＋b2≥2ab，恰当变形，是证明本题的 关键. 答案：∵a2＋b2≥2ab ∴2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2 ∴2（a2＋b2）≥（a＋b）2 不等式两边同除以4，得 2 22 ba  ≥（ 2 ba  ）2 即（ 2 ba  ）2≤ 2 22 ba  . Ⅳ.课时小结 本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（ 2 ba  ）， 几何平均数（ ab ）及它们的关系（ 2 ba  ≥ ab ）.它们成立的条件不同，前者只要求 a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最 值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问 题：ab≤ 2 22 ba  ，ab≤（ 2 ba  ）2. Ⅴ.课后作业 (一)课本 P11习题６.２ 2、3. (二)1.预习内容：课本 P10～11例 1，例 2. 2.预习提纲： 通过预习例 1、例 2，使学生明确基本不等式：a2＋b2≥2ab； 2 ba  ≥ ab （a＞0，b ＞0）的应用主要体现在两个方面： 其一，是用于证明不等式. 其二，是用于求一些函数的最值： 设x、y都是正数， (1)若 xy＝P是一个定值，当且仅当“x＝y”时，x＋y有最小值2 P ；（2）若 x＋y ＝S是一个定值，当且仅当“x＝y”时，xy有最大值 4 1 S2. ●板书设计 §6.2.1 算术平均数与几何平均数(一) 一、重要不等式 课堂练习 课时小结 a2＋b2≥2ab 二、定理 若a＞0，b＞0， 课后作业 则 2 ba  ≥ ab ［例题］