0 0 类别 : 教案

已知三角函数值求角教案 1 　　教学目标 　　1．使学生掌握已知三角函数值求角(给值求角)的方法和步骤． 　　2．通过启发学生总结给值求角的步骤，培养学生归纳、类比、总结 的能力． 　　3．培养学生严谨的科学态度，促进良好个性品质发展． 　　教学重点与难点 　　重点是给值求角的基本方法．难点在于归纳给值求角的基本步骤． 　　教学过程设计 　　一、复习引入 　　师：我们学习了 5组诱导公式，如何概括这 5组公式？ 　　生：k·360°＋α(k∈Z)，－α，180°±α，360°－α的三角函 数值等于α的同一三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数 值的符号． 　　师：那么 k·360°＋α，……这些角从“形”这一角度看，与α 又有什么关系呢？ 　　(这应在诱导公式那一节有所渗透，或曾经留给同学思考过．) 　　生：角 k·360°＋α(k∈Z)的终边与α角的终边相同，180°－α 的终边与α的终边关于 y轴成轴对称图形，180°＋α的终边与α的 终边关于原点成中心对称图形，360°－α和－α终边相同，与α的 终边关于 x轴成轴对称图形． 　　师：α是什么样角？ 　　生：使三角函数有意义的任意角． 　　师：如果把α看作是锐角，那么 k·360°＋ α(k∈Z)，180°±α，360°－α各是第几象限角？它们的三角函数值 与α的同一三角函数值有什么联系？ 　　生：k·360°＋α(k∈Z)是第一象限角，180°－α是第二象限角， 180°＋α是第三象限角，360°－α是第四象限角．这些角的三角函 数与α的同一三角函数值相等或互为相反数． 　　(如图 1，帮助学生形象思维与记忆．) 　　师：利用这幅图，记忆诱导公式的符号是不是变得直观了？！那么 诱导公式又有什么功能呢？ 　　生：把任意角的三角函数转化为 0°～90°间角的三角函数，然后 就可以查表求值了． 　　师：这些任意角的终边和某个锐角α0的终边有刚才所说的对称关 系，那么同一三角函数值之间有没有关系？ 　　生：有关系，那些角的三角函数值要么等于α0的同一三角函数值， 要么等于这个值的相反数，相等还是相反由这些角所在象限决定． 　　师：可以这样说，这些角的三角函数值的绝对值等于α0的同一三 角函数值．每个角α都可通过一个锐角α0求得这个角的三角函数值 (当值存在时)，这个值由α唯一确定．那么反过来，知道某个角α的 某个三角函数值，要反求α，这个α怎么求？是否唯一？这与我们本 节课要研究的知识有关． 　　二、讲授新课 　　(板书)已知三角函数值求角． 　　师：我们先来研究给正弦值求角． 　　(板书) 　　例 1 求满足下列条件的角α的取值集合． 　　 　　师：满足这个条件的角α有几个？ 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　生：因为α是三角形的内角，所以α∈(0，π)，而在这个范围内 正弦值等于 　　 　　师：那么这两个角有什么关系？ 　　生：这两个角的和是π． 　　 　　知条件的角还有别的吗？ 　　 　　 　　师：在每个单调递增(或递减)区间内，角的正弦值随角α的增大而 增大(或减小)，所以在每个象限由一个三角函数值求得的角将是唯一的 (角存在)．以下情况类似，我 　　 　　师：由(1)、(2)可以看到，正弦值相同的角，由于限制条件不同，求 得的角的集合一般也不相同，我们再改变α的范围，看看情况又有什 么变化． 　　(板书) 　　 　　 　　[0，2π)，所以α的范围缩小为[0，π)，这与(2)的条件是相同的， 所以α的取值集 　　 　　(板书) 　　 　　师：这时满足条件的角α有多少个？ 　　生：满足条件的角有无数个． 　　师：这无数个角之间有什么关系？(问题提得含糊)． 　　生：这些角终边相同． 　　师：这是从“形”的角度去看的，那么翻译成“数”的关系是什么 呢？ 　　生：这些角的弧度数相差 2π整数倍． 　　师：怎么表示这些角？ 　　生：先找一个特殊角，然后加上 2kπ(k∈Z)就行了． 　　师：你准备找哪一个特殊角？为什么？ 　　 　　师：能写出α的取值集合吗？ 　　 　　师：如果把“α”是第一象限角”改为“α是第二象限角”，α 的取值集合如何求？ 　　 　　 　　师：如果去掉“α是第一象限角”这个条件呢？ 　　 　　 　　师：由这几个例题可以看到，角α的取值与[0，2π)间的角密切相 关，找到这个范围内的角，便可得到所有的角．再看(5)． 　　(板书) 　　 　　师：满足这个条件的角α有几个？各是什么？如何求出？ 　　 　　 　　(板书) 　　 　　 　　 　　师：由上面六道题的解法能否概括出给正弦值求角的步骤？ 　　生：需求正弦值等于所给的值的绝对值的锐角α0． 　　生：要求属于区间[0，2π)的角α0，π－α0，π＋α0，2π－ α0． 　　师：是不是非要求这四个角？ 　　生：根据所给的值判断一下角所在的象限，如果值为正，找第一、 二象限的角α0，π－α0；如果值为负，找第三、四象限的角π＋ α0，2π－α0． 　　生：还得根据角的限定范围求出适合条件的所有解． 　　师：我们把解决步骤归纳如下(为方便先不考虑轴上角)． 　　(板书) 　　(1)由已知正弦值确定角α所在象限； 　　(2)求出锐角α0，使α0的正弦值与已知值的绝对值相等； 　　(3)根据四个象限的角的形式，写出[0，2π)间的角(α0，π－ α0，π＋α0，2π－α0)； 　　(4)写出满足条件的所有的角． 　　师：对于 sinα=±1，sinα=0的类型，我们没有细致去分析，同学 们可从角的终边位置加以判断，以下也暂不涉及轴上角．下面我们来研 究给余弦值求角的问题．求解时注意类比和归纳． 　　(板书) 　　例 2 根据下列条件求角α． 　　 　　 　　分析 给余弦值求角的问题完全可以由正弦类比而来．找到[0，2π) 上余弦值等 　　 　　再根据余弦值的正负及α角限定的范围求α． 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　师：做完这几个题，能否归纳出给余弦值求角的步骤？ 　　生：与刚才的步骤一样，只不过当所给的余弦值大于零时，角是第 一、四象限角；当所给的余弦值小于零时，角是第二、三象限的角． 　　师：这个步骤可以再推广吗？ 　　生：可以推广到给正切值求角，给余切值求角，和给正割、余割值 求角． 　　师：如果是给正切值求角，与正弦、余弦略有差别的地方是什么？ 　　生：当正切值大于零时，角是第一、三象限角，当正切值小于零时， 角是第二、四象限角． 　　师：很好．我们今天研究了给三角函数值求角的课题，要掌握解决 问题的步骤，如果遇到不是形如 f(x)=m(f是某个三角函数)时，要注意 转化思想的运用． 　　(板书) 　　例 3 求满足下列条件的角的集合． 　　 　　 　　分析 　　 　　 　　 　　(3)由 cos A≠0(若 cos A=0，则 sin A=0，与 sin2x＋cos2x=1矛盾)，得 tan A= 　　 　　三、小结 　　师：给值求角是给角求值的逆运算，而我们今天研究的重点是给值 求角的步骤，关于求解步骤可概括为：定象限，找锐角，写形式，求全 角．第四步是求出所有满足条件的角，这时要用终边相同角的关系． 　　四、作业 　　(1)阅读课本； 　　(2)课本习题 P162练习一第 1题(1)，(2)，(3)．第 2题(2)，第 3题 (1)，(2)；P164．习题十三第 7．8题． 　　课堂教学设计说明 　　本课题内容简单，所以在例题的选择上，花费了较多时间，我希望 通过例 1每小问的解决，使学生能归结出给正弦值求角的步骤．而例 2 是课上发挥的实录，因为再重复例 1，只是把正弦化为余弦没有太大的 意义，所以希望通过例 2让学生明白如何去找满足条件，但不在区间 [0，2π)内的角．例 3的设计是想渗透转化的数学思想，对这个例题的 解答大部分同学没有困难．当然如果时间不够，将例 3删去，换成一些 练习题，让学生当堂练习、巩固，使学生加深对步骤的记忆也很有成效． 　　本教案设计的教学时间是安排在“三角函数线”之前的，如果将 “三角函数线”知识提前，那么从给正弦值求角开始就应充分利用三角 函数线这一直观图形，从实际效果看，还是应先讲三角函数线，那么给 值求角问题不过是三角函数线的一种应用． 　　在现代教学中要充分发挥学生的主体作用，要设置问题，让学生参 与研究，探讨，在研究中提高能力，提高水平，相应的教学质量也会有 所提高．