0 0 类别 : 教案

●课 题 §4.12.1 小结与复习(一) ●教学目标 (一)知识目标 1.任意角的三角函数、任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数的概念、同角三角函数 间的关系、诱导公式； 2.两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数； 3.三角函数的图象和性质、已知三角函数值求角. (二)能力目标 1.理解任意角的概念、弧度的意义；能正确地进行弧度与角度的换算； 2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，并会利用与单位圆有关的三角函数线表示正 弦、余弦和正切；了解任意角的余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式； 掌握正弦、余弦的诱导公式； 3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式； 4.能正确运用三角公式，进行三角函数式的化简、求值及恒等式证明； 5.会用与单位圆有关的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象，并在此基础上由诱 导公式画出余弦函数的图象；理解周期函数与最小正周期的意义；并通过它们的图象理解 正弦函数、余弦函数、正切函数的性质；会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y＝ Asin(ωx＋ )的简图，理解A、ω、 的物理意义； 6.会用已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示. (三)德育目标 1.渗透“变换”思想、“化归”思想； 2.培养逻辑推理能力； 3.培养学生探求精神. ●教学重点 三角函数的知识网络结构及各部分知识. ●教学难点 熟练掌握各部分知识，并能灵活应用其解决相关问题. ●教学方法 引导式 运用“整体化”教学思想，引导学生生从“整体”到“局部”再到“整体”逐步认识. ●教具准备 投影片五张 第一张(§4.12.1 A)：知识网络结构图 第二张(§4.12.1 B)：三角函数定义及同角三角函数基 本关系式： 三角函数定义：sinα＝ r y ，cosα＝ r x ，tanα＝ x y |OP|=r 同角三角函数基本关系式： .1cottan,tancos sin,1cossin 22    第三张(§4.12.1 C)：诱导公式(五组) 函数 角 Sin cos tan －α － sinα cosα － tanα π－α sinα － cosα － tanα π＋α － sinα － cosα tanα 2π－α － sinα cosα － tanα 2π＋α sinα cosα tanα 第四张(§4.12.1 D)：和角公式、差角公式、倍角公式 和(差)角公式： sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ Ｓ(α±β) cos(α±β)＝cosαcosβ+sinαsinβ Ｃ(α±β) tan(α±β)＝   tantan1 tantan   T(α±β) 倍角公式： sin2α＝2sinαcosα Ｓ 2α cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α Ｃ 2α   2tan1 tan22tan T2α 它们的内在联系及推导线索： 第五张(§4.12.1 E)：正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函 数 正弦函数 余弦函数 正切函数 图 象 定 义 域 R R {  kkxx ,2 Z} 值 域 ［－1，1］ 最大值为1 最小值为－1 ［－1，1］ 最大值为1 最小值为－1 R 函数无最大值、最小值 周 期 性 最小正周期为2π 最小正周期为2π 最小正周期为π 奇 偶 性 奇函数 偶函数 奇函数 单 调 性 在［－  kk 22,22 ］上都 是 增 函 数 ； 在 ［  kk 22 3,22 ］上都是减 在［(2k－1)π，2kπ］上都 是增函数；在［2kπ，(2k＋ 1)π］上都是减函数(k∈Z) 在 ( － 2  ＋ kπ ， 2  ＋ kπ) (k∈Z)内都是增函数 函数(k∈Z) ●教学过程 Ⅰ.课题导入 师：这一段时间，我们共同学习了有关三角函数的知识，今天，我们来对这一章的主 要内容进行一下回顾： Ⅱ.讲授新课 (打出投影片§4.12.1 A) 师：首先，我们来了解一下这一章的知识网络结构： 最先，我们给出了三角函数的定义，包括任意角的三角函数的符号，同角三角函数的 关系式，诱导公式，两角和与差的三角函数公式，以及它们的变形公式等等.然后，我们又 共同学习了三角函数(主要是：正弦函数、余弦函数、正切函数)的图象和性质.接下来，我们 又共同探讨了它们的应用.运用上述公式和性质主要是进行三角函数式的化简、求值、证明以 及它们的综合运用. 师：下面，我们回顾一下这些具体内容： (打出投影片§4.12.1 B) 根据生产实际和进一步学习数学的需要，我们引入了任意角的概念，并学习了角的另 一种单位制——弧度制.这里规定长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度的角.于是， 弧长公式为：ｌ＝｜α｜r(其中l′为弧长，r为半径，α为圆弧所对圆心角的弧度数)之 后，我们定义了任意角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六种三角函数，它们都是以角为 自变量，以此值为函数值的函数，其中，正弦、余弦、正切函数尤为重要，进而我们根据定 义又得到了同角三角函数的基本关系式，它们是进行三角恒等变换的重要基础，而后，我 们又得到了五组诱导公式. 师：打出幻灯片§4.12.1 C，对于这部分知识，大家要理解任意角的概念、弧度的 意义并能正确地进行弧度与角度的换算，掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，并学会利 用与单位有关的三角函数线表示正弦、余弦和正切；另外需要了解任意角的余切、正割、余割 的定义；还要掌握同角三角函数的基本关系式 sin2α＋cos2α＝1，   tancos sin ，tanα ｃｏｔα＝1，以及正弦、余弦诱导公式. 师：请同学们再回顾和角公式、倍角公式、差角公式. (打出幻灯片§4.12.1 D) 师：利用单位圆和三角函数的定义，借助平面内任意两点之间的距离公式，我们最先 得到了两角和的余弦公式，结合诱导公式，我们进而推导出两角和的正弦公式，利用同角 三角函数基本关系式，可得到两角和的正切公式，之后用－β代替β，便可推得一组差角 公式.α与β相等时，便又可推出一组倍角公式.看来，和角公式Ｃ(α＋β)是这些公式的基 础，这些公式主要用于三角函数式的计算、化简与推导，它们在数学和许多其他学科中都有 广泛的应用，希望大家能熟练掌握，并了解它们的内在联系. 师：下面我们总结一下正弦、余弦、正切函数的图象以及它们的主要性质. (打出幻灯片§4.12.1 E) 师：利用平移正弦线，可以比较精确地画出正弦函数的图象；利用正弦函数的图象和 诱导公式，可以画出余弦函数的图象，可以看出在长度为一个周期的闭区间上有五个点(即 函数值最大和最小的点以及函数值为 0的点).在确定正弦函数、余弦函数图象的形状时起着 关键的作用.因此，在精确度不太高时，我们常用“五点法”画正弦、余弦函数以及与它们 类似的一些函数(特别是函数y＝Asin(ωx＋ ))的简图.观察图象，可知它们的定义域、值 域、周期性、奇偶性、单调性等，这部分知识，同学们要牢固掌握.最后，关于三角函数的应 用，还有已知三角函数值求角，并学会用arcsinx，arccosx，arctanx表示. 师：在掌握这些知识之余，还应注意到这一章大量运用了化归思想，这是一种重要的 数学思想，它主要表现在如下几方面： ——把未知化归为已知，例如用诱导公式把求任意角的三角函数值逐步化归为求锐角 三角函数值. ——把特殊化归为一般，例如把正弦函数的图象逐步化归为函数 y＝Asin(ωx＋ )，x∈R，(其中 A＞0，ω＞0)的简图，把已知三角函数值求角化归为［0，2π］上适合条件的角的集合等. ——等价化归，例如进行三角函数式的化简、恒等变形和证明三角恒等式. 师：这一章的主要内容就复习到这，下面结合练习题体会它们的应用. Ⅲ.课堂练习 生：(板演练习) 1.化简cos( 3 13 k π＋α)＋cos( 3 13 k π－α)，其中 k∈Z. 解法一： 原式＝cos［kπ＋( 3  ＋α)］＋cos［kπ－( 3  ＋α)］＝coskπcos( 3  ＋α)－ sinkπsin( 3  ＋α)＋coskπcos( 3  ＋α)＋sinkπsin( 3  ＋α)＝2coskπcos( 3  ＋ α)，(k∈Z) 当 k为偶数时，原式＝2cos( 3  ＋α)＝cosα－ 3 sinα 当 k为奇数时，原式＝－2cos( 3  ＋α)＝ 3 sinα－cosα 总之，原式＝(－1)k(cosα－ 3 sinα)，k∈Z 解法二：由(kπ＋ 3  ＋α)＋(kπ－ 3  －α)＝2kπ，知 cos(kπ－ 3  －α)＝cos［2kπ－( 3  ＋α＋kπ)］＝cos［－(kπ＋ 3  ＋α)］＝ cos(kπ＋ 3  ＋α) ∴原式＝2cos(kπ＋ 3  ＋α)＝2×(－1)kcos( 3  ＋α)＝(－1)k(cosα－ 3 sinα)，其中 k∈Z 评述：原式＝cos(kπ＋ 3  ＋α)＋cos(kπ－ 3  －α)＝cos［kπ＋( 3  ＋α)］＋ cos［kπ－( 3  ＋α)］ 这就启发我们用余弦的和(差)角公式. 2.已知sin(α＋β)＝ 3 2 ，cos(α－β)＝ 5 1 ，求   tan tan 的值. 解法一：由已知条件及正弦的和(差)角公式， .7 13 7 30 30 13 sincos cossin tan tan 30 7 2 5 1 3 2 sincos 30 13 2 5 1 3 2 cossin 5 1sincoscossin 3 2sincoscossin                     得 解法二：(设未知数)令 x＝   tan tan .1 1 1tan tan 1tan tan tantan tantan coscos )sin( coscos )sin( 3 10 1 5 3 2 )sin( )sin(          x x             解之得 7 13 tan tan x  3.已知函数 y＝Asin(ωx＋ )，x∈R，(其中 A＞0，ω＞0)的图象在 y轴右侧的第一 个最高点(函数取最大值的点)为 M(2，2 2 )，与 x 轴在原点右侧的第一个交点为 N(6，0)，求这个函数的解析式. 解法一：根据题意，可知 4 T ＝6－2＝4 ∴T＝16，∴ω＝ 8 2 T 将点 M的坐标(2，2 2 )代入y＝2 2 sin( 8  x＋ )， 得 2 2 ＝2 2 sin( 8  ×2＋ ) 即 sin( 4  ＋ )＝1 ∴满足 4  ＋ ＝ 2  的 的最小正数解，即 ＝ 4  从而所求的函数解析式是 y＝2 2 sin( 8  x＋ 4  )，x∈R 解法二：将两个点 M(2，2 2 )，Ｎ(6，0)的坐标分别代入 y＝2 2 sin(ωx＋φ)并 化简.     0)6sin( 1)2sin(  得 ∴在长度为一个周期且包含原点的闭区间上，有        6 22 ∴所求的函数解析式是y＝2 2 sin( 8  x＋ 4  )，x∈R Ⅳ.课时小结 师：通过本节学习，大家要系统掌握三角函数有关知识，并能灵活应用其进行三角函 数式的化简、求值、证明，并能解决一些实际问题等等. Ⅴ.课后作业 课本P87，复习参考题四. ●板书设计 课题 一、知识网络结构； 二、三角函数定义及同角基本关系式； 三、诱导公式； 四、和、差、倍角公式； 五、三角函数图象和性质. 例 ●备课资料 数学公式变形要讲究“三有” 数学公式教学是中学数学教学的重要组成部分，为了理解公式的内在本质，就要进行 适当的变形，但要讲究“三有”，即：变之有用，变之有规，变之有益. 1.公式变形的目的最终应体现在其实用的价值，一个公式的等价变形往往有多种，教 学中应择其有用的变形，以提高应用公式的效能. 2.数学公式变形的方法多种多样，揭示数学公式变形的一般规律对深化公式教学会有 积极的意义.由于公式中的字母可以代表数、式、函数等有数学意义的式子，因此可以根据需 要对公式进行适当的数学处理，或代换，或迭代，或取特殊值等等. 3.公式变形不仅仅是标准公式功能的拓宽，而且在变形过程中可以充分体现数学思想 和观点，充分体现数学公式的转化和简化功能，使学生深刻理解数学公式的本质. 例如对于公式 )tan(   =   tantan1 tantan   变形一：用－β代换β得到 )tan(  =   tantan1 tantan   用α＝45°代入得到 )45tan(tan1 tan1     变形二：当α＝β时，tan2α＝   2tan1 tan2  当α＝π时，tan(π＋β)＝tanβ 当α＝2π时，用－β代换β时 tan(2π－β)＝－tanβ (用特殊值代入原公式是公式变形，发现新、旧公式之间关系所常用的办法) 变形三：tan(α＋β＋γ)＝ )tantantantantan(tan1 tantantantantantan     由此引申为 α＋β＋γ＝kπ(k∈Z) tanα＋tanβ＋tanγ＝tanαtanβtanγ (对原公式进行类比推广是一种常用公式变形的方法) )tan( tantantantan1 )tan( tantan1tantan )tantan1)(tan(tantan:         变形四 (注意到原公式是涉及tanαtanβ、tanα＋tanβ、tan(α＋β)、1的一个方程，因此从 方程观点出发进行变形更是一种行之有效的变形办法，由此产生逆变公式、整体变换公式等 等)