三角变换中的求值问题教案 1
教学目标
1．复习、巩固和、差、倍、半角公式，使学生能熟练运用公式解决典
型的三角函数求值问题，并能体会公式之间的内在联系；
2．通过讲授与练习，引导学生总结方法与思想，使学生掌握求值
问题的基本思想与方法；
3．通过教学，渗透“转化”这一数学思想，逐步提高学生能力．
教学重点与难点
教学重点是进一步巩固三角变换公式，落实三角变换中把非特殊值
向特殊值转化，异名三角函数向同名三角函数转化等基本思想及切割化
弦等基本方法．
教学难点是培养学生灵活运用公式的技能．
教学过程设计
师：我们在学习三角变换公式的过程中常遇到求值问题，这节课我
们共同来探讨这一问题，力求使我们求值的思路有序化．
首先让我们看第一个例题：
(给出时间让学生考虑实践，请学生回答，并让学生说出想法．)
生：在这个式子里正弦与正切两种三角函数共存．我想到异名三角
函数化为同名三角函数，所以第一步“切割化弦”．
师：这位同学不仅运算正确，而且在变换中是有指导思想的，即异
名三角函数化为同名三角函数，在具体做法上是“切割化弦”．这个题
目中涉及了引入辅助角公式、诱导公式及倍角公式，这位同学运用得准
确、熟练．
下面我们看例 2：
例 2 求 sin42°－sin6°－sin78°+sin66°的值．
(仍然采取给出时间让学生实践，请学生回答的形式．)
生：欲求式由四项组成，我很快想到和差化积，但不是把任意两个
结合在一起都可以把运算进行下去的．
师：这位同学遇到的困难说明三角变换不能盲目变换，要先观察、
设计变换方案再着手实施．
生：我观察各角度间的关系，发现 42°与 78°结合可以出现特殊
值，6°与 66°结合可以出现特殊值，于是我联想起分解因式中的分组
分解法，对第一项及第三项、第二项及第四项分别进行和差化积．
解 原式=sin42°－sin78°+sin66°－sin6°
=2cos60°sin(－18°)+2cos36°sin30°
=cos36°－sin18°=sin54°－sin18°=2cos36°sin18°．
运算到这里我想到了学习倍角公式时遇到角度倍升的多个余弦值连
乘积曾经用乘以最小角度的正弦再除以这个正弦的方法化简，故我乘以
cos18°再除以 cos18°来处理此式．
师：能够顺利求解这个题目的关键之一是：在变换之前首先观察角
度之间的关系，对于三角变换的题目在求解前一定要先观察，不能盲目
变形．
这个题目还复现了一个常用方法，即角度倍升的若干个余弦值连乘
积可以通过乘以最小角的正弦再除以这个正弦值的方法化简．
下面我们看第三个例题：
(给出时间让学生实践，请同学回答．)
生：与例 2类似地把第一项与第三项结合．
依此欲求出值较为困难．
出现了三个余弦值的连乘积，但角度不存在倍升的关系，我考虑利
用诱导公式转化为角度倍升的关系．
个式子，第一项已经出现了角度倍升的关系，我们能否从它入手，
采取乘以最小角正弦再除以这个正弦值的方法求值？请同学们实践．
师：我们能否找到一个更具有普遍意义的方法？如例 2中乘以某个
角的某个三角函数值再除以这个三角函数值进行化简？
我们通过积化和差裂项，寄希望能找到几组互为相反数的项从而得
以化简．
试验成功！
对于角度间成等差数列的若干个余弦值的和都可以采取乘以公差的
一半的正弦值再除以这个正弦值的方法化简．那么对于角度间成等差数
列的若干个正弦值的和，是否也可以采取这种方法？请同学们课下试验．
以上我们研究了三角函数式的求值问题，下面我们看两个有条件的
三角函数式的求值问题．
我们解决有条件制约的三角函数求值问题的基本思路是把欲求向已
知转化．
角间的关系如下：
这个题目我们正是由于沟通了已知角与未知角间的关系才得以顺利
求解．
下面我们再看一个例题：
请同学们考虑．
生：观察到 cos( －β)=cos · cosβ+sin · sinβ，而把两个已
知式分别平方即可得到 cos ·cosβ与 sin ·sinβ，故把两个已知式
分别平方后相加．
师：这位同学的解法建立在其对已知式及欲求式的认真观察与分析
的基础上．我们如何求解 tan( +β)呢？
生：我们可以从两方面得到 tan( +β)，一方面可以利用 +β的
其它三角函数值通过同角三角函数关系求出 tan( +β)，这条路在这个
题中不易走通；另一方面可以通过与 +β有关的角的三角函数，利用
三角变换公式求出 tan( +β)．我利用和
师：这位同学的解法建立在其对公式熟练掌握的基础之上，运算前
的分析也很有序．
我们小结一下这节课．
三角变换五彩斑斓，但万变不离其宗，即基本公式及基本思想、基
本方法，这三基之间的纽带是“转化”这一数学思想．我们要善于分析
与观察，把握恰当的切入点，要善于把问题转化纳入旧有知识体系．
课后作业
6．求 2cos210°－tan5°·(1+cos10°)－2sin40°·cos10°的值．
课堂教学设计说明
三角公式繁多，变化多样，学生做三角变换的题目常常盲目变形．
通过这节课，力求给学生一些基本思想、基本方法，使学生在做三角变
换的题目时目标明确，思维有序．
/3
