0 0 类别 : 教案

等比数列的概念教案 　　教学目标 　　 1．理解等比数列的定义，并能以方程思想作指导，理解和运用它 的通项公式． 　　 2．逐步体会类比、归纳的思想，进一步培养学生概括、抽象思维等 能力． 　　 3．培养学生严密的思维习惯，促进个性品质的良好发展． 　　教学重点和难点 　　重点：等比数列要领的形成及通项公式的应用． 　　难点：对要领的深刻理解． 　　教学过程设计 　　 (一)引入新课 　　师：前面我们已经研究了一类特殊的数列──等差数列，今天我们 一起研究第二类新的数列──等比数列． 　　 (板书)三 等比数列 　　 (二)讲解新课 　　师：等比数列与等差数列在名字上非常类似，只有一字之差，一个 是差，一个是比，你能否仿照等差数列，举列说明你对等比数列的理解． 　　 (要求学生能主动的用类比思想，通过具体例子说明对概念的理解) 　　生：数列 1，3，9，27，… 　　师：你为什么认为它是等比数列呢？ 　　生：因为这个数列相邻两项的比都是相等的，所以是等比数列． 　　 (先引导学生用自己的语言描述等比数列的特征，但暂时不作评论， 以防限制其他学生的思维) 　　师：这是你对等比数列的理解，不过这个例子中的项是一项比一项 大，能否再举一个一项比一项小的． 　　 　　师：你对等比数列的理解呢？ 　　生：数列中每一项与前一项的比都是同一个常数． 　　师：他们对等比数列理解基本相同的，能否再换个样子，举一个例 子． 　　 　　 (若理解没有什么变化，就不必让学生再重复了) 　　师：下面再举例子又增加点要求，既然要去研究它，说明它一定有 实际应用价值，那么能否再举一个生活中的等比数列例子． 　　生：如生物学中细胞分裂问题：1个细胞经过一次分裂变为 2个细 胞，这两个细胞再继续分裂成为 4个细胞．这样分裂继续下去，细胞个 数从 1到 2到 4到 8，把每次分裂后所得细胞个数排列好可形成一个数 列 1，2，4，8，16，…这个数列就是等比数列． 　　师：这个例子举得很好，不仅能够发现生活中的数学问题，还能把 数学知识应用在其它学科，其实等比数列的应用是非常广泛的，说明它 确有很高的研究价值． 　　说了这么多，也发现了等比数列的特征，能否试着给等比数列下个 定义呢？ 　　生：如果一个数列的每一项与前一项的比都等于一个常数，那么这 个数列就叫做等比数列． 　　师：作为定义这种叙述还有一点不足，为保证这样比都作得出来， 这每一项应从数列的第二项起，否则第一项没有前一项，也就做不出这 个比，调整之后，再找一位同学准确描述一下等比数列． 　　生：如果一个数列，从第二项起．每一项与前一项的比都等于一个 常数，那么这个数列叫做等比数列． 　　师：好，就把它作为等比数列的定义记录下来． 　　 (板书)1．定义 如果一个数列，从第二项起，每一项与前一项的比 都是同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做公比，记 作 q． 　　 (教师在叙述的同时，再强调为突出所做出的比都相等，应写为同 一个常数更准确) 　　师：记住这句话并不难，关键是如何理解它，并利用它解决问题， 先回到刚才几个例子看它们是否是等比数列，如果是，公比是多少？ 　　 　　师：好，公比会找了，再来看这样一件事，等比数列从定义上与等 差数列有很多密切关系使我们想到，有没有这样的数列，它既是等差数 列也是等比数列呢？ 　　生：有，如数列 1，1，1，1，…是一个以 0为公差的等差数列，也 是以 1为公比的等比数列． 　　师：除了这个数列以外，还能再举一个吗？ 　　 　　师：他们举的例子都是对的，而且从例子中数列的特征，使我们联 想到，形如 a，a，a，…(a∈R)的数列好像都满足既是等差又是等比数 列，是这样吗？ 　　 (可让学生作短暂的讨论，再找学生回答) 　　生：形如 a，a，a，…这样的数列一定是等差数列(这一点可以由等 差数列的定义加以证明)．但它未必是等比数列． 　　师：能具体解释一下吗？ 　　生：当 a=0时，数列每一项均为零，都不能作比，因此不是等比数 列，a≠0时，此数列是等比数列． 　　师：这个回答非常准确，通过对这个问题的研究，对于我们进一步 认识等比数列有什么帮助吗？从中得到什么启示吗？ 　　生：等比数列中的每一项都不能为零，因为在定义中，数列中每一 项都要做分母，所以均不能为零． 　　师：这一点实际上是隐含在定义的叙述之中的，从另一个角度上讲， 数列各项均不为零是这个数列成等比数列的什么条件呢？ 　　生：是必要非充分条件． 　　师：这是我们对等比数列进一步理解得到第一点共识． 　　 (板书)2．对定义的理解 　　 (1)“an≠0”是数列｛an｝成等比数列的必要非充分条件． 　　师：这一点是对等比数列的项的特殊要求，这与等差数列也是不同 的． 　　下面从另外一个角度研究一下定义，数学定义一般都是用文字语言 叙述表达的，但是在使用时往往需要符号化，因此下面试用数学符号语 言来描述它？ 　　 　　师：这种描述过于具体，能否用简单的一个式子来概括这么多个比 的等． 　　 　　师：由于 n可取任意自然数，故 an+1可表示数列中每一项，an可表 示相应的前一项，因此这一个比可以代表无数多个比的相等，所以这个 式子与定义是等价的． 　　 　　师：这个比式也可作为我们判断一个数列{an}是否是等比数列的依 据．这样我们就完成了对等比数列的定义的研究、回顾一下研究过程． 主要做了这样两件事：一是利用类比方法得到了等比数列的定义；二是 用抽象概括将定义翻译为符号语言，并能利用它证明一个数列是否是等 比数列． 　　下面要进一步研究等比数列，必须先搞清怎么表示一个等比数列， 要表示数列，需先确定这个数列，确定一个等比数列几个条件呢？ 　　生：两个条件． 　　师：哪两个条件？ 　　生：可以是首项和公比 　　师：如果等比数列｛an｝，首项为 a1，公比为 q，你会用什么方法 来表示这个等比数列呢？ 　　生：可以表示为 a1，a2，a3，a4…这是常用的列举法 　　师：刚才举例时用的就是这种表示方法，除此之外，还有其它表示 法吗？ 　　 　　师：这两种表示法各有所长，但使用最方便的还是通项公式法．即 如果已知{an}是等比数列，首项是 a1，公比是 q，如何用 n的解析式表 示数列中的第 n项呢？ 　　 (板书) 3．等比数列的通项公式 　　 (1)已知等比数列｛an｝，首项为 a1，公比为 q，则 an=？ 　　生：an=a1qn-1(n∈N+)． 　　师：你是怎么得到的． 　　生：根据已知条件，数列可以写成 a1，a1q，a1q2，a1q3，…从而发 现规律，归纳出第 n次 an=a1·qn-1． 　　师：归纳的结论是正确的，且用的方法，调动的知识都非常好，寻 找通项即寻找项的一般规律，先看特殊项，写出几项，再归纳出一般结 论．这种方法是不完全归纳法，因此这个结论的正确性是需要证明的 (请同学们课下完成)． 　　 (板书)an=a1qn-1(n∈N+)． 　　 (2)对公式的认识与理解 　　师：对于这个通项公式，可以从几个方面去认识它呢？ 　　 (这不是第一次遇到这类公式，学生应知道从什么角度去认识公式) 　　生：可以从函数观点去认识，把通项公式看作关于 n的解析式． 　　师：与什么函数的解析式相类似． 　　生：指数函数． 　　师：它类似于指数函数解析式，说明它在某些方面可能与指数函数 有联系． 　　生：还可以把它看作一个方程，用方程思想来求解其中的量． 　　师：方程中有四个量，知三求一是最简单的公式应用，不过当已知 a1，q和 an，求 n时，此时的方程是个指数方程，求解时需多加注意． 如｛an｝是等比数列，首项是 2，公比是 2，那么 256是数列中第几项？ 　　生：因为 an=a1qn-1，则 an=2·2n-1=2n．又 an=256，得 256=2n．解得 n=8． 　　师：其它的例子不再举了．但如果只知二，那么就能求二，但求二 恐怕一个方程就不能解决了，需要方程组才能解决．这也就是通项公式 的不同层次的应用了，下面一起看这样一个题目． 　　 (板书) 例 1 一个等比数列的第二项是 2，第三项与第四项的和是 12，求它的第八项的值． 　　师：拿到这个题目，你打算怎样设计你的求解方案，或者说对这个 题目有什么想法． 　　生：想求出首项和公比． 　　师：为什么要求出它们呢？ 　　生：有了首项和公比，就有了通项公式，就可以求出数列中任何一 项． 　　师：好，这就是计算中要抓基本量的思想．首项和公比就是等比数 列的两个基本量．下面我们具体开始解，大家共同完成这个题目的求解． 　　 　　 　　师：怎么解这个方程组呢？ 　　生：②÷①得 q＋q2=6．解得 q=－3或 q=2． 　　 　　师：最后结果是正确的，但在具体求解过程中还有值得改进的地方． 　　此题要求的是 a8，即 a1q7=a1q·q6=2q6．故只要把 q求出即可求出 a8 的值．这样在解方程组时就不必求出 a1，从而使运算过程得以简化． 　　 (板书) 解：设等比数列的首项为 a1，公比为 q．则由已知得 　　 　　②÷①得 q2＋q=6．解得 q=－3或 q=2．则 a8=a1q7=a1q·q6=2·q6=2·(－3)6=1458或 a8=2q6=2·26=27=128．故数列 第八项是 1458或 128． 　　师：通过这个小题的计算，发现这类型题目主要是方程思想的应用． 应用过程中主要是三个基本步骤：设、列、求，通过刚才的实践，你们觉 得在这三步上应该注意什么呢？ 　　生：设未知数应注意设等比数列的基本量首项和公比．在解方程组 时，通常会用到乘除消元的方法． 　　师：总结得不错，在注意以上几点的同时，还应注意利用分析综合 法寻求已知和所求之间的联系，以达到简化运算的目的． 　　下面我们一起看例 2． 　　 (此题先让学生讲明思路，根据时间完成主要内容即可) 　　师：这个题目应从哪里入手解决呢？ 　　生：应先判断这个数列是否是等比或等差数列． 　　师：为什么要做这件事呢？ 　　生：因为知道了是什么样的数列，就可以找出其通项公式，就可以 判断某个数是否是数列中的项． 　　师：如果判断它是否是等差或等比数列呢？ 　　 　　师：好，这种思路是可行的，除此之外还有其他思路吗？ 　　生：可以利用 2an=3an+1(n∈N+)找到 2a1=3a2，2a2=3a3，… 2a4=3a5， 可以找 　　师：这种方法把一般关系具体化，有一定可取之处，但有一定的偶 然性，因此两种思路比较而言，另一种方案更具一般性． 　　下面请同学把这种方案具体实施一下． 　　 　　 (让一个学生就说一个重要环节，并及时指出表述上的问题) 　　师：这两步是等价的吗？ 　　生：不等价，应保证 an≠0才等价． 　　师：题目中能保证 an≠0吗？ 　　生：根据条件“各项均为负”可以保证 an≠0． 　　师：在表述上应怎样调整呢？ 　　 　　 　　 　　 (提醒学生，开方时必须指明 a1＜0，才能保证只有一解) 　　师：在这个题目求解过程中注意这样几点： 　　 (1)判断数列是等比数列时，将条件变形为比的形式，注意变形的 等价性； 　　 (2)判断某个数是否是数列中的项，只需将该数代入通项公式，并 解此方程，看是否有正整数解． 　　 (四)小结 　　师：这节课主要学习了一个重要概念等比数列和一个重要的公式等 比数列的通项公式． 　　 (1)对于这个概念要注意与等差数列的类比中把握它们的区别与联 系． 　　 (2)对于通项公式除了记住内容，了解推导之外，关键是能用方程 观点去认识，并应用它解决有关问题． 　　 (五)布置作业 　　课本习题(略) 　　课堂教学设计说明 　　等比数列是在等差数列之后介绍的，因此它的数学方法不能简单地 重复等差数列．应当既(体现)出两者的联系，又有所变化且有所提高． 因此在教学方法上突出了类比思想的使用，教师为学生创造好使用的条 件，引导学生自己研究相关内容如定义、表示方法．通项公式及对公式 的认识，通过学生的研究，探索，加上老师概括总结，既充分发挥学生 的主体作用又体现教师的主导作用． 　　等比数列的通项公式应用是等比数列这段知识的重点，也是本节课 的重点，方程思想的应用是公式应用的核心和关键．所以必须了解方程 思想应用的特点，首先必须用方程的观点去认识等比数列的基础知识； 再从本质上把握公式．其次在运用方程思想解题时，对于设元要抓好其 中的关键量；最后在运用方程思想时需恰当应用整体代入，设而不求， 如例 1的计算应注意把 a2=2的条件整体代入到所求的 a8中，从而使 a1设 而不求．