0 0 类别 : 教案

平面向量的数量积的运算律教案 教学目的：要求学生掌握平面向量数量积的运算律，明确向量垂直的充要 条件。 教学重点：运算律 教学难点：运算律的理解 教学方法; 启发式 上次作业问题： 教 具： 课堂反馈情况： 教学过程： 一、复习引入 1． 平面向量数量积（内积）的定义及其 几何意义: 数量积 a b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos的 乘积。 性质：1、ab  a b = 0。2、 22 aa  2．判断下列各题正确与否： 1若a = 0，则对任一向量b，有a b = 0。 ( √ ) 2 若 a  0 ， 则 对 任 一 非 零 向 量 b ， 有 a b  0 。 ( × ) 3 若 a  0 ， a b = 0 ， 则 b = 0 。 ( × ) 4若a b = 0，则a 、b 至少有一个为零。 ( × ) 5 若 a  0 ， a b = a c ， 则 b = c 。 ( × ) 6若a b = a c，则 b = c 当且仅当 a  0 时成立。 ( × ) 1 7对任意向量a、b、c，有(a b)c  a (b c)。 ( × ) 8对任意向量a，有a2 = |a|2。 ( √ ) 二、新课讲解： 1． 交换律：a  b = b  a 证：设 a，b 夹角为，则 a  b = |a||b|cos，b  a = |b|| a|cos ∴a  b = b  a 2． ( a)b = (a b) = a ( b) 证：若 > 0，( a)b = |a||b|cos，  (a b) = |a||b|cos， a ( b) = |a||b|cos， 若  < 0 ， ( a)b =| a||b|cos() =  |a||b| (cos) = |a||b|cos，  (a b) = |a||b|cos， a ( b) =|a|| b|cos() =  |a||b| (cos) = |a||b|cos。 3． (a + b)c = a c + b c 在平面内取一点O，作OA = a, AB = b，OC = c， ∵a + b （即OB）在c 方向上的投影 等于a、b 在c 方向上的投影和， 即：|a + b| cos = |a| cos1 + |b| cos2 2 1 2 a b A B O A 1 B 1 Cc ∴| c | |a + b| cos =|c| |a| cos1 + |c| |b| cos2 ∴c (a + b) = c a + c b 即：(a + b)c = a c + b c 4、例与练习： 例1、已知： .)2.()1(,120,3,2 220 babababa  求的夹角为与 解：（1） 5942222  baba （2） 7cos22)( 22222  bbaabbaababa  例2、已知 ba、都是非零向量，且 baba 573  与 垂直， baba 274  与 垂直，求 ba、的夹角。 解：由(a + 3b)(7a  5b) = 0  7a2 + 16a b 15b2 = 0 ① (a  4b)(7a  2b) = 0  7a2  30a b + 8b2 = 0 ② 两式相减：2a b = b2 代入①或②得：a2 = b2设a、b 的夹角为， 则cos = 2 1 2 2 2  |||||| b b ba ba ∴ = 60 例 3、已知：向量 )()(,22 bababababa  求证：不共线，且、 解： 2)2(,22 bababa  2)2( ba  22222 ,4444 babbaabbaa  0,0,0)()( 22  babababababa 不共线，与又 )()( baba  例4、求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。 解：如图： ABCD中： DCAB  ， BCAD  ， AC = ADAB  ∴| AC |2= ADABADABADAB  2|| 222 而BD = ADAB  ∴|BD |2= ADABADABADAB  2|| 222 ∴| AC |2 + |BD |2 = 2 22 2ADAB  = 2222 |||||||| ADDCBCAB  3 A B D C 三、小结：平面向量的数量积的运算律。 四、作业：课本119页 6、7、8 4