向量的加法教案
教学目的：掌握向量的加法的定义；能熟练运用三角形法则和平行四边形法
则做几个向量的和向量；能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运
用它们进行向量计算。
教学重点：向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量
教学难点：对向量加法定义的理解
教学方法; 启发式 上次作业问题：
教 具：三角板
课堂反馈情况：
教学过程：
一、复习引入
物理中怎样求两个力的合力，遵循什么法则？（平行四边形法则）
如果两个力在同一直线上呢？
二、新课讲解：由以上引出向量的加法的定义（求两个向量和的运算），与向
量求和的平行四边形法则
1．平行四边形法则：
由同一点A为起点的两个已知向量 ba , 为邻边作平行四边形 ABCD，则以A
为起点的向量 AC就是向量 ba , 的和。这种作两个向量和的方法叫做平行四边
形法则，如右图
注意：平行四边形法则对于两个向量共线时不适
用。
由以上“两个力在同一直线上的合力”及
“飞机从 A到 B，再改变方向从 B到 C，则两次位
移的和 BCAB 应该是”引出：
2．向量和的定义：已知向量 ba , ，在平面内任取
一点 A，作 bBCaAB , ，则向量 AC叫做向量
ba , 的和。记作： ba ;即 ACBCABba
这种求两个向量的和向量的作法称为向量加法的三角形法则:两个向量相加时，
把一个向量的终点作为另一个向量的起点，这时前一个向量的起点到后一个向
量终点的向量就是这两个向量的和向量， ACBCAB （两个向量“首尾”
相接）
注意：1°三角形法则对于两个向量共线时也适用；
推广：（i）我们可将向量加法的三角形法则推广为多个向量相加的多边形法
则：
(ii)任何一个向量均可以写成两个任意向量之和，只要注意到这个向量的起点、
终点便可，如： OBAOAB
练习：课本99页 1、2、3、4.
由练习1让学生讨论和向量与原向量间的关系：（方向与模）
3.两向量的和向量与原向量之间的关系
（1） aaa 00
（2） AB +BA =0
（3）当向量 ba , 不共线时， ba 的方向与 ba , 不同向，且 |||||| baba
（4）当向量 ba , 同向时， ba 的方向与 ba , 同向，且 |||||| baba
当向量 ba , 反向时，若 |||| ba ，则 ba 的方向与 ,a 同向，
且 |||||| baba ；若 |||| ba ，则 ba 的方向与 ,a 反向，且
|||||| abba ；
4．向量的运算律：
（1）交换律： abba
证明：当向量 ba , 不共线时,如上图，作平行四边形 ABCD，使 aAB ，
bAD
则 bBC , aDC 因为 baBCABAC ， abDCADAC
所以 abba
当向量 ba , 共线时，若a与b同向，由向量加法的定义知：
ba 与a同向，且 |||||| baba
ab 与a同向，且 |||||| abab ，所以 abba
若a与b反向，不妨设 |||| ba ，同样由向量加法的定义知：
ba 与a同向，且 |||||| baba
ab 与a同向，且 |||||| baba ，所以 abba
综上， abba
（2）结合律： )()( cbacba
学生自己验证。由于向量的加法满足交换律和结合律，对于多个向量的加法运
算就可以按照任意的次序与任意的组合来进行了
例如： )()()()( cadbdcba
)()]([ ebcadedcba
例 1．如图，一艘船从 A 点出发以 hkm /32 的速度向垂
直于对岸的方向行驶，同时喝水的流速为 hkm /2 ，求船实际
航行的速度的大小与方向。
解：设 AD表示船垂直于对岸的速度， AB表示水流的速度，
以AD,AB为邻边作平行四边形ABCD，则 AC就是船实际航
行的速度
在 ABCRt 中， 2|| AB ， 32|| BC
所以 4|||||| 22 BCABAC
因为 6032
32tan CBACAB
例2.已知四边形ABCD的对角线相交于O点，且 OBDOOCAO ,
求证：四边形ABCD是平行四边形。
证：本题主要考查向量的加法运算和用向量解决几何问题的方法。
备用例题：
三、小结：
（1）向量的加法的定义，向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法
则作两个向量的和向量；
（2）向量加法的交换律和结合律，用它们进行计算
四、作业：课本2.3.4：6（1）（2）（3）
补充：证明：对于任意给定的向量 ba. 都有 baba
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