平面向量的数量积及运算律教案
●教学目标
(一)知识目标
1.平面向量数量积的定义及几何意义；
2.平面向量数量积的5个重要性质；
3.平面向量数量积的运算律.
(二)能力目标
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；
4.掌握向量垂直的条件.
●教学重点
平面向量的数量积定义.
●教学难点
平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用.
●教学方法
启发引导式
本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生
推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.
●教具准备
投影仪、幻灯片
第一张：数量积的运算律(记作§5.6.1 A)
第二张：例题(记作§5.6.1 B)
●教学过程
Ⅰ.课题引入
师：在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力 F的作用下产生位移 s，
那么力F所做的功W可由下式计算：
Ｗ＝｜Ｆ｜·｜s｜·ｃｏｓθ
其中θ是F与s的夹角.
从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念.
Ⅱ.讲授新课
师：我们首先来学习两向量的夹角.
1.两个非零向量夹角的概念
已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫
ａ与ｂ的夹角.
说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；
（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；
（3）当θ＝ 2
时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.
2.数量积的定义
已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量｜ａ｜｜ｂ｜ｃｏｓθ叫ａ与
ｂ的数量积，记作ａ·ｂ，即有ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜·ｃｏｓθ（０≤θ≤π）.
说明：（1）零向量与任一向量的数量积为0，即0·ａ＝０；
（2）符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.
3.数量积的几何意义
两个向量的数量积等于其中一个向量的长度与另一个向量在其上的投影值的乘积.
说明：这个投影值可正可负也可为零，所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.
4.数量积的重要性质
设ａ与ｂ都是非零向量，e 是单位向量，θ ０是ａ与e 夹角，θ是ａ与ｂ夹角.
①ｅ·ａ＝ａ·ｅ＝｜ａ｜·ｃｏｓθ ０
②ａ⊥ｂ ａ·ｂ＝０
③当ａ与ｂ同向时，ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜
当ａ与ｂ反向时，ａ·ｂ＝－｜ａ｜·｜ｂ｜
特别地，ａ·ａ＝｜ａ｜２或｜ａ｜＝ 2aaa
④ｃｏｓθ＝ ba
ba
⑤｜ａ·ｂ｜≤｜ａ｜·｜ｂ｜
说明：上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证.
5.数量积的运算律
已知ａ，ｂ，с 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：
①ａ·ｂ＝ｂ·ａ (交换律)
②（λａ）·ｂ＝λ（ａ·ｂ）＝ａ·（λｂ） (数乘结合律)
③(ａ＋ｂ)·с＝ａ·с＋ｂ·с (分配律)
说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）
（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0 ａ＝ｂ
（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，
（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ
(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２
师：为使大家进一步熟悉数量积的性质，加深对数量积定义的理解，我们来看下面的
例题.
［例题］判断正误，并简要说明理由.
①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－ AB＝BA；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤
若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；
⑦对任意向量ａ，ｂ，с 都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，
则ａ２＝ｂ２.
分析：根据数量积的定义、性质、运算律，逐一判断.
解：上述 8个命题中只有③⑧正确；
对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；
对于②：应有０·ａ＝0；
对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜ｃｏｓθ｜≤｜ａ｜｜
ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜
ｂ｜；
对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０；
对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零；
对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс.
则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），
∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ
若ａ与с 不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ.
评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.
Ⅲ.课堂练习
课本Ｐ 119练习1，2，3
Ⅳ.课时小结
师：通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能
运用它们解决相关的问题.
Ⅴ.课后作业
(一)课本Ｐ 119习题5.6 1，2，3，4
(二)1预习 P118～Ｐ 119
2.预习提纲：
(1)向量的数量积不满足哪些运算律?
(2)向量的数量积有哪些应用?
(3)复习数量积定义、性质、运算律.
●板书设计
§5.6.1 向量的数量积及运算律(二)
1.向量数量积定义 2.5个性质 3.运算律
ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cosθ ①ｅ·ａ＝ａ·ｅ＝ ①ａ·ｂ＝ｂ·ａ
θ为ａ、ｂ的夹角 ｜ａ｜ｃｏｓθ
②ａ⊥ｂ ａ·ｂ＝０ ②(λ ａ)·ｂ＝
λ（ａ·ｂ）＝ａ·
(λｂ)
③ａ∥ｂ ｜ａ·ｂ｜ ③（ａ＋ｂ）·с
＝｜ａ｜·｜ｂ｜ ＝ａ·с＋ｂ·с
④ cosθ＝ ba
ba
⑤｜ａ·ｂ｜≤｜ａ｜·｜ｂ｜
●备课资料
1.概念辨析：正确理解向量夹角定义
对于两向量夹角的定义，两向量的夹角指从同一点出发的两个向量所构成的较小的非
负角，因对向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些易见的错误，如：
［例题］已知△ABC中，ａ＝５，ｂ＝８，Ｃ＝６０°，求BC·CA .
对此题，有同学求解如下：
解：如图，∵｜ BC｜＝ａ＝５，｜CA｜＝ｂ＝８，Ｃ＝６０
°，∴BC·CA＝
｜BC｜·｜CA｜ｃｏｓＣ＝５×８ｃｏｓ６０°＝20.
分析：上述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原因就在于没
能正确理解向量夹角的定义，即上例中 BC与CA两向量的起点并不
同，因此，Ｃ并不是它们的夹角，而正确的夹角应当是 C 的补角
120°.
2.向量的数量积不满足结合律
分析：若有（ａ·ｂ）с＝ａ·（ｂ·с），设ａ、ｂ夹角为α，ｂ、с 夹角为β，
则(ａ·ｂ)с＝
｜ａ｜·｜ｂ｜ｃｏｓα·с，ａ·(ｂ·с)＝ａ·｜ｂ｜｜с｜ｃｏｓβ.
∴若ａ＝с，α＝β，则｜ａ｜＝｜с｜，进而有：（ａ·ｂ）с＝ａ·(ｂ·с)
这是一种特殊情形，一般情况则不成立.举反例如下：
已知｜ａ｜＝１，｜ｂ｜＝１，｜с｜＝ 2 ，ａ与ｂ夹角是60°，ｂ与с 夹角是
45°，则：
(ａ·ｂ)·с＝（｜ａ｜·｜ｂ｜ｃｏｓ６０°）с＝ 2
1 с，
ａ·(ｂ·с)＝（｜ｂ｜·｜с｜ｃｏｓ４５°）ａ＝ａ
而 2
1 с≠ａ，故（ａ·ｂ）·с≠ａ·（ｂ·с）
●教学后记
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