反函数教案
教学目的
(1)使学生正确理解反函数的定义，加深对一一映射及其逆
映射的认识；使学生初步掌握由原函数求其反函数的方法，为今
后学习与反函数有关的知识打下基础．
(2)培养学生运用概念分析问题的能力，根据定义进行推理
的逻辑思维能力．
教学过程
师：前面，我们讲了映射和函数．我们知道，函数是由定义
域A、值域B以及A到B上的对应法则f三部分组成的一类特殊的
映射．当f：A→B是集合A到集合B上的一一
一一映射，那么它的逆映射确定的是什么函数呢？这个函数
与原来的函数又有什么关系呢？先请同学们考虑下面几个具体问
题：
问题1 若 y=f(x)=2x，x∈R，写出确定此函数的映射．
师：证明上述映射是一一映射．
所以原像不同，像也不同．
(2) 任取y∈B，令y=2x，则
所以B中每一个元素在A中都有原像．
综上所述，知f是A到B上的一一映射．
师：写出映射f的逆映射．
师：指出此逆映射确定的函数．
师：证明上述映射是一一映射．
生：(1) 任取x1、x2∈[－4，－1]=A．由于x1＜0，x2＜0，
当x1≠x2时，
每一元素在A中都有原像．
综上所述，知 f是 A到 B上的一一映射．
师：写出映射f的逆映射．
师：指出此逆映射确定的函数．
师：从这两个问题的讨论可以看到，如果确定函数的映射是
一一映射，那么这个一一映射的逆映射也确定一个函数．对原来
的函数来讲，这是一个新的函数．研究这个新函数的存在条件，
学会导出新函数的方法，指出确定新函数定义域、值域的方法，这
些，就是本节课我们要讲的主要内容．
定义：如果定义域是A、值域是B的函数y=f(x)确定的映射
f：A x→y=f(x)∈B
是一一映射，那么由这个映射的逆映射
f-1：B y→x=f-1(y)∈A
确定的函数x=f-1(y)叫做函数y=f(x)的反函数．
所以，按照反函数的定义，定义在R上的函数y=2x，其反函
数为定义在R上的
函数x=f-1(y)中，自变量用y表示，函数值用x表示，与习
惯写法不符．我们规定，在求出x=f-1(y)后，要把反函数改写为
习惯的形式y=f-1(x)．
下面我们看一些例子．
[例 1]已知下列函数都有反函数，试求出它们的反函数：
师：对应法则f-1已得到，即
f-1：y→x=(y－1)2．
f-1所确定的函数是什么？
x=(y－1)2 (y≥1)．
故所求反函数为y=(x－1)2 (x≥1)．
师：请解(2)．
故所求反函数为
师：为什么第一个反函数的定义域是[1，∞)，而不是R？而
第二个反函数的定义域是(－∞，2)∪(2，∞)．
生：略．
[例 2] 若 y=ax＋b(a≠0)有反函数且它的反函数就是y=ax＋
b本身，求a、b应满足的条件．
生：由y= ax＋b，得 ax=y－b．由 a≠ 0，知
于是，解得 a=1， b=0或 a=－1，b为任意实数．
师：什么样的一次函数，它的反函数正好是它本身？
直接求y=x、y=－x＋b的反函数，反函数刚好分别是y=x、y=－
x＋b吗？
生：略．
[例 3]判断下列函数是否有反函数．如有反函数，则求出它
的反函数．
(1) y=x2－4x＋3 (x∈R)；
(2) y=x2－4x＋3 (x∈(2，＋∞))．
生：令y=0，由0=x2－4x＋3，得两根为x1=1，x2=3．
这说明原像虽不同(x1≠x2)，像却相同(y1=y2=0)，故定义在
R上的函数y=x2－4x＋3确定的映射不是一一映射，因而它没有反
函数．
又定义在x＞2上的函数y=x2－4x＋3=(x－2 )2－1，其值域
为y＞－1．
(1)任取x1、x2∈(2，＋∞)，当x1≠x2时，有x1－2≠x2－
2．由于x1－2＞0，x2－2＞0，所有(x1－2)2≠(x2－2)2，推得
(x1－2)2－1≠(x2－2)2－1，
即y1≠y2．
(2)又任取 y∈(－1，＋∞)．令 y=(x－2)2－1，则
且 x∈(2，＋∞)．
综上所述，定义在x＞2上的函数y=x2－4x＋3确定的映射是
一一映射．所以
师：(总结)从以上讨论，我们可以看出：
(1)函数y=f(x)有反函数的条件是：它所确定的映射必须是
一一映射；
(2)若函数y=f(x)有反函数，视 y为已知，x为未知，从
y=f(x)中解出x=f-1(y)，再换 x为 y， y为 x，即得反函数y=f-
1(x)；
(3)函数y=f(x)的反函数y=f-1(x)的定义域应通过求原来函
数的值域来获得，其值域应通过求原来函数的定义域来获得．
(4)若函数y=f(x)的反函数是y=f-1(x)，则y=f-1(x)的反函
数是y=f(x)，即y=f(x)与 y=
f-1(x)是互为反函数．
自我评述
研究函数离不开研究它的反函数，初等数学里是这样，高等
数学里也是这样．反函数概念是数学中一个十分重要的概念．
学习反函数的概念，必须建立在映射、函数、一一映射及其逆
映射等概念的基础上．学生往往由于对以上概念理解不深刻，掌
握不牢固，从而影响了对反函数意义的认识．如认为“由y=f(x)
解出x=f-1(y)，记作 y=f-1(x)，这就是反函数”，从而导致解决
有关问题中的各种错误的出现．
反函数又是数学教学中的一个难点．既要突出重点，又要突
破难点，问题的彻底解决只能依赖于数学教学的全过程．在这节
课里，我们采取了以下措施：
(1)引入新课时，强调了反函数在数学中的重要性，且以简
短的语言复习映射、函数、一一映射及其逆映射的概念，引入本节
课的主题，激发学生关注“若确定函数的映射是一一映射，那么
其逆映射将确定什么样的函数，它与原来的函数又有什么关系”
这一贯穿全节课的问题．
(2)复习提问的两个函数，可以说是两个最简单的函数．以
学生最熟悉的知识、最明显的事例来引入新课，这是分散难点常用
的方法．引入新课时，先具体后抽象；例题的选择和安排，先数
字后字母，先简单后复杂，先用熟悉的符号 f(x)，后用生疏的符
号 f-1(x)．这些都是为了突破难点．
(3)新课的引入要自然，复习提问的两个问题包含了反函数
的全部问题：反函数定义、反函数存在的条件、反函数的求法、反函
数的定义域的求法等．讲新课的三个例题，说明了求反函数需要
注意的问题：判断有无反函数的方法；有反函数时，又应怎样求；
反函数求出来了，其定义域应如何求；等等．
(4)本教案紧扣课本，引入的两个问题和新课所讲的三个例
题，反映了教材介绍的主要方法．本教案又不死扣课本，既指出
了课本上不严格的地方，如“求y=f(x)的反函数”，应改为“若
y=f(x)的反函数存在，求它的反函数”；又避免了课本上举例的
片面性．课本上所举的四个例题，反函数的定义域均可直接从其
反函数的解析式本身求出．本教案则不然，如引入中的问题2，
讲新课中的例3．最后，本教案在讲练完每个正式例题之后，均
提出一系列小问题让学生思考、回答，这对于充分利用教材，加深
学生对所学内容的理解，教会学生思索，培养学生的分析问题和
解决问题的能力，都有一定的帮助．
/1
