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排列的简单应用 制作 :cai0526 排列的简单应用 • 目的：理解掌握含有特殊限制条 件的排队问题的解决方法，进一 步培养分析问题、解决问题的能 力． • 重点：优限法、捆绑法、插空法 的运用 一、【概念复习】： 1．排列的定义，理解排列定义需要注意 的几点问题； 从 n 个不同元素中，任取 m(m<n) 个元素 （这里的被取元素各不相同）按照一定的顺 序排成一列，叫做从 n个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 . 2．排列数的定义，排列数的计算公式 )1()2)(1(  mnnnnAmn  )!( ! mn nAmn  3．练习：⑴ 7位同学站成一排，共有多少种 不同的排法？ 解：问题可以看作： 7个元素的全排列 A77＝ 5040 ⑵ 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位 置，共有多少种不同的排法？ 解：问题可以看作：余下的 6个元素的全排列 A66 =720 ⑶ 7位同学站成一排，其中甲不站在首位，共 有多少种不同的排法？ 解一：甲站其余六个位置之一有 A61种，其余 6人全排列 有 A66 种，共有 A61 A66 =4320。解二：从其他 6人中先选出一人站首位，有 A61，剩下 6 人（含甲）全排列，有 A66 ，共有 A61 A66 =4320。解三： 7人全排列有A77，甲在首位的有 A66，所 以共有 A77- A66=7 A66- A66=4320。 二、新课：例： 7位同学站成一排． ⑴ 甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ 解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有 A22 种；第二 步 余下的 5名同学进行全排列有 A55 种 则共有 A22 A55 =240种 排列方法 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 甲 乙 乙 甲 a b cd e e b dc a A 55 A55 A22 A2 2 ⑵ 甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种 ？解法一：第一步 从（除去甲、乙）其余的 5位同学中选 2 位同学站在排头和排尾有 A52种方法；第二步 从余下的 5 位同学中选 5位进行排列（全排列）有 A55种方法 ，所 以一共有 A52 A55 ＝ 2400种排列方法．解法二：若甲站在排头有 A66种方法；若乙站在排尾有 A66种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有 A55种方法 ．所以甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有 A77 － 2 A66 ＋ A55=2400种．小 结一：对于“在”与“不在”等有特殊元 素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或 特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优 限法）。 ⑶ 甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少 种？ 解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元 素与其余的 5个元素（同学）一起进行全排列有 A66种方 法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有 A22种方法 ．所以这样的排法一共有 A66 A22 ＝ 1440种． 拓展：①甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少 种？解：方法同上，一共有 A55A33 ＝ 720种． 解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共 有 6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的 5个 元素中选取 2个元素放在排头和排尾，有 A52种方法；将剩下的 4 个元素进行全排列有 A44种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑” 进行排列有 A22种方法．所以这样的排法一共有 A52 A44 A22 ＝ 960 种方法． ② 甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和 排尾的排法有多少种？ 解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元 素，此时一共有 6个元素，若丙站在排头或排尾有 2A55种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有（ A66 -2A55） · A22=960种方法． 小结二：对于相邻问题， 常用“捆绑法”（先捆后 松）． 解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素， 此时一共有 6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以 可以从其余的四个位置选择共有 A41种方法， 　再将其余的 5个元素进行全排列共有 A55种方法，最后 将甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有 A41 A55 A22 ＝ 960种方法． ⑷ 甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少 种？ 解法一：（排除法） A77-A66 A22 =3600 解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有 A55种方 法，此时他们留下六个位置（就称为“空” ），再将甲、乙 同学分别插入这六个位置（空）有A62种方法， cba d e 所以一共有 A55 A62=3600种方法． 乙甲 拓展：③甲、乙和丙三个同学都 不能相邻的排法共有多少种？ 解：先将其余四个同学排 好有 A44 种方法，此时他们留下五个 “空”，再将甲、乙和丙三个同学分 别插入这五个“空”有 A53种方法，所 以一共有 A44 A53 ＝ 1440种． 小结三：对于不相邻问题，常用 “插空法”（特殊元素后考 虑）． 三、练习：三名女生和五名 男生排成一排， ⑴ 如果女生全排在一起，有 多少种不同排法？ ⑵ 如果女生全分开，有多少 种不同排法？ ⑶如果两端都不能排女生， 有多少种不同排法？ ⑷如果两端不能都排女生， 有多少种不同排法？ A66 A33 =4320 A55A63=14400 A52A66=14400 A52A66+2A31A51A66 =36000 或A88- A32 A66=36000 ⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置； ⑵某些元素要求连排（即必须相邻）； ⑶某些元素要求分离（即不能相邻）； ⑵ 某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作 一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排 列，这种方法称为“捆绑法”； ⑶ 某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将 这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”。 ⑴ 有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特 殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置） 法“优限法”； 2．基本的解题方法： 1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型： 四、小结： 创新练习 • 某班 8运动员在运动会 后排成一排照像留念， • （ 1）若甲乙两人之间 必须间隔一人，有多少 种不同排法？ • （ 2）若甲乙两人之间 至少间隔两人，有多少 种不同排法？