0 0 类别 : 课件

函数及其性 质 知识要点 一、映射与函数 1.映射 设 A ， B 是两个集合，如果按照 某种对应法则 f ，对于集合 A 中的每一 个元素，在集合 B 中都有惟一的元素和 它对应，那么这样的单值对应叫做集合 A 到集合 B 的映射，记作 f:A→B . 给定一个集合 A 到 B 的映射，如果 a∈A,b∈B. 且元素 a 和元素 b 对应， 那么，我们把元素 b 叫做元素 a 的象， 元素 a 叫做元素 b 的原象． 2.函数 　　一般地，设 A 、 B 是两个非空的数 集，如果按某种对应法则 f , 对于集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有唯 一的元素 y 和它对应 , 这样的对应叫做 从 A 到 B 的一个函数 , 　　　　　　　 　通常记为 y=f(x),x∈A .A 称为函数的 定义域 ,y 的集合 C B 称为函数的值域 . 　　即函数是由一个非空数集到另一个 非空数集的映射 . 定义域、对应法则是函数的两大要素 , 值域是由定义域和对应法则所确定 的第三要素 . 对应法则是函数的核心。  3.函数的图象 C (1)定义：在平面直角坐标系中， 以函数 y=f(x) , (x∈A) 中的 x为 横坐标，函数值 y为纵坐标的点 P(x， y) 的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A) 的图 象． C上每一点的坐标 (x， y)均满足函数 关系 y=f(x)，反过来，以满足 y=f(x)的每 一 组 有 序 实 数 对 x 、 y 为 坐 标 的 点 (x， y)，均在 C上 . 即 C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A } C 一般的是一条光滑的连续曲线 (或直 线 ), 也可能是由与任意平行与 Y 轴的直 线最多只有一个交点的若干条曲线或离散 点组成 . (2) 画法 1、描点法； 　　根据函数解析式和定义域，求出 x,y的一些对应值并 列表，以 (x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点 P(x, y)，最 后用平滑的曲线将这些点连接起来 . 　　利用这种方法作图时，要与研究函数的性质结合起来 进行，以简化过程 . 2、图象变换法（三角函数讲） 常用变换方法有三种， 即平移变换、伸缩变换和对称变换 (3)作用： 1、直观的看出函数的性质； 2、利用数形结合的方法 分析解题的思路。 提高解题的速度。 发现解题中的错误。 4.函数的表示法： 解析法：便于算出函数值 列表法：便于查出函数值 图象法：便于量出函数值 5、分段函数（见课本 P31例 3）　 　　在定义域的不同部分上有不同的解析 表达式的函数。在不同的范围里求函数 值时必须把自变量代入相应的表达式。 6、复合函数（见课本 P29思考。运用） 　如果 y=f(u),(u∈M),u=g(x) , (x∈A), 　　且 {g(x)} M, 　　则 y=f[g(x)]=F(x) ， (x∈A) 　称为 f 、 g 的复合函数。  二、函数的定义域 1.能使函数式有意义的实数 x的集合称为函数的 (自然）定义域 . 2.求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合 而成的 .那么，它的定义域是使各部分都有意义 的 x的值组成的集合 . (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题 有意义 . 3、求出不等式组的解集即为函数的定义域。 三、函数的值域与最值 1、函数的值域取决于定义域和对应法 则，不论采取什么方法求函数的值域 都应先考虑其定义域 . 2.应熟悉掌握一次函数、二次函数、指 数、对数函数及各三角函数的值域， 它是求解复杂函数值域的基础 . 3.求函数值域的常用方法有：直接法、 反函数法、换元法、配方法、均值不 等式法、判别式法、单调性法等 . 4、函数的最值 );()(),( )()()(, )(),( 0max 00 0 xfyAxxfy xfxfxfAx AxAxxfy    的最大值，记为 为恒成立，则称有对于任意 ，使得若存在一般地，设 );()(),( )()()( , 0min 00 0 xfyAxxfy xfxfxf AxAx    的最小值，记为 为恒成立，则称有 ，使得对于任意若存在 四、函数的解析表达式 1. 函数的解析式是函数的一种表示方法， 要求两个变量之间的函数关系时，一是要求 出它们之间的对应法则，二是要求出函数的 定义域 .2.求函数的解析式的主要方法有：待定系数 法、换元法、消参法等，如果已知函数解析 式的构造时，可用待定系数法；已知复合函 数 f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要 注意元的取值范围；当已知表达式较简单时 ，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式， 则常用解方程组消参的方法求出 f(x) 五 .函数的单调性 1、定义 : 设函数 y=f(x)的定义域为 A ：区间 I A， 如果对于区间 I上的任意两个自变量的 值 x1 , x2，当 x1＜ x2时，都有 f(x1)＜ f(x2)，那 么就说 f(x)在区间 I上是增函数 .区间 I称 为 y=f(x)的单调增区间 ; 如果对于区间 I上的任意两个自变量的 值 x1 , x2， 当 x1＜ x2时，都有 f(x1)＞ f(x2)，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数 .区间 I称为 y=f(x)的单 调减区间 . 函数是增函数还是减函数 .是对定义 域内某个区间而言的 .有的函数在一些区间上 是增函数，而在另一些区间上可能是减函数， 因此函数的单调性是函数的局部性质 .  2. 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函 数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间上具有 (严格的 )单调性，在单调区间上增函数的 图象从左到右是上升的，减函数的图象从左 到右是下降的 . 3.判定方法(1) 定义法： 1)取值：对任意 x1,x2 I M∈ ，且 x1＜ x2； 2)作差： f(x1)-f(x2)； 3)变形 : 把差化为乘积或平方和的形式 4)判定差的正负； 5)根据判定的结果作出相应的结论 . (2)图象法  (3)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x)， y=f(u)的单调性密切相关，其规律如 下： 函数 单调性 u=g(x) 增 增 减 减 y=f(u) 增 减 增 减 y=f[g(x)] 增 减 减 增 注意： 1、函数的单调区间只能是其定义域的子区 间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集 . 2、以后将学习简单易行的导数法 . 1、定义 : 如果对于函数 f(x)定义域内任意一 个 x ，都有 f(-x)=f(x) ，那么函数 f(x) 就 叫做偶函数 . 如果对于函数 f(x)定义域内任意一 个 x，都有 f(-x)=-f(x)，那么函数 f(x)就 叫做奇函数 如果函数 f(x)是奇函数或偶函数 ，那么我们就说函数 f(x)具有奇偶性 . 奇偶性是函数的整体性质 ,函数可 能没有奇偶性 ,也可能既是奇函数又是 偶函数 . 六 .函数的奇偶性 (3)利用定理，或借助函数的图象判 定 . 2 、图象特点 偶函数的图象关于 Y 轴对称 奇函数的图象关于原点对称 3. 判定方法 函数定义域关于原点对称是函数具有奇 偶性的必要条件． 首先看函数的定义域是否关于原点对称， 若不对称则函数是非奇非偶函数 . 若对称， (1)再根据定义判定 ; (2)有时判定 f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑根 据是否有 f(-x)±f(x)=0或 f(x)/f(-x)=±1来判定 ; 七、函数的周期性（三角函数讲） 八、函数的其他性质 （详见讲义《函数的性质与函数图象的特 点》） 九、反函数（课本 P69链接） 十、函数的应用 1.函数思想 就是要用运动和变化的观点，分析 和研究具体问题中的数量关系，通过 函数的形式，把这种数量关系表示出 来并加以研究，从而使问题获得解决 . 函数思想是对函数概念的本质认识 . 用于指导解题就是善于利用函数知识 或函数观点观察处理问题 . 十、函数的应用 (课本 P82—95) 2.方程思想 就是在解决数学问题时，先设定一 些未知数，然后把它们当成已知数，根据题 设各量之间的制约关系，列出方程，求得未 知数；或如果变量间的数量关系是用解析式 的形式 (函数形式 )表示出来的，那么可把 解析式看作是一个方程，通过解方程或对方 程的研究，使问题得到解决，这便是方程的 思想 .方程思想是对方程概念的本质认识， 用于指导解题就是善于利用方程知识或方程 观点观察处理问题 . 函数思想与方程思想是密切相关的 . 如函数问题 (例如：求反函数；求 函数的值域等 )可以转化为方程问题来解 决； 方程问题也可以转化为函数问题加 以解决 . 如解方程 f(x)＝ 0， 就是求函数 y＝ f(x)的零点； 解不等式 f(x)＞ 0(或 f(x)＜ 0)， 就是求函数 y＝ f(x)的正负区间 . 3.解答数学应用题的关键有两点： 一是认真读题，缜密审题，确切理 解题意，明确问题的实际背景，然后进行科 学的抽象、概括，将实际问题归纳为相应的 数学问题； 二是要合理选取参变数，设定变元后， 就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的 代数式表示问题中的关系，建立相应的函数 、方程、不等式等数学模型；最终求解数学 模型使实际问题获解 . 一般的解题程序是： 读题 建模 求解 反馈 ( 文字语言 )( 数学语言 ) ( 数学应用 ) ( 检 验作答 ) 与函数有关的应用题，经常涉及物价、 路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角 度、面积、体积、造价的最优化问题 . 解答 这类问题的关键是确切建立相关函数解析式 ，然后应用函数、方程和不等式的有关知识 加以综合解答 . 常见的函数模型有一次函数，二次函 数，对勾函数（ y ＝ ax+b/x ）、指数函数 、对数函数、三角函数模型等等 . 1. 设集合 A= ｛ a,b ｝ ,B= ｛ 0,1 ｝ ，试列出映射 f:A→B 的所有可能的 对应法则 f. 练习题 【解题指导】虽然我们没有研究过函 数 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0) 的图象和性质，但 通过图象提供的信息，运用函数与方程的思 想方法还是能够正确地解答此题 . 2 、设 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如下图， . 根据函数图象说明函数 具有那些性质并回答 b属于 ( ) (A)(-∞， 0) (B)(0， 1) (C)(1， 2) (D)(2， +∞ ）