球 的 体 积
——MM教育方式的实践研讨
数学科组 黄慧
教学目标：1、掌握球体的体积公式及其推导线索，并能初步掌握其应用；
2、通过球的体积公式的探求，提高学生分析、综合、抽象概括等逻辑推理能力，
培养学生类比、归纳、猜想等合情推理方法及勇于探索的精神。
教学重点：球体积公式的探求
教学难点：几何体模型的构造
教学过程：
1、 创设问题情景
有一种空心钢球，重 142克，测得外径等于 5.0厘米，求它的内径。（钢的比重是
7.9g/cm3）
2、 新课讲授
1、 复习
（1） 祖暅原理
（2） 柱体、锥体体积公式的探索思路
（3） 球的表面积公式的推导方法
2、 球的体积
（1） 提出问题：如果已知球的半径是 R，能否用我们现有的数学知识、方法“制造”一
个球体积公式出来呢？
（2） 分组讨论，设计方案
（3） 小结方案
（4） 方案验证
途径一：“化整为零，无限逼近”——由球的表面积公式的推导类比联想到球的体积。
途径二：祖暅原理，构造新的几何体
1 研究半球，先把它截面朝下，扣在平面上，那么应该选择怎样的几何体作为辅助体（参
照体）呢？
2 新构造的几何体要满足哪些条件？
3 球的截面是一个常量吗？设截面高度为x,写出它的表达式。（S= R2— x2）
4 由这个表达式联想到了什么？
（圆环的面积，圆环的外半径是固定的，等于球半径，内半径是一个变化的量，正好等于
截面高度，这是一个什么样的几何体的截面，好象弄不清楚。再分开想一想， R2是一个
圆柱的截面， x2是个倒立圆锥的截面，（ R2— x2）就是一个圆柱挖去一个倒立圆
锥所形成的几何体的截面，画一个图一目了然。）
5 总结半球的体积公式：V 半球=V 挖柱=V 圆柱—V 圆锥
6 指出球的体积公式中字母的几何意义
7 用公式解决开始提出的问题，求空心球的内径。
3、 巩固练习
1、 如果球的半径扩大 3倍，那么它的体积扩大多少倍？直径扩大 3倍，体积扩大多少倍？
2、 如果球的直径为 d，那么它的体积是多少？
3、 三个球的半径比是 1∶2∶3，
（1）求证：其中最大的一个球的体积是另两个球的体积之和。
（2）求这三个球的体积之比。
4、 小结（请学生自行小结，师生共同补充完善）
1、 知识方面：通过本节课的学习，我们利用“化整为零，无限逼近”以及祖暅原理，构
造新的几何体获得者了球的体积公式 ，并初步体会了它的应用。
2、 思维能力方面：又一次体会到联想、类比、猜测、证明等合情推理及逻辑推理的方法在探
索新知识方面的重要作用。
5、 教学后记
6、 阅读、思考题：
如图（a）所示的几何体为以棱长为 R的正方体ABCD—A1B1C1D1挖去四棱锥
A—A1B1C1D1。
（1） 求平行于底面与A的距离为 h的平面 EM，截此几何体所得截面的面积；
（2） 求此几何体的体积 ；
（3） 图(b)所示几何体为半径等于 R的球的 8
1 。过半径OD1，与O的距离为 h处作平行
于底面的平面，求所得截面的面积；
（4） 根据上述（1）、（2）、（3）及祖暅原理求球的体积。
(a) (b)
7、 简附“MM教育方式”
数学方法论的教育方式（又称MM教育方式），是无锡市教科所徐沥泉先生于 1989年
秋开始并先后在 66个教学班进行实验之后，首先提出的。1996年始在北京全面推广。
MM教育方式，就是“教师遵循数学方法论的基本原理，遵循学生身心发展和学习的
规律，促使教学、学习和数学发现过程同步”，即“教学、学习、研究三者同步协调”的一种
教育方式。
MM教育方式在数学教学中要充分发挥数学教育的两个功能——数学的科学技术功能
和文化教育功能；贯彻两条原则——教学、学习、发现同步协调原则和既教猜想又教证明原
则；瞄准三个具体目标——引导学生不断自我增进一般科学素养，提高他们的社会文化修
养，形成和发展数学品质；自觉、恰当地操作八个变量——数学的返璞归真教育、数学教学
中的美育、数学发现法教育、数学家优秀品质教育、数学史志教育和数学中合情推理、逻辑推
理与一般解题方法的教学。
MM实验课的教学，并不是每一节课都贯彻执行以上所有内容，而是体现其精神，在几
个方面能自觉应用。
八、课堂设计流程图
开始
创设问题情景(例 1)
复习
祖暅原理 柱、锥体积公式探索思路 球表面积公式推导方法
提出问题
分组讨论
小结方案
方案验证
问题解决
形成性练习
全课小结
思考题
作业布置
结 束
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