0 0 类别 : 教案

球教案 ●教学目标 （一）教学知识点 1.利用“分割——求近似和——化为准确和”的思想方法推导球体积公式：V= 3 4 πR3. 2.球体积公式 V= 3 4 πR3的应用. 3.几何体的接切问题. （二）能力训练要求 1.使学生了解这种“分割——求近似和——化为准确和”的思想方法. 2.使学生熟练掌握球体积公式 V= 3 4 πR3. 3.使学生能熟练解决几何体的相接切问题. （三）德育渗透目标 培养学生用普遍联系的观点看问题. ●教学重点 球体积公式 V= 3 4 πR3的应用. ●教学难点 了解“分割——求近似和——化为准确和”的思想方法. ●教学方法 启发式 由于对推导球体积公式 V= 3 4 πR3的过程并不要求学生准确掌握，重要的是让学生必须 了解推导过程中所用的基本数学思想方法，即“分割——求近似和——化为准确和”这一 重要的数学思想方法，这将有利于学生进一步学习微积分和近代数学知识 .因此教师只须指 导学生体会用“分割——求近似和——化为准确和”的这一重要数学思想在研究数学问题 中的应用即可. 球体积公式 V= 3 4 πR3的应用尤为重要.本节通过引入几何体的接切概念，将球体积公 式的应用体现在与球有关的接切问题中.教学中，在解决与球有关的接切问题时，教师要启 发学生自己归纳：在一般情况下，需要通过作一个怎样的适当截面，就可以将问题转化平 面问题去解决. ●教具准备 多媒体课件一个 作球 O，过球心 O作一截面，得一半球，则半球的底面是截面⊙O，把半球的垂直于 底面的半径 OA作 n等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成 n层.让 学生观察得，若 n无限大时，每一层都是近似于圆柱形状的“小圆片”. 投影片四张 第一张：本课时教案练习（记作§9.10.2 A） 第二张：课本 P68例 2（记作§9.10.2 B） 第三张：本课时教案例 1（记作§9.10.2 C） 第四张：本课时教案例 2（记作§9.10.2 D） ●教学过程 Ⅰ.复习回顾 ［师］上节课我们讨论了球及其性质，学会了求地球上两点间的球面距离，现在请大 家思考：若 A、B为球面上相异的两点，则通过 A、B可作的大圆个数为几个？为什么？ （学生思考，动手画） ［生甲］一个，因为 A、B及球心O三点确定一个平面，所以这样的大圆只有一个. ［师］有不同意见吗？ ［生乙］一个或无数个，当 A、B及球心O不共线时，可作一个大圆；当 A、B恰是球直 径的两个端点时，即当 A、B及球心O共线时，这样的大圆可作无数个. ［师］生甲只注意到其中的一种情况，漏掉了另一种情况，导致问题分析的不全面、不 严谨，以后学习过程中应引起注意. 接下来，我们再练习一题. （打出投影片§9.10.2 A,读题） 练习：设地球的半径为 R，在北纬 45°圈上有两个点 A、B，A在西经 40°，东经 50°，求 A、B两点间的球面距离. ［师］A、B两点的球面距离，就是球面上两点之间的最短距离，是一段弦，请大家回 忆上节课学习的计算 A、B两点间的球面距离的一般步骤是什么？ ［生］①计算线段 AB的长 ②计算 A、B对球O的张角∠AOB ③计算大圆劣弧 AB 的长. ［师］好，下面请同学们画出这个题目的图形，找出 A、B所在位置，按照以上步骤完 成 A、B两点间的球面距离. （请一位同学板书，其余学习练习，教师查看指导） 解：如图所示：设 45°纬度圈中心为 O1，地球中心为 O，则 ∠AO1B=45°+45°=90° ∵OO1⊥面O1所在平面 ∴OO1⊥O1A，OO1⊥O1B ∵A、B在北纬 45°圈上 ∴∠AOO1与∠BOO1都等于纬度 45°的余角 45°. ∴AO1=BO1= 2 2 R 在 Rt△AO1B中，AB= 2 AO1=R ∴△AOB为等边三角形 ∴∠AOB= 3  ∴ =|α|·R= 3  R ∴A、B两点的球面距离为 3  R. ［师］解决这个问题的关键是确定球心角∠AOB.以上解法是将各分散的已知元素和所 求元素都集中在较为熟悉的几何体——四面体之中，从而变未知为已知，使问题获解. 这节课，我们对球继续讨论，讨论球的体积及其在与球有关的相接切问题中的应用. Ⅱ.讲授新课 ［师］球的体积就是球体所占空间大小的度量，球体积公式的推导过程使用了“分割、 求近似和、再由近似和转化为准确和”方法，即先将半球分割成 n部分；再求出每一部分的 近似体积，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积；最后通过考虑 n变到无穷大的情 形，由半球的近似体积推出准确体积. 下面，我们一起来体会这种数学思想方法的应用. （教师边讲边演示多媒体课件，学生观察、思考） ［师］由以上的演示过程，我们得到被分成 n层的半球的每一层都是近似于圆柱形的 “小圆片”.显然，这些“小圆片”的体积之和就是半球的体积 .那么如何计算这些“小圆 片”的体积呢？ ［生］由于这些“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于相应的圆柱的体 积. ［师］好！思路很正确，大家顺着这一思路自己阅读课本 P67~68，完成“求和”及“化 为准确和”的学习过程. （学生自学，教师指导，可能有的学生对于第三步“化为准确和”中的“当 n变得无 穷大时， n 1 →0”的理解有困难，教师要及时地指导学生通过“n=100,1000,10000,100000, …时 n 1 的相应变化趋势”去直观地认识.） ［师］同学们理解了用“分割——求近似和——化为准确和”的这一思想方法推导球 体积公式的过程了，那么对球的体积 V与球的半径 R之间的函数关系就搞清了，即 V= 3 4 πR3,下面，我们来体会一下它的作用.（板书球体积公式） （打出投影片§9.10.2 B,读题） ［师］怎样利用球体积公式处理这个问题呢？ ［生］因为钢球的质量等于钢球的密度乘以钢球的体积，而钢球的体积又等于 3 4 倍 的外半径的立方减去 3 4 倍的内半径的立方.故有： 解：设空心钢球的内径为 2x cm,那么钢球的质量是： 7.9·［ 142]3 4)2 5(3 4 33  x , x3=（ 49.7 3142)2 5 3   ≈11.3, 由计算器算得 x≈2.24 2x≈4.5 cm 答：空心钢球的内径约为 4.5 cm. ［师］两个几何体相接或相切的问题是立体几何中的重要内容 .一般情况下，两个几何 体相接是指一个几何体的所有顶点，（包括某一个面的周线上所有点或某一个面上的所有 点），都在另一个几何体的表面上.两个几何体相切是指一个几何体的各个面与另一个几何 体的各面相切.下面，我们研究与球有关的相接切问题. （打出投影片§9.10.2 C,读题） ［例 1］求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比. ［师］解答本题的关键是根据问题的题设和所求，将问题的空间图形想清楚 .那么，该 如何去画呢？ ［生］画出球及它的外切圆柱、等边圆锥的公共轴截面，再寻找几何体与几何体之间元 素的关系. （师生共同分析图形，教师板书解答过程） 解：如图所示，等边△SAB为圆锥的轴截面，此截面截 圆柱得正方形 C1CDD1，截球面得球的大圆圆O1. 设球的半径 O1O=R，则它的外切圆柱的高为 2R，底面 半径为 R，则有 OB=O1O·cot30°= 3 R SO=OB·tan60°= 3 R· 3 =3R ∴V 球= 3 4 πR3,V 柱=πR2·2R=2πR3 V 锥= 2)3(3 1 R ·3R=3πR3 ∴V 球∶V 柱∶V 锥=4∶6∶9 ［师］以上题目，通过作球及外切圆柱、等边圆锥的公共截面暴露这些几何体之间的相 互关系. 让我们继续体会有关球的相接切问题. （打出投影片§9.10.2 D,读题） ［例 2］半径为 R的球的内接四面体内有一内切球，求这两 球的体积比？ ［师］同学们分析题目，整体你的思路. ［生］先用 R表示正四面体的棱长，再求内切球的半径. ［师］内切球的半径怎样求呢？ ［生］根据几何体相切的定义知内切球球 O到正四面体各 面距离为内切球的半径，故可以通过等体积法求之. （学生分析，教师板书解答过程） 解：如图所示，大球 O的半径为 R；设正四面体 A—BCD的棱长为 a,它的内切球半径 为 r,依题意 BO1= aaaBOABAOaa 3 6)3 3(,3 3 2 3 3 2 222 1 2 1  . 又∵BO2=BO12+OO12， ∴R2=（ 22 )3 6()3 3 Raa  ∴a= 3 62 R 连结OA，OB，OC，OD，内切球球心到正四面体各面距离为 r,VO—BCD=VO—ABC+VO—ACD+ VO—AOB+VO—BCD ∴ rSAOS BCDBCD   3 143 1 1 ∴r= 4 1AO ∴r= RRa 3 1 3 62 12 6 12 6  ∴V 小球∶V 大球= 3 4 π·（ 3 1 R）3∶ 3 4 π·R3=1∶27 ∴内切球与外接球的体积比为 1∶27. ［师］整个解题过程中，最关键是什么？ ［生］关键在于求正四面体的高. ［师］好！本例题的难点显然是利用等体积求内切球的半径，突破这一难点需要同学 们有较强的空间想象和分析能力.所以，同学们在平时学习过程中就应该注重培养自己的观 察、判断推理的数学技能. Ⅲ.课堂练习 课本 P69练习 1、2. 1.球的直径伸长为原来的 2倍，计算球的体积变为原来的 n倍. 答案：设原来球体积为 3 4 πR3,则当球的直径伸长为原来的 2倍时，体积变为 3 4 ·π· （2R）3,所以，显然球的体积变为原来的 8倍. 2.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是 4 cm,求这个球的体积. 答案：因正方体的顶点都在球面上，所以正方体的体对角线长等于球的直径，即 4 3 =2R，又有 V= 3 4 πR3= 3 4 π·（ 2 34 ）3=32 3 πcm3. Ⅳ.课时小结 本节课学习了球体积公式及与球有关的相接切的问题，对于前者，要求同学们要理解 并能体会出“分割——求近似和——化为准确和”的这种重要数学思想方法的应用 .对于处 理后者的问题时，一般可通过作一适当的截面，使得问题转化为平面问题而获解，这类截 面常常是圆锥的轴截面、球的大圆、多面体的对角面等，在这个截面中应包括每一个几何体 的主要元素，并且这个截面能反映出几何体与几何体之间的位置关系与数量关系. Ⅴ.课后作业 （一）课本 P71 5、6. （二）1.预习内容：课本 P69~P71 2.预习提纲： （1）再次体会“分割——求近似和——化为准确和”的这种重要的数学思想方法. （2）在球的表面积公式中体会 S与 R之间的关系. ●板书设计 §9.10.2 球（二） 1.球体积公式的推导： 例 1 例 2 分析 分析 2.与球有关的相接切问题： 解 解 练习 1. 小结 2.