抛物线的标准方程及性质教案 2
教学目的
通过教学，不仅要求学生熟记抛物线的定义、标准方程的四种形式，
会用标准方程确定抛物线的几何性质，而且要求学生进一步熟练掌握解
析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．
教学过程
一、揭示课题
师：我们已学习了哪几种圆锥曲线？
生：已学过圆、椭圆、双曲线．
师：今天我们学习第四种圆锥曲线——抛物线．它的标准方程及
性质怎样呢？
(板书课题：抛物线的标准方程及性质．)
师：同学们对抛物线已有了哪些认识？
生：在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运动轨道．在函数中，
抛物线是二次函数的图像．
师：在二次函数中研究过的抛物线有什么特征？
生：这里研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴的(只是开口向
上或向下的)情形．
师：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函
数的图像来研究了．我们这里，就是要打破在函数研究中的这种局限，
从更一般的意义上来研究抛物线．
二、讲述新课
1．抛物线的定义
师：为了认识抛物线是满足什么条件的动点的轨迹，我们可以从
研究最简单的二次函数y＝ax2所决定的抛物线的性质入手：
[思维从问题开始．]
生：(板书．)
设P(x，ax2)，则
所以，抛物线上任意一点到已知定点和已知定直线的距离相等．
师：由此，我们能不能说抛物线是到一个定点和一条定直线距离
相等的点的轨迹呢？
生：不能！轨迹必须既满足纯粹性，又满足完备性，这里只证明
了抛物线所具有的几何性质，即纯粹性，还未证明完备性．
师：这里完备性的证明，要研究什么命题呢？
问题2：满足到一个定点F和一条定直线l距离相等的点一定在抛
物线上．
师：上述命题的证明并不困难．这里，我们还可以作一个直观的演
示．
[直观演示不仅为了对抛物线定义先作形象的认识，而且在于使得
对抛物线y＝ax2的研究引向一般．]
把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上(图2)；把一块三角板
的一条直角边紧靠着直尺的边缘；把一条绳子的一端固定在三角板另一
条直角边上的一点A，截取绳子的长等于从点A到直线l的距离AC，并
且把绳子的另一端固定在画图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧
靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑
动，这样铅笔就描出一条曲线．
(教师可以反复演示后，请学生来归纳抛物线的定义，教师总结，
并将定义板书在黑板上．)
师：这样，可以把抛物线的定义概括成(板书．)
定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨
迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点．直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程
师：设定点F到定直线l的距离为 p(这是已知数且大于零)．下
面，我们来求抛物线的方程．怎样选择平面直角坐标系，才能使所得的
方程取较简的形式呢？
(让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小结一下．
学生中建立平面直角坐标系的方法大致有以下六种，可以分组让
学生对各种情况，分别求得相应的方程，并把结果填入小黑板上预先列
出的表里．如下表．)
师：比较所得的各个方程，应该选哪些方程作为抛物线的标准方
程呢？
生：应该选(3)～(6)这四个方程作为抛物线的标准方程．因为这
些方程不仅具有较简的形式，而且方程中的系数有明确的几何意义：一
次项系数是焦点到准线距离的2倍．
y＝ax2．
由此可见，用曲线方程的观点研究抛物线比用二次函数的观点研究
抛物线，更具有一般性．
3．四个标准方程的应用
[例 1] (1) 已知抛物线的标准方程是y2＝6x，求它的焦点坐标和
准线方程；
(2) 已知抛物线的焦点坐标是F(0，－2)，求它的标准方程．
x2＝－8y．
[例 2] 根据下列所给的条件，写出抛物线的标准方程：
(2) 焦点到准线的距离是2．
y2＝－x．
(2) 因为焦点到准线的距离为 p，所以 p＝2，由于焦点不定，因
而四个标准方程都合适，故
y2＝4x，y2＝－4x，x2＝4y，x2＝－4y．
(让学生边看、边做、边研究、边讨论．)
师：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含
有一个系数 p，因此只要给出确定 p的一个条件，就可以求出抛物线的
标准方程．当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程也
就唯一确定．如果抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标
准方程就会有多解．
4．抛物线的几何性质
师：怎样由抛物线的标准方程确定它的几何性质？
(以 y2＝2px，p＞0为例，用小黑板给出下表，请学生对比、研究和
填写．)
师：和椭圆、双曲线的几何性质相比，抛物线的几何性质有什么
特点呢？
(学生和教师共同小结．)
(1)抛物线只位于半个坐标平面内，尽管它也可以无限延伸，但没
有渐近线；
(2)抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线，或
同顶点和焦点的连线重合．抛物线没有中心．
(3)抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．
(4)抛物线的离心率的规定要联系椭圆、双曲线的第二个定义，并
和抛物线的定义作比较．其结果是应规定抛物线的离心率为1．
(这样不仅引入了抛物线离心率的概念，而且把圆锥曲线作为点的
轨迹统一了起来．)
三、布置作业
课本习题：略．
教案说明
(1)本节课研究的是抛物线，实际是解析几何基本思想方法的又一
次应用．我们从研究已经熟悉的抛物线y＝ax2的性质入手，按照轨迹必
须满足纯粹性、完备性的要求，概括出了抛物线的定义；运用坐标的观
点，选取适当的平面直角坐标系，求得了抛物线标准方程的四种形式；
通过对所得代数方程的讨论，按照椭圆、双曲线几何性质的项目，得到
了抛物线的几何性质，从而完成了用解析法研究抛物线的两个基本课题．
即求抛物线方程；由抛物线方程的讨论确定抛物线的几何性质．
当然，我们这里对抛物线的研究仍有局限性，当抛物线的对称轴不
平行于坐标轴时，上述两个基本课题的研究这里还未全部完成．这要留
待下一章再作研究．
(2)抛物线定义的得出，从二次函数图像——抛物线上任意一点到
已知定点和已知定直线的距离相等着手，再去研究满足到一个定点F和
一条定直线l距离相等的点一定在抛物线上，这种从必要条件中寻找充
要条件的考虑是中学数学中重要的思想方法，它可以使寻找范围大大缩
小．但不能以必要条件代替充要条件．这里概括抛物线定义的设计，渗
透了这种思想，且加深了对轨迹概念、曲线和方程概念的理解．
从研究抛物线y＝ax2的性质入手概括抛物线定义的上述过程，对
坐标系的适当选取，已作了提示，不仅可以免除硬性规定坐标系的突然
性，而且可以发展学生联想对比的能力．
学生对抛物线并不陌生，如果直接给出定义，硬性规定坐标系的选
法，也可以得到其标准方程，但是学生往往觉得比较突然，而且总认为
已经研究过了．采用“顺应”学生认识的方法引入，不仅可以免去学生
因悬念产生的思维干扰，而且可以点明新意，以调动学生的学习积极性．
(3)总体设计从具体到抽象，从学生比较熟悉的二次函数图像——
抛物线研究中的局限性为突破口，还可以根据抛物线的定义，用求轨迹
方程的一般方法去求抛物线的非标准方程．例如：
求顶点为 O′(－1，2)，焦点为F(1，4)的抛物线方程．
这里由于焦点不在坐标轴上，顶点也不在坐标原点，因此所求的抛
物线方程一定不是标准方程．
不难得到，焦点在准线上的射影为(－3，0)，又过顶点和焦点的直
线的斜率为1，所以准线方程为y＝－(x＋3)，即
x＋y＋3＝0．
设所求抛物线上任意一点为(x，y)，则
化简后得
x2－2xy＋y2－10x－22y＋25＝0．
至于怎么对所得的方程进行讨论，确定相应抛物线的性质，将在下
一章研究．为新一章学习留下伏笔．
(4)依据一定条件写出抛物线的标准方程是熟悉和运用抛物线标准
方程的基本训练．教师出几个题让学生去做是常采用的方法．如果围绕
怎样决定抛物线标准方程这一中心课题，让学生在思考解决它的两个关
键问题(几何对象代数化，即求抛物线的方程；代数结论几何化，即由
抛物线方程的讨论确定抛物线的几何性质)中去研究一些题目，不仅可
以增加训练的思考性、目的性，而且可以培养学生使用已学知识去分析
问题、解决问题的能力．
抛物线几何性质的研究项目、方法和结果同椭圆、双曲线很类似．学
生自己研究也无困难．让学生填充给出的上表，不仅可以使三种圆锥曲
线的性质得到对比，而且可以提高学生对新知识的探索能力．
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