0 0 类别 : 教案

双曲线的几何性质教案 ●教学目标 （一）教学知识点 双曲线的范围、对称性（对称轴、对称中心）、顶点（截距）、实轴、虚轴的概念及双曲线 的渐近线与离心率. （二）能力训练要求 1.使学生理解并掌握双曲线的范围. 2.使学生理解并掌握双曲线的对称性，明确标准方程所表示的双曲线的对称轴、对称中 心. 3.使学生理解双曲线的渐近线的定义，掌握双曲线渐近线的方程，并能利用双曲线的 渐近线较准确地画出双曲线的草图. 4.使学生掌握离心率的定义及其几何意义. （三）德育渗透目标 使学生充分认识数与形的有机联系，数与形的辩证统一. ●教学重点 双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法. ●教学难点 双曲线的渐近线 ●教学方法 指导学生自学法 双曲线的几何性质讨论的内容，除渐近线外，与椭圆的几何性质类同，对椭圆的几何 性质及其研究方法，学生已经初步掌握，在教师的指导下，自学双曲线的几何性质不会有 什么问题，同时通过学生的自学，学生的亲身实践与体验，对于学生掌握双曲线的几何特 征及问题的研究方法，能起到加深印象与理解的作用，达到突破难点、巩固所学知识的目的.  ●教具准备 投影片一张 本课时教案后面的预习内容及预习提纲（记作§8.4.1 A） 多媒体课件一个： 先作出中心在原点、焦点在 x轴上的双曲线，其次，随着内容的讨论至顶点时，标出 A1、A2、B1、B2点，第三，讨论到实轴、虚轴概念时，让线段A1A2、B1B2闪动，第四，到渐近线时， 按要求作出矩形，作出对角线，并随着x的增大（缩小）延长渐近线、双曲线，让学生观察 曲线逐步接近直线. ●教学过程 Ⅰ.课题导入 ［师］前面我们学习了椭圆的简单性质：范围、对称性、顶点、离心率，请同学们回忆一 下，对于椭圆 12 2 2 2  b y a x (a＞b＞0)其几何性质的具体内容及其研究方法. ［生］椭圆的范围是|x|≤a,|y|≤b（教师板书） ［师］讨论方法是什么？ ［生］因两个非负数的和等于 1，那么由方程可知，每一个大于 1，即小于或等于 1， 据此得到椭圆的范围. ［师］请接着谈一下其他性质. ［生］对称性：椭圆关于x 轴、y轴、原点都对称，原点是椭圆的中心. 顶点：椭圆与它的对称轴的交点叫做椭圆的顶点，其顶点坐标是（±a,0）, (0,±b) 离心率：e= a c (e∈(0,1)) （学生回答，教师板书） ［师］在椭圆顶点的研究中，我们给出了长轴、短轴的概念，明确了长轴长、短轴长， 以及a、b、c的几何意义，谁来补充一下？ ［生］椭圆在同一条对称轴上的两个顶点间的线段，较长的是椭圆的长轴，较短的是 椭圆的短轴，长轴长是 2a,短轴长是 2b，a是长半轴的长，b是短半轴的长，c是半焦距.  ［师］很好！离心率对椭圆的扁圆情况有怎样的影响呢？ ［生］0＜e＜1，当e越接近1时，c越接近于a,b= 22 ca  越小，椭圆就越扁；当 e 越接近于0时，c越小，b= 22 ca  越接近于a，椭圆就越接近于圆. ［师］好！椭圆的对称性、离心率、顶点三种性质的讨论方法是什么呢？ ［生］讨论椭圆的对称性时，用-y代 y，方程不变，则椭圆关于 x轴对称；用-x代 x，方程不变，则椭圆关于 y轴对称；同时用-y代 y，-x代 x，方程不变，则椭圆关于原点 对称. 讨论离心率时，由离心率的定义，得到了离心率的范围. 讨论顶点时，由顶点的定义及椭圆的对称轴是坐标轴，令 x=0，得顶点的纵坐标，令 y=0得顶点的横坐标，据此可写出顶点的坐标. ［师］很好！同学们对椭圆的简单几何性质，掌握得基本熟练.下面，我们用类比的方 法来研究双曲线的简单几何性质.（板书课题） Ⅱ.讲授新课 ［师］上节课下课时，老师请同学们依照研究椭圆的简单几何性质的方法和步骤去试 推双曲线的简单几何性质，完成了这个作业的同学请举手. ［生］举手 ［师］好！请放下，哪位同学对照椭圆的简单几何性质的顺序，来谈一下双曲线 12 2 2 2  b y a x (a＞0,b＞0）的几何性质，并谈谈这个性质的讨论方法. ［生甲］范围，|x|≥a, 即 x≥a,x≤-a 讨论方法是由标准方程可知 2 2 a x 与一个非负数的差等于 1，所以 2 2 a x ≥1，由此推得 x 的范围. y除受到式子本身的制约外，没有任何限制，说明双曲线位于x≥a与 x≤-a的区域内. ［师］好，请另一位同学接着说. ［生乙］对称性，双曲线关于坐标轴、原点都是对称的，坐标轴是双曲线的对称轴，原 点是双曲线的对称中心，即双曲线的中心. 讨论方法是以-y代 y，方程不变，所以双曲线关于 x轴对称；以-x代 x，方程不变， 所以双曲线关于 y轴对称；同时以-y代 y，以-x代 x，方程不变，所以双曲线关于原点对 称. ［生丙］顶点，只有两个，即（±a,0）. 讨论方法是令 y=0,得 x=±a,因此双曲线和它的一条对称轴——x轴有两个交点 A1（-a,0）,A2(a,0),所以双曲线的顶点是（±a,0）. 令 x=0时，解得 y2=-b2,无实数解，说明双曲线与它的另一条对称轴——y轴没有交点， 故双曲线顶点只有两个. ［师］请注意：双曲线 12 2 2 2  b y a x (a＞0,b＞0)与 y 轴没有交点，但我们也把 B1（0，-b),B2（0，b）画在y轴上.（打出多媒体课件） 线段A1A2叫做双曲线的实轴，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，实轴的长为 2a,虚轴的长为 2b，a是实半轴的长，b是虚半轴的长，焦点始终在实轴上.下面，请一位同学来谈一下离 心率. ［生丁］双曲线的焦距与实轴长的比 e= a c 叫做双曲线的离心率 .e= a c 且 e∈(1,+∞)，这是因为c＞a＞0. ［师］离心率对双曲线张口的大小有什么影响？为搞清这个问题，我们先来看双曲线 特有的另外一个性质——渐近线. 经过A2、A1作y轴的平行线x=±a,经过B2、B1作x轴的平行线y=±b，这四条直线围成一 个矩形（打出多媒体课件），矩形的两条对角线所在的直线的方程是——（教师可拉长语 气，等待学生作答）y=± a b x，从图中可以看出，双曲线 12 2 2 2  b y a x 的各支向外延伸时， 与这两条直线逐渐接近.我们观察到的这个结论可靠不可靠呢？下面，我们来进行证明. 先取双曲线在第一象限的部分进行证明，这一部分的方程可写成 y= 22 axa b  (x＞a) 设 M（x,y）是它上面的点，N（x,y）是直线 y= a b x上与 M有相同横坐标的点，则 y= a b x ∵y= 22 axa b  = Yxa b x a a bx  2)(1 ∴|MN|=Y-y= )( 22 axxa b  ∴|MN|= 22 2222 ))(( axx axxaxx a b   ∴|MN|= 22 axx ab  设|MQ|是点 M到直线y= a b x的距离，则|MQ|＜|MN|，当 x逐渐增大时，|MN|逐渐减小， x无限增大，|MN|接近于0，|MQ|也接近于0，就是说，双曲线在第一象限部分从射线 ON的 下方逐渐接近于 ON. 在其他象限内，也可以证明类似的情况. 我们把两条直线y=± a b x叫做双曲线的渐近线. 在方程 12 2 2 2  b y a x 中，如果 a=b，那么双曲线的方程为 x2-y2=a2,它的实轴和虚轴的长 都等于 2a,这时四条直线 x=±a,y=±a围成正方形.渐近线方程为 y=±x，它们互相垂直， 并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角，实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线. 利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图，具体做法：画出双 曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后再过这两个点并 根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分.最后 根据双曲线的对称性画出完整的双曲线. 有了双曲线的渐近线，我们再来讨论离心率对双曲线张口大小的影响，就方便了. 由等式c2-a2=b2可得 11)( 22 22  ea c a ac a b 由上式可以看出，e越大， a b 也越大，即渐近线 y=± a b x的斜率的绝对值越大，这时 双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，由此可知，双曲线的离心率越大，它的张口就越大.  Ⅲ.例题分析 ［例 1］求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长是多少？虚半轴长呢？焦点坐标、离心率、 渐近线方程各是什么？ ［师］要解决这个问题，首先需要怎样做？ ［生］将所给的方程化成标准方程. ［师］好，下面请同学们完成此题. （学生在下面做，请一位同学在黑板上板书） （教师在巡视时可提出问题：化成标准方程后，可以看出焦点在哪个轴上呢？或者双 曲线的实轴在哪个坐标轴上？写出焦点坐标、渐近线方程时一定要注意！） （学生解答之后，教师讲解，也许渐近线方程会出错，要告诉学生怎样正确地写出渐 近线方程） ［师］根据双曲线的标准方程写出渐近线方程的方法有两种： 1.画出以实轴长、虚轴长为邻边的矩形，写出其对角线方程，特别要注意对角线的斜率 的确定. 2.将双曲线标准方程等号右边的 1改为 0，即得双曲线的渐近线方程，再据此推出 y=kx的形式. 另外需要注意的是：若已知双曲线的标准方程则可以写出其渐近线方程，但若已知双 曲线的渐近线方程，则不能仅据此确定a、b的值，只能确定a、b的关系，这点与离心率是 类同的. Ⅳ.课堂练习 课本 P113练习1、5 1.求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点和焦点坐标、离心率、渐近线方程： （1）x2-8y2=32 (2)9x2-y2=81 (3)x2-y2=-4 (4) 12549 22  yx 答案：（1）2a=8 2 ,2b=4;顶点坐标为（4 2 ，0），（-4 2 ，0）；焦点坐标为 (6,0),(-6,0);e= 4 23 ;渐近线方程为 y=± 4 2 x. （2）2a=6,2b=18;顶点坐标（3，0），（-3，0）；焦点坐标（3 10 ，0），（-3 10 ，0）；e= 10 ;渐近线方程为 y=±3x. （3）2a=4,2b=4;顶点坐标是（0，2），（0，-2）；焦点坐标为（0，2 2 ）， （0，-2 2 ）；离心率 e= 2 ;渐近线方程为 x=±y. (4)2a=10,2b=14;顶点坐标是（0，5），（0，-5）；焦点坐标为（0， 74 ）， （0，- 74 ）；离心率 e= 5 74 ;渐近线方程为 y=± 5 7 x. 5.当渐近线的方程为 y=± a b x时，双曲线的标准方程一定是 12 2 2 2  b y a x 吗？如果不 一定，举出一个反例. 答案：不一定是 反例：双曲线 122 2 2 2 2  b y a x 的准线方程为： y=± a b x. Ⅴ.课时小结 本节课我们讨论了双曲线的简单几何性质、范围、对称性、顶点、离心率、渐近线.为了加 深理解和掌握，大家可以与椭圆对照，比较异同点，准确把握，同时，请同学们写出焦点 在y轴上的标准方程表示的双曲线的范围、对称性、顶点、实半轴长、虚半轴长、离心率、渐近 线方程. Ⅵ.课后作业 （一）课本 P113习题8.4 1、5、6 （二）1.预习内容：课本 P111例 2、例 3 2.预习提纲： （1）解有实际意义的题目关键是什么？ （2）不清楚双曲线焦点位置时，其标准方程有几种形式？是怎样的？ （3）双曲线的比值定义是什么？ （4）怎样的直线叫做双曲线的准线？ （5）对于确定的双曲线，它有几条准线？ （6）中心在原点、焦点在y轴上的双曲线，它的准线方程是怎样的？ ●板书设计 §8.4.1双曲线的简单几何性质 椭圆的标准方程 12 2 2 2  b y a x (a＞b＞0) 范围 对称性 顶点 离心率 双曲线的标准方程 12 2 2 2  b y a x (a＞0,b＞0) 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线 例 1 练习 小结