0 0 类别 : 教案

数学归纳法的应用举例教案 教学内容： 探索某些数列问题的结论，并用数学归纳法给出证明． 教学目标： 1．使学生初步掌握运用归纳、猜想等合情推理方法，并结合数学归纳法， 探索、发现某些数列问题的结论； 2．通过问题结论的探求，培养学生的探索发现能力、逻辑思维能力和抽象 概括能力； 3．通过既教猜想又教证明，培养学生思维的灵活性、批判性和科学性． 设计思想 本节课内容是数学归纳法的重要应用之一．由于欲证明的是猜想的结果， 而归纳、猜想的基础是个别试验．据此，本节课可按试验───归纳───猜想 ───证明的程序对具体问题展开探索研究． 教学过程 一、课题引入 由一类新问题的探索引入课题．老师指出：关于数学归纳法，前几节课我 们用它来证明了一类与自然数有关的等式、不等式以及整除性问题和几何问题， 并且欲证的结论在命题中都已明确给出．然而，另有一类问题，欲证明的结论 是未知的（如本章教学指导库三中的例 6），这给我们证明问题带来了困难． 那么用怎样的方法才能有效地探索解决这类问题呢？这是我们今天要研究的课 题───归纳、猜想、证明（师边说边板书课题）． 二、知识讲解 本节课的教学目的之一是引导学生学习运用归纳、猜想等合情推理方法，探 索某些数列问题的结论，并利用数学归纳法给出科学的证明．牛顿说过：“没 有大胆的猜想，就做不出伟大的发现，”布鲁纳说：“探索是数学的生命线”， 这些大科学家和心理学家的哲理名言，无疑启示我们应当既教证明又教猜想， 在大力推进素质教育的今天尤其如此．个别试验是归纳、猜想的基础，由于猜想 所得的结论未必可靠，因而借助于数学归纳法的证明来鉴别结论的正确与否是 必由之路．据此，解决本节课所提出的问题（如本章教学指导库三中的例 6） 的基本模式是： 试验───归纳───猜想───证明． 三、例题分析 为既教猜想，又教证明，教学生探索问题，发现真理，可选配如下例题： 例1．设数列         1212 1 nn 的前n项和为Sn，试求S1，S2，S3，S4的值， 由此猜想出Sn的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想． 分析：本例的求解思路题目中已经给出了明示：即（1）分别求出 S1，S2，S3，S4；（2）由（1）中的结果猜出 Sn的表达式；（3）对猜想用数学 归纳法加以证明．显然，如何根据S1，S2，S3，S4的值的规律，合理地猜想出Sn 的表达式是解决问题的关键． 解：S1=    3 1 112112 1  ， S2= S1＋   122122 1  15 1 3 1  5 2 S3= S2＋   132132 1  35 1 5 2  7 3 S4= S3＋   142142 1  63 1 7 3  9 4 由此猜想，Sn= 12 n n （n N ）． 用数学归纳法证明如下： 当n=1时， 12 n n = 112 1  3 1 ， 又S1 3 1 ，故猜想正确． 假设n=k（k≥1，k N ）时猜想正确，即Sk = 12 k k ，正确， 则当n=k＋1时， Sk＋1= Sk ＋      112112 1  kk   3212 1 12  kkk k =    3212 132   kk kk      3212 112   kk kk   112 1   k k 即当n=k＋1时猜想也正确． 综上①，②，对一切自然数n，Sn= 12 n n 都正确． 通过本例讲解，使学生初步熟悉这类问题的探索思路． 例2．已知数列｛an｝满足 Sn=2an＋2 n（n=1，2，3，…），求这个数列的 通项 an，并证明你的结论． 分析：与例 1相比，本题中通项 an的探求思路在本题中未作明示而需要我 们自己设计．注意到通项 an与前n项和 Sn的关系，我们可先求出关于通项的一 个递推关系式，然后进行个别试验，进而归纳、猜想出 an的表达式，再用数学归 纳法证明即可． 解：∵ a1= S1=2a1＋2， ∴ a1=－2． 由 an=Sn－Sn－1=（2an＋2 n）－（2 an－1＋2 n－1）（n≥2），得 an=2an－1 －2 n－1 （n≥2） 于是，a2=2a1－21= －22 －21=－3 · 21， a3=2a2－22 = －3 · 22－22 =－4 · 22， a4=2a3－23 = －4· 23－23=－5 · 23． 由此猜想：an= －（n＋1）·2 n－1（n N ）． 用数学归纳法证明如下： 当n=1时，－（n＋1）·2n－1= －（1＋1）·21－1=－2， 又 a1=－2，故猜想正确． 假设n= k（k≥1，k N ）时猜想正确，即 ak= －（k＋1）·2k－1成立， 则当n= k＋1时，ak＋1=2ak－2k=2·[   121  kk ]－2k=－（k＋2）·2 k． 即当n= k＋1时猜想也成立． 综上①，②，对一切 n N ，an=－（n＋1）·2 n－1都正确． 通过本例的讲授，旨在使学生初步学会这类问题探求思路的设计．这里， an与Sn的关系的获得，为顺利地进行试验、归纳和猜想奠定了基础． 例 3．是否存在常数 a，b，c 使得等式 1·22＋2·32＋…＋n   21n =   12 1nn （an2＋bn＋c）对一切自然数n都成立，并证明你的结论． 分析：假设符合条件的常数 a，b，c存在，于是这样的 a，b，c既然能使 等式对一切自然数 n都成立，那么对具体的自然数 1，2，3当然也能使等式成 立．因此，可将 n=1，2，3分别代入等式，求出相应的 a，b，c，再用数学归纳 法证明求出的 a，b，c能使等式对一切自然数成立即可． 解： 假设存在常数 a，b，c，使题设等式成立，则分别取 n=1，2，3，等 式也应成立． 于是得 . 7039 4424 24       cba cba cba ， ， 解得 a=3， b=11， c=10 ． 即对 n=1，2，3，等式 1·22＋2·32＋…＋n   21n =  12 1nn （3n2＋11n＋ 10）（*）成立． 现在，如果我们能证明对一切自然数 n，（*）式均成立，这表明 a，b，c 的确存在，且 a=3， b=11 c=10 ．否则，a，b，c不存在． 下面用数学归纳法证明． 当n=1，2，3时，由上面的求解知，（*）式成立． 记 Sn=1·22＋2·32＋…＋n（n＋1）2． 假设n=k时（*）式成立，即： Sk=    1011312 1 2  kkkk 成立， 那么，Sk＋1= Sk    221  kk =        22 211011312 1  kkkkkk =         22153212 1  kkkkkk =     24125312 21 2  kkkkk =        101111312 21 2  kkkk ． 综上所述，存在常数 a=3，b=11，c=10，使得题设的等式对一切自然数n都 成立． 在本题的求解中，我们通过取定三个特殊的自然数 1，2，3，利用特定系 数法探求出了常数 a，b，c的值．这里，我们虽然未用“猜想”这个词，然而， 当n=1，2，3时（*）式的正确性仍只是为我们奠定了猜想的基础．因此，紧接 其后的利用数学归纳法证明（*）式的正确性依然是必要的步骤之一．从本质上 讲，本题的求解策略仍然是“试验───归纳───猜想───证明”． 四、小　结 本节课主要运用试验、归纳、猜想、证明等合情推理与逻辑推理方式，探求了 某些数列问题的一些结论．归纳、猜想、证明是一种科学的思维模式，在试验的 基础上，结合归纳、猜想、证明，就是一个完整的思维过程，它是探索、发现真理 的有效途径之一．我们应当善于学习和运用这种思维和推理方式，真正做到有 所发现，有所创新． 五、习　题 1．已知数列 21 1  ， 32 1  ， 43 1  ，…，  1 1 nn ，…．计算 S1，S2，S3由此推测 计算 Sn的公式，然后用数学归纳法证明这个公式． 2．已知数列｛an｝中，a1=2，an＞0，且满足 2a 2 1n －a 2n －1=0（n N ），求 an． 参考答案 1．S1= 2 1 ，S2= 3 2 ，S3= 4 3 ． 由此猜想Sn= 1n n ． 用数学归纳法证明如下： （1）当n=1时， 1n n = 2 1 11 1  ，又S1= 2 1 ，故猜想正确． （2）假设n=k（k≥1，k N ）时猜想正确，即Sk= 1k k 正确． 则当n=k＋1时， Sk＋1= Sk＋   21 1  kk   21 1 1  kkk k =   21 122   kk kk 2 1  k k 即n=k＋1时猜想也正确． 综合⑴，⑵知，Sn= 1n n 对一切k N 都成立． 2．由已知式及 an＞0， 得 an＋1= 2 121 a （n N ）． 由于 a1=2， 故 a2= 2 121 a = 2 122  2 5 a3= 2 122 a 2 12 5   4 7 a4= 2 123 a 2 14 7   由此猜想 an= 1 1 2 32    n n （n N ）．证明如下： （1）当n= 1时，左边 a1=2，右边= 22 32 0 0  ，猜想正确． （2）假设n= k（k≥1，k N ）时猜想正确， 即 ak= 1 1 2 32    k k 成立，则当n= k＋1时， ak＋1= 2 12 ka 2 12 32 1 1     k k 1 11 22 232     k kk =     11 11 2 32 2 32    k k k k ． 即当n= k＋1时，猜想也成立． 综合（1），（2）知，an= 1 1 2 32    n n 对一切 n N 都成立． 六、引申与提高 根据个别试验所呈现的规律，进而猜想它的一般结果，这是归纳思想在解 决问题中的典型运用．事实上，人们在认识客观事物的过程中，往往是通过对 特殊事物共性的分析和寻求中，逐步发现一般规律的．例如，我们考察 12－1=0=8×0， 32－1=8=8×1， 52－1=24=8×3， 72－1=48=8×6， 92－1=80=8×10， 112－1=120=8×15． 根据这些特殊的事例所呈现的规律，我们不难猜想：任何一个奇数的平方 减去 1后所得的差必能被8整除（猜想1）， 又如，一个平面把空间分成 2个部分，两个平面最多把空间分 4个部分， 三个平面最多把空间分成8个部分． 据此，你可能作出如下猜想：n个平面最多把空间分成 2n个部分（猜想 2）． 这样的例子还可以举出很多，这种猜想虽然值得称道，然而它们的正确与否是 需要用科学的方法来证明的（事实上，猜想 1是正确的，猜想2是错误的，n个 平面最多把空间分成  6561 3  nn 个部分）．因此，试验、归纳、猜想，再加上 证明才构成一个完整的思维过程．在这个过程中，试验是基础，猜想是关键， 而证明是保证．这个过程，一方面充分体现了归纳的思想，另一方面，体现了 我们对思维批判性和科学性的坚持与追求． 七、思　考　题 是否存在这样的函数 f（x），f (n)＞0（n N ），且 f（n1＋n2）= f（n1）· f（n2），f (2)=4．若存在，求出 f（x）的解析式；若不存在，说 明理由． 解：假设符合条件的函数 f（x）存在，令 n1= n2=1， 则f（1＋1）= f (1) · f (1)=[ f (1)]2= f (2)=4． 由于 f (n)＞0，因此 f (1)=2． 令 n1=2，n2=1， 则f (3)= f（2＋1）= f (2) · f (1)= 4 · 2=23． 而 f (4) = f（2＋2）= f (2) · f (2)= 4 · 4=24， 由此猜想：f (n)=2 n． 用数学归纳法证明如下： (1)当n=1时，2n=21=1， 又 f (1)=2，因此猜想也成立． (2)假设n= k（k≥1，k N ）时猜想成立，即 f (k) =2k成立． 则当n = k＋1时， f (k＋1)= f (k) × f (1)=2 k×2=22 k＋1． 即为n= k＋1时，猜想也成立． 综合(1)，(2)知，对一切 n N ，f (n)=2n都成立． ∴ 符合条件的函数 f (x)存在，其解析式为 f (x)=2x（x N ）．