0 0 类别 : 教案

不等式的证明教案 ●教学目标 (一)教学知识点 综合法证明不等式. (二)能力训练要求 1.理解综合法证明不等式的意义. 2.熟练掌握过去学过的重要不等式,并用这些不等式来证明新的不等式. (三)德育渗透目标 掌握综合法证明不等式,培养学生严谨周密的逻辑思维习惯,加强学生实践能力的训练, 由因导果,进一步巩固学生辩证唯物主义思想观念的教育,确实提高学生的思想道德品质. ●教学重点 1.掌握综合法证明不等式的基本思路,即“由因导果”,从已知条件及已知不等式出发, 不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证的结论. 2.理解掌握用综合法证明不等式的逻辑关系.即A(已知) B1 B2 … Bn B(结 论).运用不等式的性质和已证明过的不等式时,要注意它们各自成立的条件.这样才能使推 理正确,结论无误. 3.在综合法证明不等式的过程中常用的关系有: (1)a2≥0或(a±b)2≥0. (2)a2+b2≥2ab,a2+b2≥-2ab即 a2+b2≥2|ab|. (3) abba 2 ,对 a>0,b>0,当且仅当a=b时取“=”号. (4)当 a,b同号时有 a b b a  ≥2,当且仅当a=b时取“=”号. (5) 33 abc cba  (a>0,b>0,c>0),当且仅当a=b=c时取“=”号. (6)a3+b3+c3≥3abc(a>0,b>0,c>0),当且仅当a=b=c时取“=”号. ●教学难点 “由因导果”时,从哪个不等式出发合适是综合法证明不等式的难点. ●教学方法 引导、探索、综合、归纳四步教学法. ●教具准备 投影片三张 第一张：记作§6.3.3 A 综合法证明不等式的常用关系 1.a2≥0或(a±b)2≥0; 2.a2+b2≥2ab,a2+b2≥-2ab,即 a2+b2≥2|ab|; 3. abba 2 ,(a,b∈R +),当且仅当a=b时取“=”号; 4.ab≤ 2 22 ba  ,(a,b∈R);ab≤( 2 ba  )2,(a,b∈R+),当且仅当a=b时取“=”号; 5. a b b a  ≥2,(ab>0),当且仅当a=b时取“=”号; 6. 33 abc cba  ,(a,b,c∈R+),当且仅当a=b=c时取“=”号; 7.a3+b3+c3≥3abc,(a,b,c∈R +),当且仅当a=b=c时取“=”号. 第二张：记作§6.3.3 B ［例2］(1)设 a,b,c∈R +,且 a+b+c=1,求证: 8abc≤(1-a)(1-b)(1-c)≤ 27 8 . (2)设 a,b,c为一个不等边三角形的三边,求证: abc>(b+c-a)(a+b-c)(c+a-b) (3)已知a>0,b>0,a+b=1,求证: (1+ 2 1 a )(1+ 2 1 b )≥25. (4)设 x>0,y>0,求证:(x2+y2) 2 1 >(x3+y3) 3 1 . 第三张：记作§6.3.3 C 课后练习： 1.证明下列不等式: (1)a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2 (2)(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc(a,b,c∈R+) (3)(a+b+c)( cba 111  )≥9(a,b,c∈R +) 2.制造一个容积为V(定值)的圆柱形容器,试分别就容器有盖及无盖两种情形,求:怎样选取 底半径与高的比,使用料最省? ●教学过程 Ⅰ.课题导入 ［师］同学们,前面我们学习了两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其几 个重要的不等式. (打出投影片§6.3.3 A,引导学生复习“算术平均数与几何平均数”的关系定理，阅读 投影片§6.3.3 A) 我们要掌握下面重要的不等关系: (1)a2≥0,或(a±b)2≥0; (2)a2+b2≥2ab,a2+b2≥-2ab,即 a2+b2≥2|ab|; (3) abba 2 ,(a,b∈R +),当且仅当a=b时取“=”号; (4)ab≤ 2 22 ba  ,(a,b∈R);ab≤( 2 ab )2,(a,b∈R+),当且仅当a=b时取“=”号; (5) a b b a  ≥2,(ab>0),当且仅当a=b时取“=”号； （6） 33 abc cba  ,(a,b,c∈R +),当且仅当a=b=c时取“=”号； （7)a3+b3+c3≥3abc,(a,b,c∈R+),当且仅当a=b=c时取“=”号. 今天，我们在上一节课学习“公式法”证明不等式的基础上，继续学习证明不等式的 一种常用的重要的方法——综合法. Ⅱ.讲授新课 （简述“综合法”证明不等式的基本思想） ［师］有时我们可以利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定 理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立.这种证明不等式的方法，我们通常叫做 综合法. （关于“综合法”证明不等式，在后面“备课资料”中有较详细的说明） 下面，我们探索研究用“综合法”证明不等式. ［例1］已知a,b,c是不全相等的正数，求证： a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc. ［师］观察题目，不等式左边含有“a2+b2”的形式，我们可以创设运用基本不等式： a2+b2≥2ab;还可以这样思考：不等式左边出现有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的 “和”，右边有三正数 a,b,c的“积”，我们可以创设运用重要不等式：a3+b3+c3≥3abc. (教师引导学生，完成证明） ［生甲］（证法一） ∵a>0,b2+c2≥2bc ∴由不等式的性质定理4，得 a(b2+c2)≥2abc. ① 同理b(c2+a2)≥2abc, ② c(a2+b2)≥2abc. ③ 因为 a,b,c为不全相等的正数，所以 b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,a2+b2≥2ab三式不能全取 “=”号，从而①,②,③三式也不能全取“=”号. 由不等式的性质定理3的推论，①,②,③三式相加得： a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc. ［生乙］（证法二） a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2) =ab2+ac2+bc2+ba2+ca2+cb2 =(a2b+b2c+c2a)+(ab2+bc2+ca2) ∵a,b,c为不全相等的正数. ∴a2b+b2c+c2a>3 3 233 cba =3abc ab2+bc2+ca2>3 3 333 cba =3abc 由不等式的性质定理3的推论，得 a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc. ［师生共析］1.“综合法”证明不等式就是从已知（或已经成立）的不等式或定理出 发，结合不等式性质，逐步推出（由因导果）所证的不等式成立. 2.在利用综合法进行不等式证明时，要善于直接运用或创设条件运用基本不等式，其 中拆项、并项、分解、组合是变形的重要技巧. （打出投影片§6.3.3 B，教师把握好课堂教学时间，合理安排，选讲例2中的部分 题目，其余留给学生完成）. ［例2］（1）设a,b,c∈R+且a+b+c=1,求证： 8abc≤(1-a)(1-b)(1-c)≤ 27 8 . (2)设 a,b,c为一个不等边三角形的三边，求证：abc>(b+c-a)(a+b-c)(c+a-b). (3)已知a>0,b>0,a+b=1,求证： （1+ 2 1 a ）(1+ 2 1 b )≥25 (4)设 x>0,y>0,求证：（x2+y2） 2 1 >(x3+y3) 3 1 ［师］仿照例1，我们用综合法证明不等式. ［生］（1）∵a,b,c∈R +且a+b+c=1 ∴1-a=b+c>0 同理，1-b=a+c>0,1-c=a+b>0 ∴(1-a)(1-b)(1-c)=(a+b)(b+c)(a+c) ∵a+b≥2 ab >0,b+c≥2 bc >0,a+c≥2 ac >0 ∴由不等式的性质定理4的推论1，得 (a+b)(b+c)(a+c)≥2 ab ·2 bc ·2 ac =8abc 又∵(1-a)(1-b)(1-c) ≤［ 3 )1()1()1( cba  ］3=( 3 2 )3= 故 8abc≤(1-a)(1-b)(1-c)≤ 27 8 . (2)∵a,b,c为一个不等边三角形的三边 ∴a>0,b>0,c>0且 a+b-c>0,a+c-b>0,b+c-a>0. 0))(( 2 )()( 0))(( 2 )()(, 0))(( 2 )()(       bacacb bacacbc acbcba acbcbab baccba baccbaa 同理  由于三角形是不等边三角形，上述三式不能同时取“=”号 ∴由不等式的性质定理4的推论1，得 abc>(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) (3)设 y=(1+ 2 1 a )(1+ 2 1 b ) 22 22 22 2222 22 22 1)(1 1)()1)(1( ba ba ba baba ba ba   ∵a>0,b>0,a+b=1 ∴a2+2ab+b2=1 ∴a2+b2=1-2ab ∴y=1+ abbaba ab 22122 2222  令t= ab 1 , 则 y=2t2-2t+1. 2 10 2 0,0,1       ababba baba 即0<ab≤ 4 1 ∴ ab 1 ≥4,即 t∈［4,+∞) 由二次函数的性质可知：（对称轴t= 2 1 ) y=2t2-2t+1,在 t∈［4,+∞)上是增函数. ∴当 t=4时，y取最小值25. 故（1+ 2 1 a )(1+ 2 1 b )≥25. (4)∵x>0,y>0 ∴(x2+y2)3=x6+y6+3x2y2(x2+y2)≥x6+y6+6x3y3>x6+y6+2x3y3=(x3+y3)2 由不等式的性质，两边同时开 6次方，得 （x2+y2) 2 1 >(x3+y3) 3 1 . ［师生共析］1.具有对称轮换性质的不等式证明，可就其一项或一个因式先处理，其 他可同理得到，如（1）、（2）. 2.若给出形如 a>0,b>0且 a+b=1类型的题目，一般都经过恒等变形，把其他式子都化 归成与ab有关系的式子，然后根据函数的有关性质去证明或探究，这种方法特别在这种条 件下的最值很有效. 3.用“算术平均数与几何平均数定理（称均值不等式）”证明题时，要注意为达目标 可先宏观，而后微观. 4.均值不等式在运用时，常需先凑形后运用，变形后的不等式：ab≤( 2 ba  )2, (a,b∈R +）经常用到. Ⅲ.课堂练习 1.已知xy>0,求证xy+ xy 1 + y x x y  ≥4. 分析：根据不等式的结构特点，我们可直接运用重要不等式： a b b a  ≥2,(a,b同号， 即ab>0). 证明：∵xy>0 ∴ x y , y x 都大于零 ∴xy+ xy 1 ≥2 xyxy 1 =2,当且仅当xy=1时取“=”号. x y y x  ≥2 x y y x  =2,当且仅当 x y =1时取“=”号. 由不等式的性质定理的推论，得 xy+ y x x y xy  1 ≥4 注意：利用 a≥b,c≥d推出a+c≥b+d时，必须强调当且仅当 a=b且 c=d时取“=”号. 如果找不到 a=b与 c=d同时成立的条件，说明 a+c=b+d的条件不具备，即得 a+c>b+d.例如： 由x>0时，得 x+ x 1 ≥2,此时，x+0.5>0, 5.0 1 x >0,可得 x+0.5+ 5.0 1 x ≥2,但 x+ x 1 + (x+0.5)+ 5.0 1 x ≥2+2,其中“=”号不成立，即x+ x 1 +(x+0.5)+ 5.0 1 x >4. 同样，由 a≥b>0,c≥d>0 ac≥bd时，也要注意当且仅当 a=b且 c=d时取“=”号， 无此条件，只能得 ac>bd. 2.已知a>b>0,0<c<d,求证 d b c a  . 分析：本题根据其结构特点，可创设运用不等式的基本性质，最后得证. 证法一：∵a>b>0,c>0 ∴ d b c a  ① 又 0<c<d,b>0, ∴ b c < b d ,且 b c >0, d b c b  ② 由①和②可知： d b c a  . 证法二：∵a>b>0,d>c>0 ∴ad>bc 又∵cd>0 ∴ d b c a cd bc cd ad  即, . 注意：本题的结论可作为不等式的性质直接应用.即不等式各字母均为正数，异向不等 式相除，得与被除式同向的不等式. 3.已知a,b是不相等的两个正数，求证(a+b)(a3+b3)>(a2+b2)2. 分析：不等式左端（a+b)(a3+b3)=a4+b4+ab3+a3b,右端=a4+b4+2a2b2,从而所证不等式即 ab3+a3b>2a2b2,又 a>0,b>0且 a≠b,也就是证a2+b2>2ab.这显然是成立的，证法可任选比较、 综合、分析（后面即将要学）之一. 证明：（用综合法证明） ∵a>0,b>0且 a≠b ∴a2+b2>2ab,∴ab(a2+b2)>2a2b2 ∴a4+ab(a2+b2)+b4>a4+b4+2a2b2 即(a+b)(a3+b3)>(a2+b2)2 Ⅳ.课时小结 本节课，我们学习了“综合法”证明不等式，其核心是引导我们运用已有知识（已知 或已知成立的不等式或定理），进行符合逻辑的思考和推理，启发大家从不同角度去思考 问题，去主动获取新的知识，鼓励我们敢于创造独特、新颖的思想方法和见解.同时也注意 培养了我们坚持实事求是的良好思维品质. Ⅴ.课后作业 （一）（打出投影片§6.3.3 C，让学生记录下题目，做为课后练习，完成证明或解 答） 1.证明下列不等式： （1）a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2. (2)(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc(a,b,c∈R +) (3)(a+b+c)( cba 111  )≥9(a,b,c∈R+) 证明：（1）∵a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2 ∴将上面三个不等式相加，得 2（a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2) 故 a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2. (2)∵a,b,c∈R + ∴a+b≥2 ab >0,b+c=2 bc >0,c+a≥2 ac >0 将上面三个同向不等式相乘，得 (a+b)(b+c)(c+a)≥8· ab · bc · ac =8abc 故（a+b)(b+c)(c+a)≥8abc. (3)∵a,b,c∈R + ∴a+b+c≥3 3 abc >0 3 13111 abccba  >0 将上面两个不等式相乘，得 （a+b+c） 33 19)111( abcabccba  =9 故(a+b+c)( cba 111  )≥9. 2.制造一个容积为 V（定值）的圆柱形容器，试分别就容器有盖及无盖两种情况，求： 怎样选取底半径与高的比，使用料最省？ 分析：根据 1题中不等式左右的结构特征，考虑运用“基本不等式”来证明.对于 2题， 抓住容积为定值，建立面积目标函数，求解最值，是本题的思路. 解：设容器底半径为 r,高为 h,则 V=πr2h,h= 2r V  . (1)当容器有盖时，所需用料的面积： S=2πr2+2πrh=2πr2+ r V2 =2πr2+ r V + r V ≥3 3 23 2 232 Vr V r Vr   当且仅当2πr2= r V ,即 r= 3 2 V ,h= 2r V  =2r,取“=”号. 故 2 1h r 时用料最省. （2）当容器无盖时，所需用料面积： S=πr2+2πrh=πr2+ r V2 =πr2+ r V + r V ≥3 3 2V 当且仅当πr2= r V ,r= 3  V ,h= 2r V  =r. 即 r=h时用料最省. （二）1.预习内容：课本 P15~16“分析法”证明不等式. 2.预习提纲： （1）什么是分析法？它的基本思想是什么？ （2）分析法适合证明哪类不等式？ ●板书设计 §6.3.2 不等式的证明(三） 综合法 ［例2］ 课时小结 1.定义 2.应用 课堂练习 课后作业 ［例1］