复数的开方教案 1
教学目标
1．掌握求复数 r(cosθ＋isinθ)的 n次方根的法则．
2．通过复数开方公式的推导和运用，培养推理能力和运算能力．
3．通过对复数 r(cosθ＋isinθ)的 n次方根几何意义的探求，培养和发展数形结
合的意识和能力．
教学的重点与难点
重点：复数开方公式的推导与运用．
教学过程设计
(一)从解方程引入复数开方
师：由研究方程 x2=－1的解引入虚数单位的概念，进而建立复数集．在复数集中
方程 x2=－a(a＞0)的解是什么？
师：在复数集中 x3=1的解有几个，是什么？
生甲：可能有 3个，一个是 x=1，另外两个不知道．
师：你怎么知道的？
师：对．类似这样的问题，如 x3=1－i，x4=－1的解是什么？为解决这一类问题
要研究求复数 r(cosθ＋isinθ)的 n次方根．
(二)探求复数 r(cosθ＋isinθ)的 n次方根，并推导开方公式
师：(提出课题)求复数 r(cosθ＋isinθ)的 n次方根．
如何研究这一问题呢？首先，我们对复数的 n次方根有几个值能有一个预测吗？
生：我认为有 n个．
师：这只是预测，这要通过求复数 r(cosθ＋isinθ)的 n次方根来证实或否定．如
何求复数的 n次方根？要解决“如何求”，首先要弄清什么是复数 n次方根？让学生
回忆实数集中方根的概念．
复数 n次方根的意义：如果 xn=z(n∈N+，z∈C)，那么 x叫做 z的 n次方根．
因为复数的 n次方是复数，所以一个复数的 n次方根也是复数．
师：在建立复数 n次方根概念的基础上，如何推导复数开 n次方的公式呢？
由上面分析可知，复数 r(cosθ＋isinθ)的 n次方根仍是复数，设它为ρ(cos ＋
isin )，那么这两个复数有什么联系呢？
生：r(cosθ＋isinθ)=[ρ(cos ＋isin )]n(n∈N+)．
师：求复数的 n次方根的问题，就转化为在上面等式中求出ρ和 ．
①
这样就得到两个用三角形式表示的复数．两个用三角形式表示的复数相等的充要
条件是什么？
生：它们的模相等，辐角可以相差 2π的整数倍．
师：由①式可得
由此可知，
因此 r(cosθ＋isinθ)的 n次方根是
由复数 n次方根的意义和复数相等的条件，得到复数 n次方根的表达式，下面的
工作是什么？
生甲：用公式解题．
生乙：这个公式还没有推导完，它表示几个值？各是什么？还要对公式进一步认
识．
师：对．首先要认识公式．对一个数学公式通常从以下几个方面认识：公式的推
导；公式成立的条件；公式所反映的数量关系；公式的使用．
对公式的推导，不是停留在重复推导过程上，而是要求提炼推导的基本想法和所
运用的基础知识．本公式是运用复数 n次方根的概念和复数相等条件，建立方程求解
方程推导的．
公式成立的条件是：n∈N+，也就是说，我们研究的是复数开正整数次方．
对公式数量关系的认识：
②
个给定的自然数；式中的 k∈Z它可以取任何整数，随着 k的不同取值②式表示多少个
不同的复数？为什么？
(让学生讨论)
生甲：表示无数个不同的复数．
生乙：表示 n个不同的复数．
师：哪个对，为什么？
生丙：表示 n个不同的复数对，因为一个复数的 n次方根有 n个值．
师：到目前为止，一个复数的 n次方根有 n个值这只是我们的推测，并没有证明．
但我们可以肯定地说，它不会是无穷多个不同的值，而是有限个，你们说对吗？为什
么？
生丁：对．由三角函数的周期性它不会是无穷多个不同的值．
师：这启发我们用三角函数的周期性研究复数 n次方根的个数．为研究方便，把
③
显然，k=n与 k=0时，这两个角相差 2π，由于正弦、余弦函数的周期都是 2π，
所在公式②中它们表示同一个复数．
同理，k=n＋1，n＋2，…，n＋(n－1)与 k=1，2，…，n－1所表示的复数对应相
等．
因此，当 k取 0，1，…，n－1各值时，就可以得到②式的 n个值．由于正弦、余
弦函数的周期都是 2π，当 k取 n，n＋1以及其他各整数值时，又重复出现 k取 0，1，
…，n－1时的结果，所以复数 r(cosθ＋isinθ)的 n次方根是
让学生叙述复数开 n次方的法则，教师概括如下：
复数的 n(n∈N+)次方根是 n个复数，它们的模都等于这个复数的模的 n次算术根，
它们的辐角分别等于这个复数的辐角与 2π的 0，1，…，n－1倍的和的几分之一．
(三)运用复数开方公式，在运用中深化对复数 n次方根的认识
例 1 求 1－i的立方根．
即 1－i的立方根是下面三个复数：
解题后让学生概括求复数 n次方根的步骤，教师进行归纳总结：
1．将复数 z化为三角形式(辐角一般取主值)；
2．代入开方公式；
4．分别求出复数 z的 n个 n次方根．
几点说明：
1．将复数 z化为三角形式时辐角取主值使答案规范．如例 1中，将 1－1的辐
次方根的辐角有规律性的认识，这正是我们要进一步研究的．
练习 在复数集 C中解方程 x4＋1=0．
请学生板演．
解：将方程变形为 x4=－1=cosπ＋isinπ，
教师讲评：解方程 x4=－1就是求－1的 4次方根．在实数集中无解，在复数集中
它有 4个虚数根．
进一步深化对复数 r(cosθ＋isinθ)的 n次方根的认识．提出以下问题：
师：问题 1复数 r(cosθ＋isinθ)的 n次方根有几个，它们的模等于什么？
师：问题 2复数 r(cosθ＋isinθ)的 n次方根的几个辐角有什么规律？
学生讨论，教师归纳总结．
师：问题 3复数 r(cosθ＋isinθ)的 n次方根的几何意义是什么？
学生讨论，教师概括总结．
复数 r(cosθ＋isinθ)的 n次方根的几何意义是：这 n个 n次方根对应于复平面
例 2 在复数集 C中解方程 x3=1，并证明它的三个根在复平面内是一个正三角形的
三个顶点．
解：原方程就是
x3=cos0＋isin0，
如图 8－14，三个根 x1，x2，x3在复平面内对应点分别为A，B，C．
因为|x1|=|x2|=|x3|，则三点A，B，C在以原点为圆心的单位圆上．
故|AB|=|BC|=|AC|，△ABC为正三角形．
解题后思考以下问题：
(1)1的立方根在实数集中有几个值？在复数集中有几个值？各是什么？
1的立方根在实数集中有 1个值，是 1．在复数集 C中，1的立方根有 3个值，有
一个实数两个虚数，其中实数为 1，两个虚数是一对有很多特征的共轭复数
(2)方程 x3=1除用复数开方公式求解，还有其他解法吗？(因式分解法，本节不展
开)
(四)小结
由实数集扩充到复数集我们对一个数的 n次方根的认识有了发展．在复数集C中，
复数 r(cosθ＋isinθ)的 n次方根有 n个值．这 n个值可由复数开方公式得到．它
(五)作业
1．高中代数下册 P214～215练习第 3，第 4题．
2．复数－i的一个立方根是 i，它的另外两个立方根是
[ ]
3．求证虚数的平方根仍是虚数．
4．已知ε0，ε1，…，εn-1是非零复数 z=r(cosθ＋isinθ)的 n个不同的 n次方根
(n≥3)．
(1)求证：ε0，ε1，…，εn-1组成等比数列；(2)求和 Sn=ε0＋ε1＋ε2＋…εn-1．
作业答案或提示
2．由复数开方运算的几何意义，画出－i的 3个立方根在复平面内的对应点，得
出选D．
3．用反证法．假设虚数的平方根是实数，则它的平方也是实数，这与原数为虚
数矛盾．
课堂教学设计说明
本节课设计的指导思想是：激发兴趣、注重过程、发展思维、指导学法．
1．复数的有关知识比较抽象，离生产、生活实际较远．在复数教学中如何激发学
生的学习兴趣，这是值得思考的问题．本节以解方程引入，通过对复数开方公式的推
导得出公式，又回到在复数集中解方程 x3=1，求出它的一个实根两个虚根，发展了在
实数集中方程 x3=1只有一根为 1的认识．从学生熟悉的数学问题引入，提出问题，分
析问题，解决问题，通过问题解决发展学生的认识，引起学生学习兴趣．
2．注重对复数开方公式推导过程的教学．复数开方公式推导是本节课的重点也
是难点．在教学中是分四个层次展开的：由解方程引入；由 n次方根的意义切入；通
过复数相等求解；由正弦、余弦函数的周期性确定复数的 n次方根有 n个值完成公式的
推导．在推证过程中启发学生探求，发展思维，培养推理能力．
3．指导学法，会学公式．在学习数学过程中学生遇到许多数学公式，如何认识
数学公式，学好公式，会学公式是指导学生学法的一个重要方面．本节课通过对复数
开方公式的分析，从公式推导、公式成立的条件、公式的数量关系、公式所反映的几何意
义等方面去认识公式，从公式的运用中深化对公式的认识．这对学习其他数学公式也
是有指导意义的．
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