0 0 类别 : 教案

椭圆的几何性质教案 1 教学内容 1．椭圆的几何性质（范围，对称性，顶点，离心率） 2．描点法画椭圆 教学目标 1．掌握椭圆的范围，对称性，顶点，离心率等几何性质． 2．能根据椭圆的几何性质对椭圆方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画 椭圆图形． 3．在对椭圆几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化． 设计思想 这节课是在曲线与方程理论指导下，首次对具体的曲线和方程进行讨论， 为此，应把椭圆的标准方程与椭圆图形对照进行讲解，一方面使学生掌握讨论 曲线的范围，对称性和截距的方法，另一方面使学生了解a、b、c、e的几何意义 和相互关系．最后给出列表、描点画椭圆的简便方法． 教学过程 一、课题引入 “曲线与方程”是解析几何中最重要最基本的内容其中有两类基本问题： 一是由曲线求方程，二是由方程画曲线．前面由椭圆定义推导出椭圆的标准方 程属于第一类问题，本节课将研究第二类问题，由椭圆方程画椭圆图形，为使 列表描点更准确，避免盲目性，有必要先对椭圆的范围、对称性、截距进行讨论 还应明确影响椭圆扁平程度的重要参数——离心率． 二、知识讲解 1．讨论曲线的范围，实质上是确定两个变数的允许值范围．教材中是采用 解不等式的方法来确定 x、y的允许值范围的．这里的不等式实质上是二元一次 不等式组： | x |≤a | y |≤b －∞＜y＜∞ －∞＜x＜∞ （1）表示平面上两条平行线 x＝－a，x＝a及其内部的点集，（2）表示平 面上两条平行线 y＝－b，y＝b 及其内部的点集，两者的交集是由直线 x＝ ±a，y＝±b所围成的矩形区域． （ 1 ） （ 2 ） 确定了曲线的范围后，描点画图就可以不取范围以外的点了． 2．关于曲线的对称性，教学时应结合图形讲清楚“把 x换成－x，或把 y 换成－y，或把x、y换成―x、―y，方程都不变，所以图形关于y轴，x轴和原点 对称”． 以把 x换成－x为例，如图 2-4 在曲线的方程 中，把 x换成－x方程不变，相当于点 P（x，y） 在曲线上，点 P点关于 y轴的对称点 Q（－x，y） 也在曲线上，所以曲线关于y轴对称． 由于椭圆关于x轴、y轴、原点都对称，所以列 表画图时，只描点画第一象限内的曲线，其它象限内的曲线可按对称性描出． 3．关于求曲线的截距，就是求曲线与坐标轴的交点的坐标．对椭圆 12 2 2 2  b y a x 来说，它与坐标轴的交点就是它的顶点．令 y＝0，得 x＝±a，令 x ＝0，得 y＝±b，这样就得到椭圆的四个顶点坐标（－a，0），（a，0）， （0，－b），（0，b）．这也揭示了a、b的几何意义，给出长轴、短轴的概念． 讨论了曲线的范围、对称性和截距以后，再进行描点画图，只要描出较少的 点，就能得到较正确的图形． 4．离心率的概念比较抽象，只有在讲完例 3（椭圆的第二定义）后，才能 明确离心率的几何意义，这里是用求离心率的公式来定义的． 关于离心率的大小对椭圆扁平程度的影响，第一节课用“拉线画椭圆”的 实验时，已打下埋伏（必要时可重复作这个实验），结合图形再对 a ce  进行 分析，e的大小变化对椭圆形状的影响就不难理解了． 5．课本上着重讲第一类标准方程的性质，掌握了第一类标准方程的性质后， 就容易理解第二类标准方程的性质了． 三、例题分析 例1．求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴、短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标， 并用描点法画出它的图形． 分析：这是本节课重点安排的基础性例题，是椭圆的几何性质的简单应用， 并讲解如何通过讨论列表、描点、画椭圆的具体作法． 解答：见课本P76． 例2．求适合下列条件的椭圆的标准方程． （1）长轴的长为16，离心率为 2 1 ，焦点在y轴上； （2）过点（2，0），且长轴长是短轴长的2倍． 分析：这是应用椭圆的几何性质求 a、b的值，再写椭圆标准方程的例题． 目的是巩固对几何性质的理解． 解答：（1） 14864 22  xy ；（2） 14 2 2  yx 或 1416 22  xy 四、练习与讲评 1．说出下列各椭圆的长轴、短轴的长，离心率、焦点坐标、顶点坐标，并画出草 图． （1） 149 22  yx （2）4x2＋y2＝16 2．求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）a＝9， 3 1e ，焦点在x轴上 （2）c＝4， 5 2e ，焦点在y轴上 3．下面每组的椭圆中，哪个更接近于圆？ （1） 169 22  yx 与 178 22  yx （2）9x2＋4y2＝36 与 8x2＋4y2＝36 答　案 1 ． （ 1 ） 2a ＝ 6 ， 2b ＝ 4 ， 3 5e ， F1 （ 5 ， 0 ） ， F2 （ 5 ，0），A（3，0）， A′(－3，0），B（0，2），B′(0，－2)，（图略） （ 2 ） 2a ＝ 8， 2b ＝ 4 ， 2 3e ， F1（ 0 ， 32 ）， F2（ 0 ， 32 ），A（0，4）， A′(0，－4），B（2，0），B′(－2，0)，（图略） 2．（1） 17281 22  yx （2） 184100 22  xy 3．（1）后一个 （2）后一个 讲评：通过练习，使学生加深对椭圆几何性质的理解，掌握它们并会简单 应用，练习时注意判断焦点在哪个坐标轴上。 五、小结与总结 标准方程 12 2 2 2  b y a x （a＞b＞0） 12 2 2 2  b x a y （a＞b＞0） 图形 性 质 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 （a，0）、（－a，0）、（0，b）、 （0，－b） （0，a）、（0，－a）、（b，0）、 （－b，0） 焦点 F1（－c，0）、F2（c，0） F1（0，－c）、F2（0，c） 两轴 长轴长2a，短轴长2b 焦距 |F1F2|＝2c，c2＝a2－b2 离心率 )10(  ea ce F1 F2 M y xO y xO F2 F1 M