0 0 类别 : 教案

直线和平面垂直教案 教学目标：了解直线和平面垂直的概念，掌握直线和平面垂直的判定定理。 教学重点：掌握直直线和平面垂直的判定定理。 教学过程： 1、 复习： 1、平面和平面平行的判定 2、平面和平面平行的性质 2、 授新课： 1．直线和平面垂直的概念 如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面的任何直线都垂直，我们就说这条 直线和这个平面互相垂直，其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，交点叫 做垂足。 注：①画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂 直。 ②直线 l和平面α垂直，记作 l⊥α。 2．直线和平面垂直的判定 定理：如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于 这个平面。 已知：m、n是平面α内的两条相交直线，直线 l与α的交点为B,且 l⊥m，l⊥n 求证：l⊥α 分析：在 α内平移m、n，使它们都通过点 B，这时m、n仍 保持和 l垂直。过点B作任一条不与m、n重合的直线 g，如果 我们能根据 l⊥m且 l⊥n推出 l⊥g，那么就证明了直 线 l和过点 B的所有直线都垂直，即 l垂直 α。 为此我们在 l上自点 B起于平面 α的两侧分 别截取 BA=BA，于是m、n都是线段AA的垂直平分线， 它们上面的点到A、A的距离相等。如果我们能证明 g上的点 到A、A的距离也相等，那么 g也是AA的垂直平分线，于是 g就垂直于 l。在 g上任取一点 E，过点 E在 α内作不通过点 B的直线，分别与m、n相交于 点 C、D，容易证明△ACD≌△ACD，进而又可证明△ACE≌△ACE，于是 EA=E A，g⊥l。 证明：略 g m n B C D E A A' α l αβ P A B a β α P A B a A B C D Aα M l P β 3．举例： 例1、求证：过一点和已知平面垂直的直线只有一条。 已知：平面α和一点P。 求证：过点P与α垂直的直线只有一条 证明：不论点P在α内或α外，如图，设直线 PA⊥α，垂足为A（或P），如果另有一条直线 PB⊥α，设PA、PB确定的平面为β，且 α∩β=a，于是在平面β内过点P有两条直线 PA、PB垂直于a，这是不可能的，所以，过点P与α垂直的直线只 有一条 例2、有一根旗杆AB高 8m，它的顶端A挂一条长10m的绳 子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不 在同一条直线上）C、D，如果这两点都和旗杆脚B 的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？ 解：在△ABC和△ABD中 ∵AB=8m，BC=BD=6m，AC=AD=10m ∴AB2+BC2=62+82=102=AC2 AB2+BD2=62+82=102=AD2 ∴∠ABC=∠ABD=900 即 AB⊥BC AB⊥BD 又知B、C、D三点不共线 ∴ AB⊥平面BCD，即旗杆和地面垂直。 例3、已知直线 l⊥平面α，垂足为A，直线AP⊥l 求证：AP在α内 证明：设AP与 l确定的平面为β，如果AP不在α内，则 可设α与β相交于直线AM ∵ l⊥α ∴l⊥AM 又 AP⊥l， 于是在平面β内过点A有两条直线垂直于l，这是不 可能的，所以AP一定在α内。 三、做练习：第 22 页第 1、2、3、4、5、6、7 题 四、小结：1、直线和平面垂直的概念 2、直线和平面垂直的判定 五、布置作业：习题9.4第 2、3、4题