不等式·含绝对值符号的不等式证明·教案
教学目标
1．掌握绝对值的基本性质，在学会一般不等式的证明的基础上，学会含有
绝对值符号的不等式的证明方法．
2．通过含有绝对值符号的不等式的证明．进一步巩固不等式的证明中的由
因导果、执要溯因，……等数学思想方法．通过证明方法的探求，培养学生勤于
思考，全面思考的思考方法．
3．通过含有绝对值符号的不等式的证明，可培养学生辩证思维的方法和能
力，以及严谨的治学精神．
教学重点与难点
理解掌握定理1，及其证明方法是这节课的重点也是难点，对定理1的指导
论证不仅重在结论，更重要是重视结论的探求推导过程．捕捉住推证这个时机，
启发学生用辩证的思想方法，去探求解决矛盾的途径．
教学过程设计
（一）复习
师：我们在初中学过绝对值的有关概念．哪位同学来说说绝对值的定义？
生：当a∈R时，则有：
师：绝对值的几何意义？
生：点A的读数为a，|a|表示A点到原点的距离．
师：绝对值的运算公式？
生：如果a＞0，则有：
|x|＜a x2＜a2 -a＜x＜a；
|x|＞a x2＞a2 x＞a或 x＜-a．
师：绝对值的基本性质有哪些？
生：当|a|≥0时，若a≠0，|a|＞0．
师：|a|与±a有什么关系？
生：a＞0时，|a|=a；a＜0时，|a|＞a，|a|=-a；a=0时，|a|=±a，所以|
a|≥±a．
师：|a|2与a2有什么关系？
生：|a|2=a2
师：比较-|a|与 a，a与|a|的大小？
生：这需要讨论．
当a＞0时： 当 a＜0时： 当 a=0时：
|a|=a |a|=-a -|
a|=a=|a|
-|a|=-a＜0 -|a|=a
-|a|＜a=|a| a＜|a|
-|a|=a＜|a|
师：由以上大家的讨论，我们可以得到什么结论？
生：-|a|≤a≤|a|．
师：这里对a有什么要求？
生：a∈R．
（二）新课
师：请大家看式子|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|．这个式子包括两部分：|
a+b|≤|a|+|b|（1）；|a|-|b|≤|a+b|（2）．利用上面的式子-|a|≤a≤|a|，
如何出现含有a+b的式子？
生：由-|a|≤a≤|a|①与-|b|≤b≤|b|②两式相加就有-（|a|+|
b|）≤a+b≤|a|+|b|．③
师：当我们将|a|+|b|看作一个整体时，上面的③式逆用|x|＜a -a＜x
＜a可有什么结论？
生：|a+b|≤|a|+|b|．（*）
师：这正是我们要证明的式子的（1）．那么式子（2）我们又如何证明呢？
现在我们考虑（2）式左边|a|与|b|的差的符号有哪些可能？
生：|a|-|b|＞0或=0或＜0三种可能．
师：现在我们就这几种可能进行讨论．当 |a|-|b|＜0时，看（2）式是一
个怎样的不等式？
生：绝对不等式，显然成立．
师：那当|a|-|b|≥0时，|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| a2-2|ab|
+b2≤a2+2ab+b2≤a2+2|ab|+b2 -2|ab|≤2ab≤2|ab| -|ab|≤ab≤|
ab|，这正是以上我们复习的绝对值的基本性质．所以我们可有以下证明：
由-|ab|≤ab≤|ab|，知-|2ab|≤2ab≤|2ab|，则a2|2ab|
+b2≤a2+2ab+b2≤a2+|2ab|+b2，即|a|2-|2ab|+|b|2≤（a+b）2≤|a|2+|2ab|+|b|
2．所以（|a|-|b|）2≤|a+b|2≤（|a|+|b|）2．
又|a|-|b|≥0，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|．
由以上证明我们可以看到如论|a|-|b|＜0或|a|-|b|≥0都有|a|-|b|≤|
a+b|成立．
师：再与（*）合在一起，就有公式：|a|-|b|≤|a+b|≤|a+b|≤|a|+|b|成
立，这就是我们要学习的定理1．
师：对上面的（2）式的证明还有什么其他方法呢？是否可以考虑利用已经
证明的（1）式来证明（2）式呢？
生：可以把a成a=a+b-b，|-b|=|b|，这样就有|a|=|（a+b）-b|≤|a+b|
+|-b|，移项后就有：|a|-|b|≤|a+b|得到（4），由（3）（4）便也可得到定
理 1．
师：由于定理1中对a，b没有特殊要求．我们如果用-b代 b会有什么结果？
（要求学生自己运算）．下面请一位学生到黑板上完成．
生：（在黑板上做）
因为|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，
用-b代 b，得
|a|-|-b|≤|a+（-b）|≤|a|+|b|，即|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|．
师：这就是我们今天要学的定理2．
（三）练习
（由学生自行完成）
师：请一个同学上黑板完成其余同学在课堂本上完成．
师：这是一道含有绝对值符号的不等式．但首先是一道不等式的证明．以
前我们学过的不等式证明都有些什么常用的方法？
生：有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、三角代换法等．
师：当我们无从下手时，我们考虑用什么方法？
生：用分析法．
师：那我们用分析法试试．（由学生叙述老师板书）
生：分析法．
1+2ab＋a2b2，只要证1-a2-b2+a2b2＞0，只要证（1-a2）（1-b2）＞0．
师：经过以上分析法那我们还可以用什么方法？能不能利用分析的过程？
生：可以用综合法．
师：那谁来说说如何用综合法证明？
生：综合法．（由学生口述教师写板书）
证明：由|a|＜1，知a2＜1，则1-a2＞0；又|b|＜1，则b2＜1，即1-b2＞
0，因此（1-a2）（1-b2）＞0．
故 a2+b2＜1+a2b2，进而 a2+2ab+b2＜1+a2b2+2ab，即
生：大于或等于．
师：如果从证明那些可能不存在出发证，能用什么方法？
生：反证法．
师；下面请同学用反证法来证明．
生：（学生口述老师书写）
移项：（a+b）2-（1+ab）2≥0，1+a2b2-a2-b2≤0，即（1-a2）（1-
b2）≤0．
证法1：从定理1出发，利用放缩法．
当a+b=0时，不等式显然成立；
证法2：
由|a+b|≤|a|+|b|，知|a|+|b|-|a+b|≥0．
证法3：（考虑构造函数）
通过例 2的证明计算的启发，让学生运用已学过的定理，及其它已有的知
识技能进行演算，通过演算启发学生认识定理1及其他有关数学知识．
（四）作业 P28：练习4，P30：9，10．
课堂教学设计说明
含有绝对值不等式的证明的学习，是在学生掌握了不等式的几种基本方法
的基础之上展开的．这部分先复习绝对值的定义及几何意义，再复习绝对值的
运算性质和绝对值不等式的基本解法等有关知识．在这基础上介绍含有绝对值
的不等式的两个基本定理，并用不等式证明的基本方法来证明，要求学生了解
这两条定理形式上虽有不同，但实质是等价的．当用-b代替 b时，可由一个推
出另一个，而重要的是证明定理1，通过例题初步会用不等式||a|-|b||≤a+b|
≤|a|+|b|解决一些简单问题．在用定理证明例 2时，引导学生多种思路，采用
前面已经讲过的不等式证明中的基本方法和数学思想方法，培养学生分析问题、
解决问题的能力．例 3是根据绝对值不等式的定理采用放缩变换的方法，掌握
处理好含有绝对值不等式的常用方法，这也是提高逻辑推理能力的内容之一．
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