二元一次不等式表示平面区域教案 1
教学目标 (1)帮助学生了解二元一次不等式Ax＋By＋C＞0，Ax＋By
＋C＜0，表示直线Ax＋By＋C＝0，一侧所有点组成的平面区域．理解把
原点坐标代入进行判断的道理．
(2)通过练习使学生能画出二元一次不等式组表示的平面区域，会
把若干直线围成的平面区域用二元一次不等式组表示．
(3)进一步深化学生数形结合研究问题的意识和能力．
教学重点和难点
重点：二元一次不等式表示平面区域，二元一次不等式组表示平面
区域．
难点：平面区域的判定和边界的处理．
教学过程设计
(一)学生阅读课文，思考问题．
(学生阅读课文P69—P71例1前)
阅读思考题：
(1)二元一次方程x＋y－1＝0与点集{(x，y)|x＋y－1＝0}有怎样
的关系．
(2)二元一次不等式x＋y－1＞0与点集{(x，y)|x＋y－1＞0}是怎
样的关系，它们在坐标平面上表示什么？请你大胆猜想一下．
(二)教师总结讲评
二元一次方程x＋y－1＝0有无数组解，每一组解是一对实数，它
们在坐标平面上表示一个点，这些点的集合组成点集{(x，y)|x＋y－1
＝0}，它在坐标平面上表示一条直线．
以二元一次不等式x＋y－1＞0的解，为坐标的点，也拼成一个点
集．如x＝3，y＝2时，x＋y－1＞0，点(3，2)的坐标满足不等式x＋y
－1＞0．(3，2)是二元一次不等式x＋y－1＞0的解集中的一个元素．
我们把二元一次不等式x＋y－1＞0的解为坐标的点拼成的点集记为
{(x，y)|x＋y－1＞0}．
请同学们猜想一下，这个点集在坐标平面上表示什么呢？
同学们猜得对：x＋y－1＞0表示直线l：x＋y－1＝0右上方的所有
点拼成的平面区域．
事实上，在平面直角坐标系中，所有的点被直线x＋y－1＝0分为
三类：在直线x＋y－1＝0上；在直线x＋y－1＝0右上方的平面区域内；
在直线x＋y－1＝0右下方的平面区域内．
如(2，2)点的坐标代入x＋y－1中，x＋y－1＞0，(2，2)点在直线
x＋y－1＝0的右上方．
(－1，2)点的坐标代入x＋y－1中，x＋y－1＝0，(－1，2)点在
直线x＋y－1＝0上，(1，－1)点的坐标代入x＋y－1中，x＋y－1＜
0(－1，2)点在直线x＋y－1＝0的左下方．
因之，我们猜想，对直线x＋y－1＝0右上方的点(x，y)x＋y－1＞
0，成立．
对直线x＋y－1＝0左下方的点(x，y)，x＋y－1＜0，成立．
下面对这一猜想进行一下推证．
在直线l：x＋y－1＝0上任取一点P(x0，y0)，过点P作平行于x轴
的直线y＝y0，这时这条平行线上在P点右侧的任意一点都有x＞x0，y
＝y0二式相加．
x＋y＞x0＋y0 则 x＋y－1＞x0＋y0－1P点在直线x＋y－1＝0上，
x0＋y0－1＝0
∴x＋y－1＞0．
因为点P(x0，y0)是直线x＋y－1＝0上的任意一点，所以，对于直
线x＋y－1＝0的右上方的任意点(x，y)
x＋y－1＞0都成立．
同理，对于直线x＋y－1＝0左下方的任意点(x，y)．
x＋y－1＜0都成立．
∴点集{(x，y)|x＋y－1＞0}是直线x＋y－1＝0右上方的平面区域．
点集{(x，y)|x＋y－1＜0}是直线x＋y－1＝0左下方的平面区域．
一般来讲，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表
示直线Ax＋By＋C＝0的某一侧所有点组成的平面区域．
由于对在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By
＋C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，
由Ax0＋By0＋C的正、负就可判断Ax＋By＋C＞0表示直线哪一侧的平面
区域．当C≠0时，我们常把原点作为这个特殊点去进行判断．
如：把(0，0)代入x＋y－1中，x＋y－1＜0．
说明 x＋y－1＜0表示直线x＋y－1＝0左下方原点所在的区域．就
是说不等式所表示的区域与原点在直线x＋y－1＝0的同一侧．
如果C＝0，直线过原点，原点坐标代入无法进行判断，则可另选一
个易计算的点去进行判断．
提醒同学们注意，不等式Ax＋By＋C≥0，所表示的区域，应当理解
为{(x，y)|Ax＋By＋C＞0}U{(x，y)|Ax＋By＋C＝0}．这个区域包括边
界直线，应把边界直线画为实线．
另外同学们还应当明确有关区域的一些称呼．
A为直线l右上方的平面区域．
B为直线l左下方的平面区域．
C为直线l左上方的平面区域．
D为直线l右下方的平面区域．
例 1 画出不等式2x＋y－6＞0表示的平面区域．
解 先画直线2x＋y－6＝0(虚线)，把原点(0，0)代入2x＋y－6＝
0－6＜0因．2x＋y－6＜0，说明原点不在要求的区域内，不等式2x＋y
－6＞0表示的平面区域与原点在直线2x＋y－6＝0的两侧，即直线2x
＋y－6＝0的右上部分的平面区域．
学生课堂练习，课本练习题1．
(1)x－y＋1＜0．
(2)2x＋3y－6＞0．
(3)2x＋5y－10≥0．
(4)4x－3y≤12．
不等式组表示的平面区域．是各个不等式所表示的平面点集的交集．
因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
解 x－y＋5≥0表示直线上及右下方的点的集合．
x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及右上方的点的集合．
x≤0表示直线x＝3上及左方的点的集合．不等式组表示的平面区
域，是这三条直线围成的三角形的内部及各边上的点．
x＋3y＋6≥0表示直线上及其右上方的点的集合．
x－y＋2＜0表示直线左上方一侧不包括边界的点的集合．
在确定这两个点集的交集时，要特别注意其边界线是实线还是虚线，
还有两直线的交点处是实点还是空点．
下面三个图是从同学们练习本上移下来的，请同学们找出它的错误
之处．
学生课堂练习，课本练习题2．
(三)小结
1．二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(＜0)表示平面区域．
(1)先画出直线Ax＋By＋C＝0．
(2)若 C≠0，把原点(0，0)代入不等式．
如满足不等式，则与原点同侧的区域为所求；
如不满足不等式，则与原点异侧的区域为所求．
若C＝0，直线过原点，可另选一易于计算的点代入进行判断．
(3)按判断画出区域，不等式不含等号，边界线为虚线，不等式含
等号，边界线为实线．
2．不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公
共部分．要特别注意边界实线与虚线的正确表达．
(四)作业，习题 7.4 1．
[动画要求]
(1)先动态地出现直线(实线或虚线深绿色)，不要一下亮出一条直
线；
(2)原点闪亮，把要求的平面区域用浅绿色表示出来；
注意边界上的空点，要用圆圈表示．
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