0 0 类别 : 教案

直线方程的一般式教案 (一)教学知识点 直线方程的一般式. (二)能力训练要求 1.明确直线方程一般式的形式特征. 2.会根据直线方程的一般式求斜率和截距. 3.会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式. (三)德育渗透目标 1.认识事物之间的普遍联系与相互转化. 2.用联系的观点看问题. ●教学重点 直线方程的一般式. ●教学难点 直线方程一般式的理解与应用. ●教学方法 学导式 在前两节学习直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式的基础上，引导学生认识它们 的实质，即都是二元一次方程.从而对直线和二元一次方程的关系进行研究. 在研究二元一次方程时，通过对 x，y的系数进行分类讨论，来得出直线方程的一般式 与几种特殊形相互转化的条件.为下一节利用直线方程的一般式进一步研究两条直线的位置 关系打好基础. ●教具准备 投影片三张 第一张：直线和二元一次方程的关系(记作§7.2.3 A) 第二张：例题6(记作§7.2.3 B) 第三张：例题7(记作§7.2.3 C) ●教学过程 Ⅰ.课题导入 ［师］前面几节课，我们学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式等形式，对 直线方程的表示形式有了一定的认识.现在，我们来回顾一下它们的基本形式. ［生］点斜式的基本形式：y－y1＝k（x－x1） 适用于斜率存在的直线. 斜截式的基本形式： y＝kx＋b 适用于斜率存在的直线； 两点式的基本形式： 12 1 12 1 xx xx yy yy    （x1≠x2，y1≠y2） 适用于斜率存在且不为0的直线； 截距式的基本形式： b y a x  ＝1（a，b≠0） 适用于横纵截距都存在且不为0的直线. ［师］大家从上述四种形式的直线方程中，能否找到它们的共同特点呢? ［生］都是关于x，y的二元一次方程. ［师］由此我们可以得出，直线与二元一次方程有着一定的关系，这也正是这节课， 我们将继续研究的内容. Ⅱ.讲授新课 (给出投影片§7.2.3 A) 1.直线和二元一次方程的关系 （1）在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于 x，y 的二元一次方程. 因为在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角，在α≠90°和α＝90°两种情况 下，直线的方程可分别写成 y＝kx＋b和 x＝x1这两种形式，它们又都可变形为 Ax＋By＋C ＝0的形式，且A、B不同时为0. （2）在平面直角坐标系中，任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线. 因为x，y的二元一次方程的一般形式是Ax＋By＋C＝0，其中A、B不同时为0，在B≠0 和 B＝0的两种情况下，二元一次方程可分别化成直线的斜截式方程 y＝－ B CxB A  和表 示与y轴平行或重合的直线方程x＝－ A C . ［师］根据上述结论，我们可以得到直线方程的一般式. 2.直线方程的一般式 Ax＋By＋C＝0 其中A、B不同时为0. ［师］从直线与二次一次方程的关系的讨论中，我们得知：直线方程的几种特殊形式 与直线方程的一般式在一定条件下可以转化，下面我们通过例题来具体地研究. 3.例题讲解 ［例6］已知直线经过点A(6，－４），斜率为－ 3 4 ，求直线的点斜式和一般式方程. 分析：本题中的直线方程的点斜式可直接代入点斜式得到，主要让学生体会由点斜式 向一般式的转化，把握直线方程一般式的特点. 解：经过点A(6，－４)，并且斜率等于－ 3 4 的直线方程的点斜式是： y＋４＝－ 3 4 （x－6） 化成一般式得：４x＋3y－12＝0 评述：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数为正，x，y的系数及常数 项一般不出现分数，一般按含 x项，含 y项、常数项顺序排列. 求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式. ［例7］把直线 l的方程x－2y＋6＝0化成斜截式，求出直线 l的斜率和它在x轴与 y 轴上的截距，并画图. 解：将原方程移项，得 2y＝x＋6，两边除以2，得斜截式y＝ 2 1 x＋3.令 y＝0，可得x ＝－6. 因此，直线 l的斜率k＝ 2 1 ，它在x轴上的截距为－6，在y轴上的截距是3. 由上述过程可得直线 l与x轴、y轴的交点为A(－6，0)、B（0，3）.过点A、B作直线， 就得直线 l. 评析：此题应启发学生掌握直线方程一般式与斜截式的互化，并能求出直线的斜率与 截距. ［师］下面，我们主要通过练习来熟悉直线方程的一般式. Ⅲ.课堂练习 课本 P ４3练习 1.根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式： (1)斜率是－ 2 1 ，经过点A（８，－2）； (2)经过点B(４，2），平行于x轴； (3)在 x轴和y轴上的截距分别是 2 3 、－3； (4)经过两点 P1（3，－2）、P2（5，－４）. 解：(1)由点斜式得 y－（－2）＝－ 2 1 （x－８) 化成一般式得 x＋2y－４＝0 (2)由斜截式得 y＝2，化成一般式得y－2＝0 (3)由截距式得 13 2 3  yx 化成一般式得2x－y－3＝0 (4)由两点式得 35 3 )2(4 2    xy 化成一般式得x＋y－1＝0 2.已知直线Ax＋By＋C＝0 (1)当 B≠0时，斜率是多少?当 B＝0时呢? (2)系数取什么值时，方程表示通过原点的直线? 答：(1)当 B≠0时，方程可化为斜截式： y＝－ B A x－ B C ∴斜率k＝－ B A . 当 B＝0时，A≠0时，方程化为 x＝－ A C 与x轴垂直，所以斜率不存在. (2)若方程表示通过原点的直线，则(0，0)符合直线方程，则 C＝0. 所以C＝0时，方程表示通过原点的直线. 3.求下列直线的斜率和在y轴上的截距，并画出图形： (1)3x＋y－5＝0；(2) 54 yx  ＝1；(2)x＋2y＝0；（４）7x－6y＋４＝0；(5)2y－7＝ 0. 解：(1)k＝－3，在y轴上截距为 5 (2)化成斜截式得 y＝ 4 5 x－5∴k＝ 4 5 ，b＝－5. (3)化成斜截式得 y＝－ 2 1 x∴k＝－ 2 1 ，b＝0. (4)化成斜截式得 y＝ .3 2,6 7 3 2 6 7  bkx (5)化成斜截式得 y＝ 2 7 ，∴k＝0，b＝ 2 7 . 图形如下依次给出 （1） （2） （3） （4） （5） Ⅳ.课时小结 通过本节学习，要求大家掌握直线方程的一般式，并能把点斜式、两点式化成一般式， 并能求出直线的斜率和截距，对直线与二元一次方程的关系有一定的认识. Ⅴ.课后作业 课本 P44习题7.2 5.一条直线和 y轴相交于点 P(0，2），它的倾斜角的正弦值是 5 4 ，求这条直线的方 程.这样的直线有几条? 解：设所求直线的倾斜角为α，则sinα＝ 5 4 ，cosα＝± 2)5 4(1  ＝± 5 3 ∴tanα＝± 3 4 ∴由点斜式得：y－2＝± 3 4 x ∴所求直线有两条，方程分别为： y＝ 3 4 x＋2，y＝－ 3 4 x＋2. 9.菱形的两条对角线长分别等于 8和6，并且分别位于 x轴和y轴上，求菱形各边所在 的直线的方程. 解：设菱形的四个顶点为A、B、C、D，如右图所示. 根据菱形的对角线互相垂直且平分可知：顶点A、B、C、D在坐 标轴上，且A、C关于原点对称，B、D也关于原点对称. 所以 A(－４，0)，C（４，0），B（0，3），D（0，－3） 由截距式得： 34 yx  ＝1 即3x－４y＋12＝0 这是直线AB的方程； 由截距式得 34 yx  ＝1即3x＋４y－12＝0 这是直线BC的方程； 由截距式得 34  yx ＝1 即3x＋４y＋12＝0 这是直线AD的方程； 由截距式得 34  yx ＝1即3x－４y－12＝0 这是直线CD的方程. 10.求过点 P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程. 解：在两轴上的截距都是0时符合题意，此时直线方程为3x－2y＝0 若截距不为0，则设直线方程为 a y a x  ＝1 将点 P（2，3）代入得 aa 32  ＝1 解得a＝5 ∴直线方程为 55 yx  ＝1 即x＋y＝5 11.直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A、B、C满足什么关系时，这条直线有以下性质? (1)与两条坐标轴都相交 (2)只与x轴相交. (3)只与y轴相交. (4)是 x轴所在直线. (5)是 y轴所在直线. 答：(1)当 A≠0，B≠0，直线与两条坐标轴都相交. (2)当 A≠0，B=0时，直线只与x轴相交. (3)当 A＝0，B≠0时，直线只与y轴相交. (4)当 A＝0，B≠0，C＝0，直线是x轴所在直线. (5)当 A≠0，B＝0，C＝0时，直线是y轴所在直线. ●板书设计 §7.2.3 直线的方程 1.直线与二次一次方程的关系. 2.直线方程一般式： 练习 1 Ax＋By＋C＝0 练习2 (A、B不同时为0) 练习3 3.［例6］ ［例7］