0 0 类别 : 教案

§4.3.1 任意角的三角函数(一) ●教学目标 (一)知识目标 1.任意角三角函数的定义. 2.三角函数的定义域. (二)能力目标 1.理解并掌握任意角三角函数的定义. 2.理解三角函数是以实数为自变量的函数. 3.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域. (三)德育目标 使学生通过任意角三角函数的定义，认识锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例， 加深特殊与一般关系的理解. ●教学重点 1.任意角三角函数的定义. 2.正弦、余弦、正切函数的定义域. ●教学难点 正弦、余弦、正切函数的定义域. ●教学方法 讲授法 1.通过三角函数定义的变化：从锐角三角函数到任意角三角函数，由边的比变为坐标 与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比，使学生在理解掌握定义的基础上，加深特殊与一般 关系的理解. 2.通过对定义的剖析，使学生对正弦、余弦、正切函数的定义域有比较深刻的认识，达 到突破难点之目的. ●教具准备 幻灯片2张： 第一张：课本P13图4—10(记作4.3.1 A) 第二张：本课时教案后面的预习提纲(记作4.3.1 B) ●教学过程 Ⅰ.复习回顾 师：在初中我们学习了锐角三角函数，它是以锐角为自变量，边的比值为函数值的三 角函数，前面我们对角的概念进行了扩充，并学习了弧度制，知道角的集合与实数集是一 一对应的，在这个基础上，今天我们来研究任意角的三角函数(板书课题). Ⅱ.讲授新课 师：对于锐角三角函数，我们是在直角三角形中定义的，今天，对于任意角的三角函 数，我们利用平面直角坐标系来进行研究. 设α是一个顶点在原点，始边在 x轴非负半轴上的任意角(这点应该给学生强调清楚， 课本上未做强调是不妥的),α的终边上任意一点 P的坐标是（x，ｙ） (非顶点).它与原 点的距离是 )0)()(( 2222  yxyxrr (打出幻灯片4.3.1 A) 注意:(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与 x 轴的非负半轴重合. (2)OP是角α的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才 能说明角α是任意的. (3)角α的终边只要不落在坐标轴上，就只能是如图所示四种位置中的一种. (4)角α的终边不是不能落在坐标轴上，而是说落在坐标轴上的情况属于特殊情形， 我们将在研究问题的过程中对其进行讨论.  那么，(1)比值 r y 叫做α的正弦，记作sinα，即 .sin r y  (2)比值 r x 叫做α的余弦，记作cosα，即 .cos r x (3)比值 x y 叫做α的正切，记作tanα，即 .tan x y (4)比值 y x 叫做α的余切，记作cotα，即 .cot y x  (5)比值 x r 叫做α的正割，记作secα，即 .sec x r (6)比值 y r 叫做α的余割，记作cscα，即 .csc y r 根据相似三角形的知识，对于终边不在坐标轴上确定的角α，上述六个比值都不会随 P点在α的终边上的位置的改变而改变.当角α的终边在纵轴上时，即 Z)(2  kk  时，终边上任意一点 P的横坐标x都为0，所以tanα、secα无意义；当角α的终边在横 轴上时，即 α＝ｋ π（ｋ∈Z）时，终边上任意一点 P 的纵坐标ｙ都为 0，所以 cotα、cscα无意义，除此之外，对于确定的角α，上面的六个比值都是惟一确定的实数， 这就是说，正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.  以上六种函数，统称为三角函数. 注意：(1)sinα是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积.其余五个符号也是 这样. (2)定义中只说怎样的比值叫做α的什么函数，并没有说α的终边在什么位置(终边 在坐标轴上的除外)，即函数的定义与α的终边位置无关. (3)比值只与角的大小有关. 师：我们已经给出了任意角三角函数的定义，请同学们考虑并比较一下，我们给出的 任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义，有什么联系与区别? 生甲：任意角的三角函数就包含锐角三角函数，实质上锐角三角函数的定义与任意角 的三角函数的定义是一致的，锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例. 生乙：所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标 与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的. (学生不可能一下子回答得准确、完整，必要时，教师应给予一定的引导、启示). 师：两位同学回答得很好，即正弦函数值是纵坐标比距离，余弦函数值是横坐标比距 离，(其余的由学生说出)…… 生：正切函数值是纵坐标比横坐标，余切函数值是横坐标比纵坐标，正割函数值是距 离比横坐标，余割函数值是距离比纵坐标. 师：为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平 面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与 x轴的非负半轴重合， 利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆. 师：由于角的集合与实数集 R 之间是一一对应的，所以三角函数可以看成是以实数为 自变量的函数.我们知道，函数有三个要素，即定义域、值域、对应法则，下面我们就来研究 正弦、余弦、正切函数的定义域，值域问题待后再作研究. 对于正弦函数 r ysin ，因为ｒ＞0，所以 r y 恒有意义，即α取任意实数， r y 恒 有意义，也就是说sinα恒有意义，所以正弦函数的定义域是 R；类似地可写出余弦函数 的定义域；对于正切函数 x ytan ，因为 x＝0时， x y 无意义，即 tanα无意义，又当 且仅当角α的终边落在纵轴上时，才有 x＝0，所以当α的终边不在纵轴上时， x y 恒有 意义，即tanα恒有意义，所以正切函数的定义域是 )(2 Z kk  . (由学生填写下表) 三角函数 定义域 sin R cos R tan { | Z kk ,2  } Ⅲ.例题分析 ［例 1］已知角α的终边经过点 P(2，－3)(如图)，求α的 六个三角函数值. 解：∵x＝2，ｙ＝－3 ∴ 13)3(2 22 r 于是 13 133 13 3sin  r y 13 132 13 2cos  r x 2 3tan  x y 3 2cot  y x 2 13sec  x r 3 13csc  y r ［例2］求下列各角的六个三角函数值. (1)0 (2)π (3) 2 3 解：(1)因为当α＝0时，x＝ｒ，ｙ＝0，所以 sin0=0 cos0=1 tan0=0 cot0不存在 sec0=1 csc0不存在 (2)因为当α＝π时，x＝－ｒ，ｙ＝0，所以 sinπ＝0 cosπ＝－1 tanπ＝0 cotπ不存在 secπ＝－1 cscπ不存在 (3)因为当 2 3  时，x＝0，ｙ＝－ｒ，所以 02 3cos 12 3sin   2 3tan  不存在 02 3cot  2 3sec  不存在 12 3csc  Ⅳ.课堂练习 课本P19练习1、2、3. Ⅴ.课时小结 本节课我们给出了任意角三角函数的定义，并且讨论了正弦、余弦、正切函数的定义域， 任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展，是将锐角三角函数中边的比变为坐标与 距离、坐标与坐标、距离与坐标的比，记忆方法可用锐角三角函数类比记忆，至于三角函数 的定义域可由三角函数的定义分析得到. Ⅵ.课后作业 一、课本P20习题4.3 3、4、5. (作业说明，解答 4、5题时，解答过程中将三角函数值直接写入计算过程即可). 二、1.预习P17～P19 2.预习提纲(打出幻灯片4.3.1 B) (1)各种三角函数值在各象限的符号怎样易记?请寻求方法. (2)公式一的作用是什么?怎样记忆公式? (3)若证明A是B的充要条件，那么 从A B是证明了命题的 性； 从B A是证明了命题的 性. 若证明A的充要条件是B，那么 从A B是证明了命题的 性； 从B A是证明了命题的 性. ●板书设计 §4.3.1 任 意 角 的 三 角 函 数 正弦、 余弦、正切函数的定义域 定义……    注意①… 例 1 练习 ②… ③… 例 2 小结 ●备课资料 《高中数学的内容、方法与技巧》 思考题： 1.若点P(－3，ｙ)是角α终边上一点，且 3 2sin  ，则ｙ的值是 . 答案： 5 56 2.已知角θ的终边上一点 P的坐标是（x，–2）(x≠0)，且 3cos x ，求 sinθ和 tanθ的值. 分析： 42  xr ，又 r xx 3cos ，即ｒ x＝3x 由于x≠0，∴ｒ＝3 ∴x2＋4＝9 x2＝5，x＝± 5 . 当 x＝ 5时，P点的坐标是（ 5，－2）. 5 52 5 2tan,3 2 3 2sin  x y r y  当 x＝－ 5时，P点的坐标是（－ 5，－2） 5 52 5 2tan,3 2 3 2sin   x y r y  . 答案：当 x= 5时， 5 52tan,3 2sin   当 x=– 5时， 5 52tan,3 2sin   ●教学后记