等比数列前 n项和的公式教案
教学目标
1．掌握求等比数列前 n项和的公式及其推导过程，培养学生创造
性的思维．
2．初步掌握公式的应用，培养学生的解题能力．
教学重点与难点
等比数列前 n项和公式的推导
教学过程设计
an=a1qn-1，这个公式的推导使用了迭乘法．
(复习一下旧知识，为下面推导出前 n项和公式作准备，并提供了
类比)
师：今天我们研究已知等比数列的首项 a1，公比 q，项数 n(或 n项
an)，求它的前 n项和 Sn的计算公式．
(给足够的时间鼓励学生对问题自由思考，积极解决)
生：能不能像推导等比数列通项公式的方法，列出一些等式，然后
迭乘或迭加？
师：可以试试．
生 a1=a1，
a2=a1q，
a3=a2q，
……
an-1=an-2q，
an=an-1q．
将上面 n个等式的等号两边分别相加，得
a1＋a2＋a3＋…＋an-1＋an=a1＋a1q＋a2q＋…＋an-2q＋an-1q
等号左边就是 Sn，右边是……
(诱导一下)
师：可将右边适当变形，再观察它与 Sn的关系，注意上式对 n≥2
时成立．
生：Sn=a1＋q(a1＋a2＋…＋an-2＋an-1)
师：等号右边括号里是数列{an}若干项的和，可以用什么符号来表
示？与 Sn的关系又是什么？
(及时点拔，可加深学生对符号 Sn的理解，最后一个问题也是推导
公式的关键一步)
生：等号右边的括号里就是 Sn-1，上面等式可以写成
Sn=a1＋qSn-1=a1＋q(Sn－an)．
以下只需解出 Sn即可．
(“方程”在中学代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十
分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥
梁，使问题得到解决)
师：(纠错)能否在等号两端同除(1－q)？
生：应分 q=1和 q≠1讨论．
(分类讨论也是重要的数学思想方法)
师：因为 S1=a1，所以此式对 n=1也成立．(帮助学生完善证明过程)
生：当 q=1时，数列{an}为常数列 a1，a1，…，Sn=na1
(及时归纳小结)
师：我们根据等比数列的定义，用迭加的方法推导出了等比数列
｛an｝的前 n项和公式
(板书)
如果已知 a1，n，q，则当 q≠1时，Sn的公式是什么；
(学生演算、口答，教师板书)
生：将 an=a1qn-1代入，得
生：老师，我还有一种证法．
师：你是如何证明的？(学生口述，教师板书．)
当 q=1时，Sn=na1．
师：非常好！这位同学围绕等比数列的基本概念，从等比数列的定
义出发，运用等比定理，导出了公式．
(公式虽已导出，还可以再引导学生把思维发散开)
师：还有没有其他的推导方法？
(板书)
Sn=a1＋a2＋…＋an-1＋an=a1＋a1q＋…＋a1qn-2＋a1qn-1．
观察等号右端，若每一项乘以公比 q，就得到它后面相邻的一项，
能否设法消去一些项？同学们可以讨论一下．
生：(学生口述，教师板书)
在等号两边乘以 q，得
qSn=a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1＋a1qn．
将两式的两端分别相减，就可消去这些共同项，
(1－q)Sn=a1－a1qn．
得到前面的求和公式．
师：这种求和方法也很重要，由于设法消去了一些中间项，使带有
省略号的含任意有限项的式子变成仅含有几项的式子，从而使问题得到
解决．
(用这种方法求和，对培养学生的观察、分析能力是有好处的)
这种求和方法称为“错位相减法”，是研究数列求和的一个重要方
法．
(板书)
(这种求和的思路在解决某些求和问题时经常用到，应使学生掌握)
(以上三种推导方法，可以看出利用“发散思维”进行教学，引导
学生从多条途径，用多种方法推导公式，从而培养学生的创造性思维)
师：在求等比数列(q≠1)的前 n项和时，如果已知首项 a1，公比 q
以及项数 n，
师：与等差数列相似．等比数列的前 n项和公式(1)和(2)，及通项
公式 an=a1qn-1，其中涉及 a1，q，n，an和 Sn这五个量，而它们又通过通
项公式及前 n项和的公式联系着，因此只要已知其中的任何三个量，即
可得到以其余两个量为未知数的方程组，从而可以求出其余两个量．
(类比的方法是认识事物的重要方法，提示学生在学习过程中，注
意用类比的方法记忆知识、解决问题)
师：下面举例说明公式(1)、(2)的一些应用．
(利用投影片投影出例题)
例 1 口答下列各题：
(3)请利用第(2)题的数据，自己编题，改求 a1或求 q，并求解．
(自己拟题能巩固和深化所学的知识)
生：(口答)
(3)生甲：已知：q=3，S3=26．求 a1．
生乙：已知：a1=2，S3=26．求 q．
师：这一题是利用 Sn求 q，为什么可以用公式(2)？
生：因为 a1=2，若 q=1，则 S3=6，而已知 S3=26，故 q≠1．所以可
以选用公式(2)．
(这一追问为下一题做了铺垫)
例 2 已知｛an｝为等比数列，且 Sn=a，S2n=b，(ab≠0)，求 S3n．
师：要求 S3n，需知 a1，q，而已知条件为 Sn和 S2n．能否进一步挖
掘题目的条件，使已知和未知沟通起来？
以下再化简即可．
师：这位同学处理问题很巧妙．他没有分别求得 a1与 q的值，而改
为求 qn与
生乙：我认为第①式就有问题，他附加了条件 q≠1，而对 q=1情况
没有考虑．
师：对！使用等比数列前 n项和公式时，要特别注意适用条件，即
q=1时，Sn=na1；
(含字母已知数的等比数列求和题目，学生常忽略 q=1情况，要引
起足够重视，以培养学生思维的严密性)
(学生演算习题，教师投影出正确答案)
解：设数列的公比为 q．若 q=1(此时数列为常数列)，则
Sn=na1=a，S2n=2na1=b，
由已知
师：(小结)这节课我们从已有的知识出发，用多种方法(迭加法、运
用等比性质、错位相减法)推导出了等比数列的前 n项和公式，并在应用
中加深了对公式的认识．
如已知 a1，n，q，则选择
已知 a1，q，an，则选择
对含字母的题目一般要分别考虑 q=1和 q≠1两种情况，不能附加
条件，统一按
n，an，Sn五个量中，知道任意三个，可求其余两个．
布置作业
1．在等比数列｛an｝中，a1=1，an=－512，Sn=－341，求公比 q和
项数 n．(q=－2，n=10)
2．在等比数列{an}中．(1)已知 n，q，an，求 a1与 Sn；(2)已知
n，q，Sn．求
3．求和：
①－②得
(2)Sn=x＋3x2＋5x3＋…＋(2n－1)xn，①
xSn=x2＋3x3＋5x4＋…＋(2n－1)xn＋1．②
①－②得
(1－x)Sn=x＋2(x2＋x3＋…＋xn)－(2n－1)xn＋1．
则当 x≠1时，
当 x=1时，Sn=n2)
课堂教学设计说明
本课知识与前面的知识——等差数列求和公式，教学内容联系紧密．
只要学生掌握好旧知识，再经过分析、综合、归纳、推理，就能导出所学
内容．采用这种教学方法，学生学习积极性高，因而教学效率高、效果
好，同时，对完善学生的认知过程，提高他们分析问题、解决问题的能
力大有裨益．
本节课教学过程可概括如下：
(1)复习旧知识，引出新课题；
(2)推导公式，弄清条件，认识新知识；
(3)运用公式，巩固新知识；
(4)小结，布置作业．
对全课作了如此设计，主要基于以下几点：
(1)对公式的教学，要充分揭示公式之间的内在联系，掌握与理解
公式的来龙去脉，掌握公式的导出方法，理解公式的成立条件．也就是
让学生对本课要学习的新知识有一个清晰的、完整的认识、忽视公式的推
导和条件，直接记忆公式的结论是降低教学要求，违背教学规律的做法．
(2)本课采用启发引导，讲练结合的教学方法，既发挥了教师的主
导作用，又体现了学生的主体地位，学生获取知识必须通过学生自己的
一系列思维活动来完成，课堂上教师的作用主要在于给学生设计好符合
他们学习心理过程的学习程序，通过设疑、暗示、课堂讨论、自编习题等
多种教学形式和方法，启发诱导学生，激发学生的学习兴趣，使他们自
始至终处于一种积极进取的兴奋状态，使他们通过在教师引导下的独立
活动，自然而有效地获取知识、技能和技巧．同时在数学教学的实践活
动中形成、发展学生的数学能力．
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