等比数列教案
教学目标
本节课教学内容是：等比数列定义、等比数列的通项公式及其初步应用．
1．使学生理解并掌握等比数列的定义、通项公式及其初步应用，领略“递
推”、“累乘”的思想方法；
2．通过通项公式的探求，引导学生学习观察、类比、猜测、证明等合情推理
与逻辑推理方法，提高学生分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能力；
3．通过既教证明又教猜想，培养学生思维的科学性和批判性以及勇于探索
的精神．
设计思想
1．根据本节内容，我们采用类比推理的方式，并按如下顺序逐步展开：
(1) 复习等差数列定义、通项公式及其探索思路；
(2) 等比数列的定义；
(3) 等比数列通项公式的探求；
(4) 通项公式的初步应用．
2．有意识地复习等差数列定义及其通项的探求思路，一方面使学生温故旧
知识，另一方面使学生通过联想，为类比地探索等比数列的定义、通项公式奠定
基础．
3．关于等比数列定义的教学，可在复习等差数列定义的基础上，引导学生
对几个具体数列特点的分析，与等差数列的定义作类比，自行给等比数列下定
义，旨在培养学生的类比推理能力和抽象概括能力．
4．关于通项公式的探求，我们可仿照等差数列通项公式的探求思路采用试
验───猜想───验证───证明的途径．旨在揭示科学实验的规律，暴露
知识的形成过程，体现数学发现的本质，培养学生科学的思维方式、实事求是的
科学态度及勇于探索的精神．
教学过程
一、课题引入
通过请学生观察几个具体数列的特点，例如：
(1) 5，25，125，625，…；
(2) 1，－ 3
1 ， 9
1 ，－ 27
1 ，…，
并引导学生类比等差数列，自行得出“从第 2项起每一项与它前一项的比
等于同一个常数”这一共性，随即请学生给这类数列命名（学生易将这类数列
称作“等商数列”成“等比数列）”，师可肯定学生的回答，或稍作修正，并
顺水推舟，指出这是我们今天要研究的内容───等比数列（板书），以此引
出课题．
二、例题分析
在等比数列｛an｝中，已知a2=2，a5=54，求a8；又若an=486，求n．
通过本题求解，使学生初步掌握通项公式的应用，恰当地利用方程思想解
题．本例在求出了通项公式后给出．
分析与略解：欲求a8和n，需知a1和q．
这可通过解方程组
54
2
5
2
a
a ，
求得．事实上，
由
，
，
54
2
4
1
1
qa
qa
解得
.3
3
2
1
q
a ，
∴a8= a1q 7= 145833
2 7 ．
三、习 题
1．已知等比数列｛an｝中， a1 2 ，a10 16
1 ，则a7= ．
2．在等比数列｛an｝中，已知首项 a1=1，公式 q满足 1q ，若 am= a1 · a2 ·
a3 · a4 · a5，则 m等于 ( )
(A)9 (B) 10 (C) 11 (D) 12
参考答案
１． 8
2
事实上，由 16
12 9 q ，
得 2
1q ，
故a7= a1 · 8
26 q ．
2．选C．
这是因为，am= a1 5 · q1＋2＋3＋4=q10= a1 · q 11－1，
所以 m=11．
又an=486，即 48633
2 1 n ，解得n=7．
四、小 结
本节课中，通过与等差数列定义、通项公式的内容及探求方法的强烈类比，
我们获得了等比数列的定义及通项公式，又一次体会了观察、类比、猜想、证明等
合情推理与逻辑推理方法在探索、发现和知识方面的作用．
五、引申与提高
在公比为q的等比数列
a1，a2，…，am－1，am，am＋1，…，an，…①
中，去掉前 m－1项后，所得的数列：
am， am＋1，…，an，… ②
由于保持了它们原来各自位置的先后次序，因此，数列②仍成等比数列，
且 am为首项，an是第n－m＋1项.
于是，an= am qn－m（*）.
这是通项公式的一般形式，它也可由下法获得：
在①中，am= a1 qm－1 ③ ，an= a1qn－1 ④
④÷③得
m
n
a
a = qn－m，即an= am qn－m.
当n≥m时，（*）式显然成立，其实当n＜m时，（*）式也成立.
事实上，当n＜m时，
由于am= an· q m－n= an mnq
1
，故an= am qn－m.
综上可知，不论m，n的大小如何，（*）式均成立.它揭示了等比数列中任
意两项之间的关系，为我们解题带来了方便.例如，在习题⑴中，我们已求得
q= 2
1 ，
故a7=a10 · q7－10=
3
2
1
16
1
8
2
六、思 考 题
9 n 是等比数列 ，，，， 2
3
2
2
2
1
2
0
3333 …中的第几项？
略解：∵a1=3°=1，
q= 3，
∴an= a1· q n－1= 213
n .
9n=32n= 2 1143
n .
所以，9 n是这个数列中的第4n＋1项．
/1
