小结与复习教案
●教学目标
(一)知识目标
1.构造向量法；
2.平面几何性质应用.
(二)能力目标
1.熟悉向量的性质及运算律；
2.能根据向量性质特点构造向量；
3.熟练平面几何性质在解题中应用；
4.熟练向量求解的坐标化思路.
(三)德育目标
1.认识事物之间的内在联系；
2.认识向量的工具性作用，加强数学在实际生活中的应用意识.
●教学重点
1.向量的坐标表示的应用；
2.构造向量法的应用.
●教学难点
构造向量法的适用题型特点的把握.
●教学方法
启发引导式
针对向量坐标表示的应用，通过非坐标形式解法与坐标化解法的比较来加深学生对于
向量坐标表示的认识，同时要加强学生选择建立坐标系的意识.
对于“构造向量法”的应用，本节例题选择了本章的重点内容数量积的坐标表示，目
的要使学生把握坐标表示的数量积性质的形式特点，同时增强学生的解题技巧，提高解题
能力.
●教具准备
投影仪、投影片
第一张：数量积的性质(记作§5.13.2 A)
第二张：本节例题(记作§5.13.2 B)
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
师：上一节，我们一起复习了本章的基本概念、性质、运算律及重要定理、公式，这一节
我们将通过例题分析重点学习平面几何性质及构造向量法在解题时的应用.
Ⅱ.例题分析
师：首先，我们一起回顾一下向量的数量积的有关性质(给出投影片§5.13.2 A).
在熟悉了上述性质后，我们来看下面的例题.(给出投影片§5.13.2 B)
［例1］利用向量知识证明下列各式
(1)x2＋y2≥2xy
(2)｜x｜2＋｜y｜2≥2x·y
分析：(1)题中的结论是大家所熟悉的重要不等式，以前可用求差法证得，而利用向量
知识求证，则需构造向量，故形式上与向量的数量积产生联系.
(2)题本身含有向量形式，可根据数量积的定义式并结合三角函数性质求证.
证明：(1)设 a＝（x，y），b＝（y，x）则a·b＝xy＋yx＝2xy
｜a｜·｜b｜＝ 222222 yxyxyx
又a·b＝｜a｜·｜b｜cosθ(其中θ为a，b 夹角)
≤｜a｜·｜b｜
∴x2＋y2≥2xy
(2)设 x，y 的夹角为θ，
则x·y＝｜x｜·｜y｜cosθ≤｜x｜·｜y｜≤ 2
22 yx
∴｜x｜2＋｜y｜2≥2x·y
评述： (1)上述结论表明，重要不等式 a2＋b2≥2ab，无论对于实数还是向量，都成立.
(2)在(2)题证明过程中，由于｜x｜，｜y｜是实数，故可以应用重要不等式求证.
［例2］利用向量知识证明
(a1b1＋a2b2)2≤（a12＋a22）·（b12＋b22）
分析：此题形式对学生较为熟悉，在不等式证明部分常用比较法证明，若利用向量知
识求证，则关键在于根据其形式与数量积的坐标表示产生联系，故需要构造向量.
证明：设a＝（a1，a2），b＝（b1，b2）
则a·b＝a1b1＋a2b2，
｜a｜2＝a12＋a22，｜b｜2＝b12＋b22
∵a·b＝｜a｜·｜b｜cosθ≤｜a｜·｜b｜.(其中θ为a，b 夹角)
∴（a·b）2≤｜a｜2·｜b｜2
∴（a1b1＋a2b2）2≤（a12＋a22）·（b12＋b22）
评述：此题证法难点在于向量的构造，若能恰当构造向量，则利用数量积的性质容易
证明结论.这一技巧应要求学生注意体会.
［例3］已知ｆ（x）＝ 21 x
求证：｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜(a≠b）
分析：此题若用分析法证明，则需采用平方的手段以去掉绝对值，但由于ｆ（a）、ｆ
（b）是含有根式的式子，故需再次平方才能达到去根号的目的.也可考虑构造向量法，利
用向量的性质求证.下面给出两种证法.
证法一：∵ｆ（a）＝ 21 a ，
ｆ（b）＝ 21 b ，
∴要证明｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜
只需证明｜ 21 a － 21 b ｜2＜｜a－b｜2
即：1＋a2＋1＋b2－2 )1)(1( 22 ba ＜a2＋b2－2ab
即： )1)(1( 22 ba ＞1＋ab
只需证明（ )1)(1( 22 ba ）2＞（1＋ab）2
即 1＋a2＋b2＋a2b2＞1＋2ab＋a2b2
即 a2＋b2＞2ab
∵a2＋b2≥2ab 又 a≠b
∴a2＋b2＞2ab
∴｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜
证法二：设a＝（1，a），b＝（1，b）
则｜a｜＝ 21 a ，｜b｜＝ 21 b
a－b＝（O，a－b）
｜a－b｜＝｜a－b｜
由｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a－b｜，其中当｜a｜＝｜b｜即 a＝b时，取“＝”，而
a≠b
∴｜｜a｜－｜b｜｜＜｜a－b｜
即｜ 21 a － 21 b ｜＜｜a－b｜
∴｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜.
评述：通过两种证法的比较，体会“构造向量法”的特点，加深对向量工具性作用的
认识.
师：上述三个例题，主要通过“构造向量”解决问题，要求学生在体验向量工具性作
用的同时，注意解题方法的灵活性.下面，我们通过下面的例题分析，让大家体会向量坐标
运算的特点，以及“向量坐标化”思路在解题中的具体应用.
［例 4］已知：如图所示，ABCD是菱形，AC和 BD是它的两
条对角线.求证AC⊥BD.
分析：对于线段的垂直，可以联想到两个向量垂直的充要条
件，而对于这一条件的应用，可以考虑向量式的形式，也可以考
虑坐标形式的充要条件.
证法一：∵ AC ＝ AB＋ AD，
BD＝ AD－ AB，
∴ AC ·BD＝（ AB＋ AD）·（ AD－ AB）
＝｜ AD｜2－｜ AB｜2＝O
∴ AC ⊥BD
证法二：以 OC所在直线为 x轴，以 B为原点建立直角坐标系，
设 B(O，O)，A(a，b)，C（c，O）则由｜AB｜＝｜BC｜得 a2＋b2＝
c2
∵ AC ＝ BC－ BA＝（c，O）－（a，b）＝（c－a，－
b），
BD＝BA＋BC＝（a，b）＋（c，O）＝（c＋a，b）
∴ AC ·BD＝c2－a2－b2＝O
∴ AC ⊥BD
即：AC⊥BD
评述：如能熟练应用向量的坐标表示及运算，则将给解题带来一定的方便.通过向量的
坐标表示，可以把几何问题的证明转化成代数式的运算，体现了向量的数与形的桥梁作用
有助于提高学生对于“数形结合”解题思想的认识和掌握.
［例5］若非零向量a和 b满足｜a＋b｜＝｜a－b｜.证明：a⊥b.
分析：此题在综合学习向量知识之后，解决途径较多，可以考虑两向量垂直的充要条
件的应用，也可考虑平面图形的几何性质，下面给出此题的三种证法.
证法一： (根据平面图形的几何性质)
设OA＝a，OB＝b，
由已知可得a 与b 不平行，
由｜a＋b｜＝｜a－b｜得以OA、OB为邻边的平行四边形 OACB 的对角线OC 和
BA相等.
所以?OACB是矩形，
∴OA⊥OB
∴a⊥b
证法二：∵｜a＋b｜＝｜a－b｜
∴（a＋b）2＝（a－b）2
∴a 2＋2a·b＋b 2＝a2－2a·b＋b2
∴a·b＝O
∴a⊥b
证法三：设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），
｜a＋b｜＝ 221221 )()( yyxx ，
｜a－b｜＝ 221221 )()( yyxx ，
∴ 221221 )()( yyxx
＝ 221221 )()( yyxx ，
化简得：x1x2＋y1y2＝O，
∴a·b＝O，
∴a⊥b.
［例 6］已知向量a 是以点A(3，－1)为起点，且与向量b＝（－3，4）垂直的单位向
量，求a 的终点坐标.
分析：此题若要利用两向量垂直的充要条件，则需假设 a 的终点坐标，然后表示 a 的
坐标，再根据两向量垂直的充要条件建立方程.
解：设a 的终点坐标为（ｍ，ｎ）
则a＝（ｍ－3，ｎ＋1）
由题意
1)1()3(
0)1(4)3(3
22 nm
nm
由①得：ｎ＝ 4
1 （3ｍ－13）代入②得
25ｍ 2－15Oｍ＋2O9＝O
①
②
解得
.5
8
,5
11
.5
2
,5
19
2
2
1
1
n
m
n
m
或
∴a 的终点坐标是（ )5
8,5
11()5
2,5
19 或
评述：向量的坐标表示是终点坐标减去起始点的坐标，所以向量的坐标与点的坐标既
有联系又有区别，二者不能混淆.
师：上述例题，主要体现了两向量垂直的充要条件的应用，在突出本章这一重点知识
的同时，应引导学生注意解题方法的灵活性，尤其是向量的坐标化思路在解题时的应用，
将几何与代数知识沟通起来.
Ⅲ.课堂练习
1.已知a＝（1，O），b＝（1，1），当λ为何值时，a＋λb 与 a垂直.
解：a＋λb＝（1，O）＋λ（1，1）＝（1＋λ，λ）
∵（a＋λb）⊥a
∴（a＋λb）·a＝O
∴（1＋λ）＋O·λ＝O
∴λ＝－1
即当λ＝－1时，a＋λb 与 a垂直.
2.已知｜a｜＝ 3，｜b｜＝2，a 与b 的夹角为3O°，求｜a＋b｜，｜a－b｜.
解：｜a＋b｜2＝（a＋b）2
＝a 2＋2a·b＋b 2
＝｜a｜2＋2·｜a｜·｜b｜cos3O°＋｜b｜2
＝（ 3）2＋2× 3 ×2× 2
3 ＋22＝13
∴｜a＋b｜＝ 13，
∵｜a－b｜2＝（a－b)2
＝a 2－2a·b＋b 2
＝｜a｜2－2｜a｜·｜b｜·cos3O°＋b2
＝（ 3）2－2× 3 ×2× 2
3 ＋22＝1
∴｜a－b｜＝1
3.已知｜a｜＝3，｜b｜＝2，a 与b 的夹角为 6O°，c＝3a＋5b，d＝ｍ a－3b.
当ｍ为何值时，c 与 d 垂直?
解：若c⊥d
则c·d＝O
∴（3a＋5b）（ｍ a－3b)＝O
∴3ｍ｜a｜2＋（5ｍ－9）a·b－15｜b｜2＝O
∴3ｍ｜a｜2＋（5ｍ－9）｜a｜｜b｜cos6O°－15｜b｜2＝O
即 27ｍ＋3（5ｍ－9）－6O＝O
解得ｍ＝ 14
29 .
4.已知a＋b＝c，a－b＝d
求证：｜a｜＝｜b｜ c⊥d
证明：(1)c⊥d
（a＋b）（a－b）＝O
a 2－b2＝O
a 2＝b2
｜a｜＝｜b｜，
(2)｜a｜＝｜b｜
a 2＝b2
a 2－b2＝O
（a＋b）（a－b）＝O
c⊥d.
Ⅳ.课时小结
师：通过本节学习，要求大家进一步熟悉向量的性质及运算律，熟悉平面几何性质在
解题中的应用，能够掌握向量坐标化的思路求解问题，掌握构造向量并利用向量性质解题、
证题的方法.
Ⅴ.课后作业
课本Ｐ 15O A组 27，28.
B组 5，6，7，8.
●板书设计
§5.13.2 小结与复习
1.本节主要方法： 2.例题分析
（1）构造向量法 3.学生练习
（2）向量坐标化
●备课资料
1.三角形内角和性质
定理：在△ABC中，A、B、C分别为三个内角，则A＋B＋C＝18O°
推论(1)B＝6O° 2B＝A＋C
推论(2)若 A＜9O°，则有sinB＞cosC，
cosB＜sinC，tanB＞cotC，cotB＜tanC.
推论(3)sin（A＋B）＝sinC，cos（A＋B）＝－cosC，
tan（A＋B）＝－tanC，cot（A＋B）＝－cotC.
推论(4)sin .2tan2cot,2cot2tan,2sin2cos,2cos2
CBACBACBACBA
2.三角形内角和性质应用举例
［例1］△ABC中，若 ,tantan
tantan
a
ca
CB
CB
求证：A、B、C成等差数列.
证明：由条件得 A
CA
CB
CB
sin
sinsin
)sin(
)sin(
，由推论(3)得 sin（B＋C）＝sinA.
∴sin（B－C）＝sinA－sinC
∴sin（B－C）－sin（B＋C）＝－sinC
即 2cosBsinC＝sinC
∵sinC≠O，∴cosB＝ 21
∴B＝ 3 .
故由推论(1)得 2B＝A＋C.
所以A、B、C成等差数列.
［例2］在锐角△ABC中，求证：sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC
证明：∵△ABC是锐角三角形，
∴A＜9O°，根据推论(2)有：sinB＞cosC ①
B＜9O°，根据推论(2)有：sinC＞cosA ②
C＜9O°，根据推论(2)有 sinA＞cosB ③
∴①＋②＋③得：
sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC.
［例3］已知△ABC，求证(a－b)cot 2
C ＋（b－c）cot 2
A ＋（c－a）cot 2
B ＝O.
证明：根据正弦定理和推论(4)，
有（a－b）cot 2
C ＝2Ｒ（sinA－sinB）tan 2
BA ＝4Ｒ sin 2
BA sin 2
BA ，
∴（a－b）cot 2
C ＝2Ｒ（cosB－cosA）
同理，（b－c）cot 2
A ＝2Ｒ（cosC－cosB）；
（c－a）cot 2
B ＝2Ｒ（cosA－cosC).
三式相加可得
（a－b）cot 2
C ＋（b－c）cot 2
A ＋（c－a）cot 2
B ＝O.
●教学后记
/5
