角的概念的推广教案
一、素质教育目标
(一)知识教学点
1．推广角的概念，引入大于360°的角和负角．
2．正角、负角、零角的定义．
3．象限角概念．
4．终边相同的角的表示法．
(二)能力训练点
1．理解并掌握正角、负角、零角定义．
2．重点掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法．
3．树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念．
二、教学重点、难点、疑点及解决办法
1．教学重点：理解正角、负角、零角的定义，掌握终边相同角的表示法．
2．教学难点：终边相同的角的表示．
3．教学疑点：区别并理解角的大小与角的终边位置不同表示方法的含义．
三、课时安排
本课题安排1课时．
四、教与学过程设计
(一)复习0°～360°角的概念
师：我们已经学习了0°～360°的角，它是如何定义的？
生：角可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成．
师：我们进一步复习角有关的概念．如图2-1，一条射线由原来的位置
OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始
时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端
点O叫做角α的顶点．
(二)角概念的推广
师：在日常生活中，在生产和科学实验中，还要经常遇到大于360°的角
以及按不同方向旋转而成的角，你们能否举出实例说明？
生甲：在自行车的车轮按逆时针旋转一周过程中，OA形成了0°到360°的
所有角；在车轮继续旋转第二周过程中，又形成了360°到720°的所有的角；
这样下去，可以形成更大的角(如图2-2示)．
生乙：钟表的指针、螺丝扳手与曲柄连杆按不同方向旋转所成的角．
师：同学们举出的实例说明了它们的实际意义和推广角概念的必要性．为
了区别起见，我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向
旋转所形成的角叫做负角，如图2-3示：以OA为始边的角α=210°，β=-
150°，γ=-660°．特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时
形成了一个角，并把这个角叫做零角．
角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．要注意，正角和
负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯系习惯，就好象与正数、负
数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样．
(三)象限角
师：正象在上一小节所做的那样，我们主要在直角坐标系内讨论角．这时
要使角的顶点与坐标原点重合，角的始边在x轴的正半轴上，角的终边在第几
象限，就说这个角是第几象限的角(或说这个角属于第几象限)．
如图2-4(1)中的30°，390°，-330°都是第一象限角；图2-4(2)中的
300°，-60°的角都是第四象限的角．
练习一：1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于
90°的角是锐角吗？0°～90°的角是锐角吗？
(答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90°的角可能
是零角或负角，故它不一定是锐角；0°～90°的角可能是零角，故它也不一定
是锐角．)
师总结有关角的集合表示．锐角：θ|0°＜θ＜90°，0°～90°的角：
{θ|0°≤θ≤90°}；小于90°角：{θ|θ＜90°}．
2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列
各角，并指出它们是哪个象限的角？
(1)420°，(2)-75°，(3)855°，(4)-510°．
(答：(1)第一象限角，(2)第四象限角，(3)第二象限角，(4)第三象限角，
作图表示略．)
(四)终边相同的角的表示法
师：让我们再来观察图2-4(1)中的三个角，390°，-330°都不是0°～
360°的角，但它们都与30°角的终边相同，请同学们思考为什么？能否再举
二个与30°同终边的角？
生：由图中我们可发现 390°，-330°与30°相差 360°的整数倍，例如，
390°，-330°可以分别写成下列形式：390°=360°+30°，-330°=-
360°+30°，与30°同终边的角还有如750°，-690°．
师：这位同学发现两个同终边角的特征，如举例的750°，-690°可分别
写成750°=2×360°+30°，-690°=-2×360°+30°．显然除了这些角之外，
与30°的角终边相同的角还有：
3×360°+30°； -3×360°+30°；
4×360°+30°； -4×360°+30°；
……； ……；
提问：所有与30°的角终边相同的角，连同30°的角在内，如何用统一的
式子来表示？
生：我们可以用k·360°+30°，(k∈Z)来表示所有与30°的角终边相同
的角，当 k=0时，它表示30°的角；当 k=1时，它表示390°的角；当 k=-1时，
它表示-330°的角，等等．
师：现在我们总结已得到的结果并推广到一般情形．一般地，所有与α角
终边相同的角，连同α角在内(而且有且只有这样的角)，可以用式子
R·360°+α，k∈Z来表示．
因此，对于给定的顶点、始边和终边，确定了一个由无限个角组成的集合，
与α角终边相同的角的集合可记作：
{β|β=k·360°+α，k∈Z}
注意以下4点：
(1)k∈Z：(2)α是任意角；
(3)k·360°与α之间是“+”号，如 k·360°-30°，应看成 k·360°+
(-30°)；
(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角
有无数多个，它们相差 360°的整数倍．
(五)练习
例1 在0°～360°间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它是哪个
象限的角．
(1)-140°，(2)670°，(3)-850°36′．
解：
(1)
∵-140°=-360°+220°，
∴220°的角与-140°的角终边相同，它是第三象限角．
(2)
∵670°=360°+310°，
∴310°的角与670°的角终边相同，它是第四象限角．
(3)
∵-850°36′=-3x360°+229°24′，
∴229°24′的角与-850°36′的角终边相同，它是第三象限角．
总结：草式写在草稿纸上．正的角度除以360°，按正常除法进行；负的
角度除以360°，商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大
1，以便余数为正值．
例2 写出与下列各角终边相同的角集合 S，并把 S中在-360°～720°间
的角写出来．
(1)70°，(2)-53°，(3)480°16′．
解：(1)S={β|β=k·360°+70°， k∈Z}
S中在-360°～720间的角是
-1×360°+70°=-290°；
0×360°+70°=70°；
1×360°+70°=430°．
(2)S={β|β=k·360°-53°，k∈Z}
S中在-360°～720间的角是
0×360°-53°=-53°；
1×360°-53°=307°；
2×360°-53°=667°．
(3)S={β|β=k·360°+480°16′，k∈Z}
S中在-360°～720°间的角是
-2×360°+480°16′=-239°44′；
-1×360°+480°16′=120°16′．
0×360°+480°16′=480°16′．
例3 写出终边在下列位置的角的集合．
(1)x轴的负半轴上，(2)y轴上
解：(1)∵ 在0°～360°间，终边在x轴负半轴上的角为180°，
∴终边在x轴负半轴上的所有角是 k·360+180°，k∈Z．
(2)∵ 在0°～360°间，终边在 y轴的正半轴上的角为90°，终边在 y
轴的负半轴上的角为270°，如图2-5示，∴终边在 y轴正半轴、负半轴上的所
有角分别是：k·360°+90°， k·360°+270°， k∈Z．
提问：请同学们思考，能否将二者写成统一表达式？
师：
∵k·360°+90°=2k·180°+90°(1)，k·360°+270°=2k·180°+180°+90
°=(2k+1)·180°+90°(2)，在(1)式等号右边的前一项是180°的所有偶数
(2k)倍；在(2)式等号右边的前一项是180°的所有奇数(2k+1)倍，因此，它们
可以合并为180°的所有整数倍，(1)式和(2)式可以分别写成
n·180+90(n∈Z)，∴终边在 y轴上的角的集合是：S={β|
β=n·180°+90°，n∈Z}．
提问：终边落在x轴上的角集合如何表示？
{β|β=k·180°，k∈Z}．
(六)总结
本节课我们学习了正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角
的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．本节课重点是学习终边相
同的角的表示法．
五、作业
P．123中 2、3、4；P．130中 3、4、6．
六、板书设计
七、参考资料
《高中数学精讲精练》(一)
《北京名师导学》高中代数上册
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