有关分期付款的计算问题教案
人教版高中数学新教材(试验修订本·必修)第一册(上)，在§3．6
专门研讨了分期付款中的有关计算这个课题．从数学的角度看，它是等
比数列前n项和的公式在购物付款方式上的实际应用．解答这类应用问
题的关键是要弄清以下两个知识点：
1．熟悉等比数列的通项公式an=a1qn-1与前n项的求和公式
2．熟悉分期付款的有关规定；(1)每期所付款额相同；(2)每期的
利率均按复利计算(即本期利息计入下期本金)．
根据新教材要求，现提出大家日常生活中所熟悉的银行贷款分期付
款问题，探究解决这类问题的策略．
例 1 老刘年初从银行贷款2万元用于购房，贷款年利率10％，按
复利计算，若从贷款后次年初开始归还，分15次等额分期付款，15年
还清，求每年应还多少元(精确到1元)？
思路 1 由分期付款的规定列式．设每次等额还款x元，则可列出
下表：
根据题意列出方程
20000(1＋10％)15=x(1＋10％)14＋x(1＋10％)13＋…＋x，
思路 2 从每次还款后的欠款列式．设每次等额还款x元，则第一
次还款后尚欠款
b1=(20000×1.1－x)元；
第二次还款后尚欠款
b2=b1×1.1－x=(20000×1.12－1.1x－x)元；
第三次还款后尚欠款
b3=b2×1.1－x=(20000×1.13－1.12x－1.1x－x)元；
……
第十五次还款后尚欠款
b15=b14×1.1－x
=(20000×1.115－1.114x－1.113x－…－x)元．
又因为b15=0(第十五次还款后贷款恰好全部付清)，所以
20000×1.115－1.114x－1.113x－…－x=0．
即 20000×1.115=(1.114＋1.113＋…＋1)x，
注 思路2是将分期付款问题视作分期存款，即从次年年底每年存
款x万元，按规定利率进行复利计算，求得15年的本利和，然后向银
行一次付清，这样就构成了以x万元为首项，1.1为公比的等比数列，
求前15项之和S15，而S15恰好等于贷款2万元第15年一次还清的应付
款20000(1＋10％)15，从而列出方程，解出x．
例 2 一乡办水泥厂为提高产品质量，扩大再生产，需要征地、扩
建厂房，购置新机器设备，改造旧设备，培训工人与干部，因而要筹集
大批资金．已知征地、农户拆迁需40万元，新建厂房需100万元，购置
新机器需60万元，旧设备改造及干部工人培训需15万元．该厂现有资
金125万元，但流动备用金需40万元．厂内有干部30人，工人180人，
干部每人投资4000元，工人每人投资1000元(不记利息，仅在每年年
底利润中分红)，尚缺少的资金准备在今年年底向银行贷款，按年利率
9％的复利计算．若从次年年底开始，分5年等额分期付款还清贷款及
全部利息，求该厂每年需还贷款多少万元(精确到0.1万元)？
分析 本题叙述冗长，条件复杂，商业名词较多，数据较多，需要
理清思路，对数据分类并结合表格处理，以抓住问题本质．
解 本题所涉及的资金有以下几个方面：
(1)因扩大生产急需的资金是40＋100＋60＋15＋40=255(万元)；
(2)已经筹集到的资金是125＋0.4×30＋0.1×180=155(万元)；
(3)需向银行贷款的资金是255－155=100(万元)．
根据该厂的实际情况，归还贷款实行分期付款．设每次向银行还款
x万元，则列出下表(单位：万元)
根据分期付款的规定列出方程
x[(1＋9％)4＋(1＋9％)3＋(1＋9％)2＋(1＋9％)＋1]=100(1＋
9％)5，
由以上两例看出，解此类实际应用题，往往需要在陌生的情境中理
解、分析给出的问题，并舍弃与数学无关的非本质因素(如例2)，转化成
相应的数学问题．因此解此类题的一般策略要做到以下几点：
(1)要冷静、耐心、细致地读题，分析每一个已知条件和要求结论的
数学意义，明确题意，把握问题的数学本质．
(2)采用表格(分类、图形等)处理数据，便于寻找各种数量间关系．
(3)建立正确的数学模型(数列模型)，确定目标函数，这是解应用
题的关键．要注重积累，认真总结，掌握常见数学模型的构作方法．
(4)列出正确的关系式(如方程、不等式、函数)，给出答案并检验．
现实世界中除分期付款外，还有诸如增长率、降低率、复利等与年份
有关的经济活动，或与次数顺序有关的操作活动等实际问题，常常归结
为建立数列模型来解决．
/4
