§4.7.3 二倍角的正弦、余弦、正切教案
●教学目标
(一)知识目标
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式：
(1）sin2α＝2sinαcosα
(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
(3)tan2α＝
2tan1
tan2
(二)能力目标
(1)灵活应用和、差、倍角公式；
(2)掌握和差化积与积化和差的方法(不要求记忆).
(三)德育目标
(1)培养学生联系变化的观点；
(2)提高学生的思维能力.
●教学重点
和角化归的二倍角公式的变形式的理解与应用.
●教学难点
二倍角公式的变形式的灵活应用.
●教学方法
引导学生推得二倍角公式的变形式，从而使学生加深对二倍角公式的理解与应用.(启
发诱导式)
●教具准备
幻灯片三张
第一张（§4.7.3 A）：
sin2 2
cos1
2
(α为任意角)
cos2 2
cos1
2
（α为任意角）
tan2
cos1
cos1
2
（α≠ｋπ＋ 2
，ｋ∈Ｚ)
第二张（§4.7.3 B）：
sinα·cosβ＝ 2
1 ［sin（α＋β）＋sin（α－β）］；
cosα·sinβ＝ 2
1 ［sin（α＋β）－sin（α－β）］；
cosα·cosβ＝ 2
1 ［cos（α＋β）＋cos（α－β）］；
sinα·sinβ＝－ 2
1 ［cos（α＋β）－cos（α－β）］.
(α、β为任意角)
第三张（§4.7.3 C）：
sinθ＋sin ＝2sin 2
·cos 2
；
sinθ－sin ＝2cos 2
·sin 2
；
cosθ＋cos ＝2cos 2
·cos 2
；
cosθ－cos ＝－2sin 2
·sin 2
.
(θ、 为任意角)
●教学过程
Ⅰ.课题导入
师：现在我们进一步探讨和角、差角、倍角公式的应用.
先看本章开始所提问题，在章头图中，令∠AOB＝θ，则 AB＝asinθ，OA＝acosθ，
所以矩形ABCD的面积
Ｓ＝asinθ·2acosθ＝a2·2sinθcosθ
＝a2sin2θ≤a2
当sin2θ＝1，即2θ＝90°，θ＝45°时，a2sin2θ＝a2＝Ｓ
不难看出，这时A、D两点与 O点的距离都是 a2
2 ，矩形的面积最大，于是问题得到
解决.
Ⅱ.讲授新课
师：再看下面的例题
［例1］求证sin2 2
cos1
2
分析：此等式中的α可作为 2
的2倍.
证明：在倍角公式cos2α＝1－2sin2α中以α代替2α，以 2
代替α，即得
cosα＝1－2sin2 2
∴sin2 2
cos1
2
师：请同学们试证下两式
(1)cos2 2
cos1
2
(2)tan2
cos1
cos1
2
生：证明：(1)在倍角公式cos2α＝2cos2α－1中以α代替2α、以 2
代替α，即得
cosα＝2cos2 2
－1
∴cos2 2
cos1
2
(2)由 tan2
2cos
2sin
2 2
2
sin2 2
cos1
2
cos2 2
cos1
2
得
cos1
cos1
2tan
2
(打出幻灯片§4.7.3 A，让学生观察)
师：这是我们刚才所推证的三式，不难看出这三式有两个共同特点：
(1)用单角的三角函数表示它们的一半即半角的三角函数；
(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的).
这一组式子也可称为半角公式，但不要求大家记忆，只要理解并掌握这种推证方法.
另外，在这三式中，如果知道 cosα的值和 2
角的终边所在象限，就可以将右边开方，
从而求得sin 2
、cos 2
与tan 2
.
下面，再来看一例子.
［例2］求证：sinα·cosβ＝ 2
1 ［sin（α＋β）－sin（α－β）］
分析：只要将Ｓ（α＋β）、Ｓ（α－β）公式相加，即可推证.
证明：由sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ ①
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ ②
①＋②得：sin（α＋β）＋sin（α－β）＝2sinαcosβ
即：sinα·cosβ＝ 2
1 ［sin（α＋β）＋sin（α－β）］
师：请同学们试证下面三式：
(1)cosα·sinβ＝ 2
1 ［sin（α＋β）－sin（α－β）］
(2)cosα·cosβ＝ 2
1 ［cos（α＋β）＋cos（α－β）］
(3)sinα·sinβ＝－ 2
1 ［cos（α＋β）－cos（α－β）］
生：思考片刻，自证.
证明：(1)由 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ ①
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ ②
①－②得：sin（α＋β）－sin（α－β）＝2cosαsinβ
即：cosαsinβ＝ 2
1 ［sin（α＋β）－sin（α－β）］
(2)由 cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ ①
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ ②
①＋②得：cos（α＋β）＋cos（α－β）＝2cosαcosβ
即：cosαcosβ＝ 2
1 ［cos（α＋β）＋cos（α－β）］
(3)由 cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ ①
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ ②
①－②得cos（α＋β）－cos（α－β）＝－2sinαsinβ
即：sinαsinβ＝－ 2
1 ［cos（α＋β）－cos（α－β）］
(打出投影片§4.7.3 B，让学生对照)
师：不难看出，这一组式子也有一共同特点，即，左式均是乘积形式，右式均为和差
形式，利用这一式可将乘积形式转化为和差形式，也可称为积化和差公式.
师：和差形式是否可以化为乘积的形式呢?看这一例子.
［例3］求证sinθ＋sin ＝2sin 2
cos 2
分析：θ可有 2
＋ 2
代替， ＝ 2
－ 2
证明：左式＝sinθ＋sin
＝sin［ 2
＋ 2
］＋sin［ 2
－ 2
］
＝sin 2
cos 2
＋cos 2
sin 2
＋sin 2
cos 2
－cos 2
sin 2
＝2sin 2
cos 2
＝右边
师：请同学们再证下面三式.
(1)sinθ－sin ＝2cos 2
·sin 2
；
(2)cosθ＋cos ＝2cos 2
·cos 2
；
(3)cosθ－cos ＝－2sin 2
·sin 2
.
生：证明：(1)令θ＝ 2
＋ 2
＝ 2
－ 2
则左边＝sinθ－sin
＝sin［ 2
＋ 2
］－sin［ 2
－ 2
］
＝sin 2
cos 2
＋cos 2
sin 2
－sin 2
cos 2
＋cos 2
sin
2
＝2cos 2
sin 2
＝右边
(2)左边＝cosθ＋cos
＝cos［ 2
＋ 2
］＋cos［ 2
－ 2
］
＝cos 2
cos 2
－sin 2
sin 2
＋cos 2
cos 2
＋sin 2
sin 2
＝2cos 2
cos 2
＝右边
(3)左边＝cosθ－cos
＝cos［ 2
＋ 2
］－cos［ 2
－ 2
］
＝cos 2
cos 2
－sin 2
sin 2
－cos 2
cos 2
－sin 2
sin 2
＝－2sin 2
sin 2
＝右边.
(打出幻灯片§4.7.3 C)
师：这组式子的特点是左式为和差形式，右式为积的形式，所以这组式子也可称为和
差化积公式，只要求掌握这种推导方法，不要求记忆.
Ⅲ.课堂练习
生：(板演练习)课本 P46 1.
证明：tan 2
＝
sin
cos1
cos1
sin
∵ 2tan
2cos
2sin
2cos2sin2
)2sin21(1
sin
cos1
2
∵ 2tan
2cos
2sin
12cos21
2cos2sin2
cos1
sin
2
∴原式得证
师：若发现题目中所出现的角有二倍关系，不妨考虑使用二倍角公式.
Ⅳ.课时小结
通过这节课的学习，要掌握推导积化和差、和差化积公式的方法，虽不要求记忆，但要
知道它们的互化关系.另外，要注意半角公式的推导与正确使用.当然，这些都是在熟练掌
握二倍角公式的基础上完成的.
Ⅴ.课后作业
(一)课本 P47习题4.7 3.
(二)1.预习课本 P48～P49
2.预习提纲
（1）怎样利用单位圆画正弦曲线?
（2）余弦曲线与正弦曲线的关系如何?
●板书设计
课题
例1 例2 例3
●备课资料
1.求值：cos280°＋sin250°－sin190°·cos320°
解：原式＝ 40cos10sin2
100cos1
2
160cos1
4
3
4
11
)30sin50(sin2
150sin2
11
40cos10sin)50sin30sin(22
11
40cos10sin)20cos80(cos2
11
评述：先利用半角公式“降次”，再用和差化积公式，积化和差公式.
2.已知α、β为锐角，且 3sin2α＋2sin2β＝1，3sin2α－2sin2β＝0.求证：
α＋2β＝ 2
证法1：由已知得3sin2α＝cos2β ①
3sin2α＝2sin2β ②
①÷②得tanα＝ )22tan()22cos(
)22sin(
2sin
2cos
∵α、β为锐角
∴0＜β＜ 2
，0＜2β＜π，－π＜－2β＜0，
∴－ 2
＜ 2
－2β＜ 2
∴α＝ 2
－2β，α＋2β＝ 2
证法2：由已知可得：
3sin2α＝cos2β
3sin2α＝2sin2β
∴cos（α＋2β）＝cosα·cos2β－sinα·sin2β
＝cosα·3sin2α－sinα· 2
3 sin2α
＝3sin2αcosα－sinα·3sinαcosα＝0
又由α＋2β∈（0， 2
3 ）
∴α＋2β＝ 2
证法3：由已知可得
2sin2sin3
2cossin3
2
2
∴sin（α＋2β）＝sinαcos2β＋cosαsin2β
＝sinα·3sin2α＋ 2
3 cosα·sin2α
＝3sinα（sin2α＋cos2α）＝3sinα
又由②，得3sinα·cosα＝sin2β ③
① 2＋③ 2，得9sin4α＋9sin2αcos2α＝1
∴sinα＝ 3
1 ，即sin（α＋2β）＝1
又 0＜α＋2β＜ 2
3
∴α＋2β＝ 2
评述：一般地，若所求角在（0，π）上，则一般取此角的余弦较为简便；若所求角在
（－ 2
， 2
)上，则一般取此角的正弦较为简便；当然，若已知条件与正切函数关系比较
密切，也可考虑取此角的正切.
3.在△ABC中，sinA是 cos（B＋C）与 cos（B－C）的等差中项，试求(1)tanB＋tanC
的值.
(2)证明tanB＝（1＋tanC）·cot（45°＋C）
(1)解：△ABC中，sinA＝sin（B＋C）
∴2sin（B＋C）＝cos（B＋C）＋cos（B－C）
∴2sinBcosC＋2cosBsinC＝2cosBcosC
∵cosBcosC≠0 ∴tanB＋tanC＝1
（2）证明：又由上：tanβ＝1－tanC＝（1＋tanC）· C
C
tan1
tan1
＝（1＋tanC）·tan（45°－C）＝（1＋tanC）·cot（45°＋C）
4.求值： 140cos40cos2
)40cos21(40sin
2
解：原式＝
40cos80cos
80sin40sin
40cos80cos
40cos40sin240sin
360tan20cos60cos2
20cos60sin2
●教学后记
①
②
/7
