半角的正弦、余弦、正切
一、素质教育目标
(一)知识教学点
半角的正弦、余弦、正切公式及其推导．
(二)能力训练点
1．掌握半角的正弦、余弦、正切公式及其推导．通过公式的推导，使学生进
一步了解各公式的内在联系，从而培养学生的逻辑推理能力．
2．通过公式的综合运用及一题多解，进一步提高学生的变形能力和创造性
思维能力．
(三)德育渗透点
1．半角公式带有“±”号，决定了使用半角公式要十分的小心，首先要依
题意判别符号，这对学生养成严谨的治学态度非常有益，教学过程要注意培养
学生严谨的行为习惯．
2．倍角和半角这两个概念都是相对而言的，教学过程要让学生明白
孤立的观点看问题，培养学生用相对的联系的观点来分析问题．
二、教学重点、难点、疑点及解决办法
1．教学重点：半角的正弦、余弦、正式公式及其推导．
2．教学难点：公式中“±”号的选择及公式的应用．
3．教学疑点：半角的正切公式是有条件的，教学过程要注意帮助学生分析
条件．
三、课时安排
建议安排2课时．
四、教与学的过程设计
第一课时 半角公式及其推导
(一)复习引入
师：上一节课我们学习了倍角公式，其实质就是用单角的三角函数来表示
二倍角的三角函数，下面请同学们一起回忆倍角公式(引导学生从公式的推导去
回忆，这样等于同时回忆公式的推导)．
生：(板书)
sin2α=2sinα·cosα
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α
师：今天这节课我们继续学习半角公式，即要用单角的三角函数来
(二)半角公式及其推导
师：我们知道公式 cos2α=1-sin2α= 2cos2α-1中α是任意的，所
(以上均为教师板书)．
问题1 上面公式中的“正，负”号由谁来确定？
(让学生讨论，教师要引导学生从“±”号的由来去思考)．
问题2．我们知道“±”号的取舍决定于左边函数的符号，那么左边函数
的符号又由谁来确定呢？
所在的象限来确定．
哪一象限？
(教师要引导学生先把α表示出来再分析．)
师：我来讨论α是第一象限角的情形．
(要求学生按同样的方法讨论其它三种情形然后提问．)
师：下面我们一起来总结以上结果(教师列表)
师：上表的内容大家不必死记硬背，只要大家掌握讨论的方法就可以，需
要时可即时判断，但从解题速度考虑大家最好能记住以下结论：
二、四象限角．
(教师边叙述边板书)
(三)应用举例
要先求 sinθ，也要根据θ的范围来求．请同学们自己给出两种解法．
(四)总结
(五)练习
课本 P．224中练习 1、2、3、4．
五、作业
课本P．225中习题十六，1、2、3、4、5、6、7、8．
六、板书设计
第二课时 半角公式及应用
一、教与学的过程设计
(一)复习引入
师：上节课我们学习了半角公式，请同学们回忆半角公式(请一位同学板
书)．
生：(板书)
是我们还利用以上公式求半角的三角函数的值，今天我们继续学习半角公
式在其它方面的应用．
(二)新课
1°条件求值．
分析：本题已知条件是点α的正切值，求的是含 2α的三角函数的
又 ∵ 450°＜α＜540°，cosα＜0，
小结： i)条件 sinα±cosα= M时常平方．
ii)用求半角的三角函数也可以用方程的方法．
2°恒等证明．
师：从式子的繁简来看应选择从哪边证另一边？
生：左边比右边复杂，所以要选择从左边证向右边．
师：从角的形式来看，应往什么方向去证？
2α，所以应向角不断增大的方向去证．
师：请同学们自己证明．
生甲：(板书)
生：有利于计算．
师：所以我们要灵活地应用公式，不能生搬硬套，哪位同学的证法与甲同
学不同．
生乙：(板书)
师：这位同学对二倍角公式的证法简直达到惟妙惟肖的境地，大家考虑看
还有没有其它证法(启发学生从函数的名称出发去思考)．
生丙：把正切、余切化弦．
师：很好，但是大家别急着证题，我们先来考虑两个式子：
ctgα-tgα=2ctg2α．
大家尽量记住这两个式子，对于大家分析问题和计算、求值、化简都很有帮
助．
3．万能公式
师：请同学们比较课本P．223中页的证明与老师黑板上的证明，(待同学
看完后)大家不难发现两种证明都很妙．课本中的证明，巧妙地应用二倍角公式，
和同角三角函数中的平方关系，而老师黑板上的证明则利
对“数学是符号的魔术，是思维的体操”这句话有深刻的体会了吧！我们
把例4的三个式子
(三)练习
课本P．224练习 5、6．
(四)总结
本节我们学习了半角公式在条件求值，恒等证明中的应用，最后推导了万
能公式，大家应该关心以下事实i)注意公式中符号的选取；ii)注意公式的灵
活应用，iii)半角和倍角都是相对的．iv)要记住公式的结构特点．
二、作业
课本P．226中习题十六9、10、11、12、13、14．
三、板书设计
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