0 0 类别 : 教案

函数的奇偶性 教学目标 1．从形与数两个方面进行引导，使学生理解函数奇偶性的慨念． 2．通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗 透数形结合的数学思想方法． 3．培养学生从特殊到一般的概括能力． 教学重点与难点 函数奇偶性概念及函数奇偶性的判定． 教学过程设计 师：同学们，“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有 大量的反映．让我们看看下列各函数有什么共性？ （幻灯．翻折片．） 观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性（图1）． 生：函数f（x）=x2是定义域为全体实数的抛物线；函数f（x） 的两支曲线，各函数之间的共性为图象关于y轴对称． 师：那么究竟什么叫关于y轴对称？ 生：从初中所学的轴对称概念可知，如果图形F与F′关于y轴对称，那么 把图形F沿y轴折过来，一定与图形F′重合． 师：（幻灯演示）将f（x）=x2在y轴右侧的图象，沿y轴折过来，我们发 现它与左侧的图象重合了，这说明我们刚才的观察结果是正确的．既然图形是 由点组成的，那么，让我们在直角坐标系中，观察一对关于y轴对称的点的坐 标有什么关系？ （幻灯演示）我们在函数f（x）=x2位于y轴右侧的图象上任取一点 （x，f（x）），通过沿y轴对折找到其关于y轴的对称点（x′，f（x ′））．同学们由图象观察一下，这两个点的坐标有什么关系？ 生：x=-x′，f（x）=f（x′）．也就是说，当自变量任取定义域中的两个 相反数时，对应的函数值相等． 师：看来具备此种特征的函数还有很多，我们能不能用定义的形式对这类 函数做出刻划呢？ 生：如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f（-x）=f（x），那么函 数f（x）就叫做偶函数． （当学生的表述不完整，不准确时，教师可做适当的提示和补充．） 师：下面我们来分析一下这个定义．定义中“任意一个x∈D，都有f（- x）=f（x）成立”说明了什么？ 生：这说明f（-x）与f（x）都有意义，即-x，x同时属于定义域，因此偶 函数的定义域是关于原点对称的． 师：定义域关于原点对称是函数为偶函数的什么条件？ 生：定义域关于原点对称是函数为偶函数的必要条件． 师：那么定义的实质是什么呢？同学们能不能用自己的语言来表述一下偶 函数的定义． 生：当自变量任取两个互为相反数的值时，对应的函数值恰好相等． 师：下面我们看几个习题． （幻灯） 1．判断下列函数是否是偶函数． （1）f（x）=x2，x∈[-1，2]； 生：函数f（x）=x2，x∈[-1，2]不是偶函数．因为它的定义域关于原点不 对称． 1}，并不关于原点对称． （对于本题，学生很容易提取分子中的公因式x2，进而化简成f（x）=x2， 从而得出该函数是偶函数的错误结论．） （多重复合幻灯） 2．判断下列图象（图2）是否是偶函数的图象？ 师：首先，我们取几对相反数检验一下（复片1）．当自变量取±1这对相 反数时，对应的函数值f（1）与f（-1）恰好相等；当自变量取±3这对相反数 时，对应的函数值f（3）与f（-3）也恰好相等；当自变量取±4时，也得到了 相同的结果．类似的相反数还可以举出很多对．由此，是否就能判断该图象是 偶函数的图象呢？ （有的学生认为能判断，有的学生认为不能，当学生发表完 意见后，教师总结．） 师：当自变量取±2这对相反数时，我们观察到f（2）与f（-2）并不相等， 这就违背了偶函数定义中，自变量取值的任意性，即不能使函数定义域内的任 意一个x，都有f（-x）=f（x），所以该图象不是偶函数的图象． 同学们，让我们再来观察一组函数的图象，看看它们之间有什么共性？ （幻灯．旋转片） 观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性． 生：各函数之间的共性是它们的图象都关于原点对称． 师：那么究竟什么叫做关于原点对称呢？ 生：从初中所学的中心对称概念可知，所谓图形F与F′关于原点对称，就 是把图形F在它们所在平面上绕着原点旋转 180°，一定能与图形F′重合． 师：（幻灯演示）将f（x）=x3在第一象限内的图象，绕着原点旋转 180°，我们发现它与f（x）=x3在第三象限内的图象重合了．这说明我们刚才 的观察结果是正确的．那么一对关于原点对称的点的坐标又有什么关系呢？ 生：一对关于原点对称的点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相 反数．即：当自变量任取定义域中的两个相反数时，对应的函数值也互为相反 数． 师：我们能不能用定义的形式对这类函数做出刻划呢？ 生：如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么函 数f（x）就叫做奇函数． 师：定义中“任意一个x∈D，都有f（-x）=f（x）成立”说明了什么？ 生：这说明f（-x）与f（x）都有意义，即-x，x同时属于定义域，因此奇 函数的定义域是关于原点对称的． 师：由此可见，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．那么 这个定义的实质是什么呢？ 生：当自变量任取定义域内两个互为相反数的值时，对应的函数值也互为 相反数． 师：我们现在已接触过偶函数、奇函数、既不是奇函数也不是偶函数，既非 奇非偶的函数，那么有没有既是奇函数又是偶函数的函数呢？ 生：有．函数f（x）=0，x∈R就是一个． 师：那么这样的函数有多少个呢？ 生：只有函数f（x）=0，x∈R一个． 师：再想一想．函数的三要素是什么呢？ 生：函数的三要素是对应法则、定义域和值域． 师：对．可见三要素不同的函数就是不同的函数． 生：既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个．虽然解析式都为 f（x）=0，但取关于原点对称的不同的定义域，就可得到不同的函数，例如： f（x）=0，x∈[-3，-1]∪[1，3]；f（x）=0，x∈[-5，-2]∪[-2，-5]等等． 师：所以函数按奇偶性可分为四类：奇函数、偶函数、既奇且偶函数和非奇 非偶函数． 例 1 判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）=lg（4+x）+lg（4-x）； 分析：先验证函数定义域的对称性，再考察f（-x）是否等于f（x）或- f（x）． 解 （1）f（x）的定义域是{x|4+x＞0且4-x＞0}={x|-4＜x＜4}，它具 有对称性． 因为 f（-x）=lg（4-x）+lg（4+x）=f（x）， 所以 f（x）是偶函数，不是奇函数． （2）解法一：当x＞0时，-x＜0，于是 当x＜0时，-x＞0，于是 综上可知，在 R-∪R+上，g（x）是奇函数． 数 g（x）在 R-∪R+上是奇函数． 例 2 设 F（x）是定义在 R上的奇函数，且当x＞0时，F（x）的解析式是 ex，求 F（x）在 R上的表达式． 解 任取x∈（-∞，0），设 P（x，y）是函数F（x）图象上的一个点． 由于F（x）是奇函数，所以，其图象关于原点对称（图 5）．因此 P′（-x，- y）必然也是F（x）图象上的一个点．由于-x＞0，此时 P′（-x，-y）必满足 解析式y=ex，即 -y=e-x→y=-e-x． 上式就是点 P（x，y）的坐标满足的关系式，即x＜0时F（x）的解析式． 当x=0时，F（-0）=-F（0），即F（0）=0．所以奇函数 （今后遇到函数奇偶性这类的问题时，要善于选择恰当的方法，“定义 法”是基本方法．） 练习（幻灯） 判断下列函数的奇偶性，并说明理由． 1．f（x）=x2+3，x∈[-10，20]； 2．f（x）=x3+x，x∈[-2，2）； 3．f（x）=0，x∈[-6，-2]∪[2，6]； 5．f（x）=|x-2|+|x+2|； 6．f（x）=|x-2|-|x+2|； 7．f（x）=5； 生：1．f（x）=x2+3，x∈[-10，20]的定义域关于原点不对称，因此是非 奇非偶函数． 2．f（x）=x3+x，x∈[-2，2）的定义域关于原点也不对称，因此是非奇非 偶函数． 3．f（x）=0，x∈[-6，-2]∪[2，6]是既奇且偶函数．这是因为f（- x）=f（x）且 f（-x）=-f（x），定义域关于原点也对称，所以是既奇且偶函 数． 定义域关于原点也对称，所以是奇函数． 5．f（x）=|x-2|+|x+2|是偶函数．这是因为f（-x）=|-x-2|+|-x+2|=| x+2|+|x-2|=f（x），且 x∈R，所以是偶函数． 6．f（x）=|x-2|-|x+2|是奇函数．这是因为f（-x）=|-x-2|-|-x+2|=| x+2|-|x-2|=-（|x-2|-|x+2|）=-f（x），且 x∈R，所以是奇函数． 7．f（x）=5是偶函数．这是因为f（-x）=5=f（x），且 x∈R，所以是偶 函数． R，所以是奇函数． 师：函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质，注意要与函数的单调性 加以区分．我们在记忆奇函数与偶函数定义的基础上，还应加以理解，定义域 关于原点对称是函数有奇偶性的必要条件． 作业 课本 P52练习第 2题，P59习题五第8，9，10题．其中第 10题加一问“为 什么？” 补充题： 1．设f（x）在 R上是奇函数，当x＞0时，f（x）=x（1-x）．试问：当x ＜0时，f（x）的表达式是什么？ （解 当 x＜0时，-x＞0，所以 f（-x）=-x（1+x）．又因为f（x）是奇 函数，所以 f（x）=-f（-x）=-[-x（1+x）]=x（1+x）．＝ 2．若奇函数f（x）在[3，7]上是增函数且最小值为 5，那么f（x）在[- 7，-3]上是 [ ]． A．增函数且最小值为-5 B．增函数且最大值为-5 C．减函数且最小值为-5 D．减函数且最大值为-5 （答 B．） 课堂教学设计说明 我们可以根据定义来判断一个函数的奇偶性，也可以根据一个函数的图象 关于原点或 y轴对称的特征来判断它的奇偶性．反过来，我们若已知一个函数 的奇偶性，也可以推断它在整个定义域内的图象和性质．可见，在“函数的奇 偶性”这一节中，“数”与“形”有着密切的联系．所以，我没有一上来就给 出定义，而先给出一组图形，让学生们在观察中寻找它们的共性，目的是让学 生先有个直观上的认识．为了引导学生由图形的直观认识上升到数量关系的精 确描述，先提示学生图形是由点组成的，找出其间的关系后，再提示学生“具 备此种特征的函数还有很多，我们能不能用定义的形式对这类函数做出刻划 呢？”然后，引导学生表述定义，目的是为了培养学生从特殊到一般的概括能 力．最后，通过例题和练习进一步加深学生对定义的理解．