§4.4.2 同角三角函数关系的应用
教学目标
(一)知识目标
1.利用同角三角函数关系化简三角函数式.
2.利用同角三角函数关系证明三角恒等式.
(二)能力目标
1.熟练运用同角三角函数化简三角函数式.
2.活用同角三角函数关系证明三角恒等式.
3.明确化简结果的要求，掌握证明恒等的方法.
(三)德育目标
通过化简与证明，使学生提高三角恒等变形的能力，树立化归的思想方法.
●教学重点
三角函数式的化简，三角恒等式的证明.
●教学难点
同角三角函数关系的变用、活用.
●教学方法
讨论法
通过例题讨论及课堂练习，使学生初步掌握三角函数式化简的要求，三角恒等式证明
的方法，特别是通过恒等变形中关系式的活用，使学生应用知识及恒等变形的能力得到提
高，树立“奔目标”的思想观念.
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
师：上一节课，我们学习了同角三角函数的基本关系式，谁来把这个内容叙述一下：
生：sin2α＋cos2α＝1(平方关系)
tancos
sin (商数关系)
tanα·cotα＝1(倒数关系)
师：上述关系式成立的条件是什么?
生：公式成立的条件是使式子两边都有意义的同角.
师：好.上节课学习基本关系式之后，同学们谈出了这些关系式有三个方面的应用，并
且我们进行了求值问题的讨论，今天我们再继续来研究同角三角函数关系的应用(板书
课题).
Ⅱ.例题分析
［例4］化简 .440sin1 2
分析：化简就是将所给式子化得简单些并且尽可能简单些，尽量化成最简形式.转化的
过程实质上是一个恒等变形的过程.此题中含有根号、含有二次项，我们要设法化去根号，
降低次数.
解：原式＝
80cos80cos80sin1)80360(sin1 222
师：化简结果一般要求：
①函数种类少.
②式子项数少.
③项的次数低.
④尽量使分母或根号内不含三角函数式.
⑤尽可能求出数值(但不能查表)
以后我们学习的知识丰富了，化简的方法也就增加了，到那时，化简应从“角、名、形、
幂”四方面着手进行突破，逐步化简(为日后的学习打下此伏笔).
［例5］求证 x
x
x
x
cos
sin1
sin1
cos
分析：此例是恒等式的证明，与代数中所不同的是此为三角恒等式，但证明方法是一
致的，与代数中证明恒等式的方法是相同的.证明恒等的常用方法是：
①从左 右
②从右 左
由繁到简，“奔目标”，向目标靠拢.
③证左－右＝0
④证左、右两边都等于第三式
⑤分析法
证法一：由cosx≠0知 1＋sinx≠0，于是
左＝ x
x
x
xx
x
xx
xx
xx
cos
sin1
cos
)sin1(cos
sin1
)sin1(cos
)sin1)(sin1(
)sin1(cos
22
＝右，证毕.
证法二：由1－sinx≠0，cosx≠0于是
右＝ x
x
xx
x
xx
x
xx
xx
sin1
cos
)sin1(cos
cos
)sin1(cos
sin1
)sin1(cos
)sin1)(sin1( 22
＝左，证
毕.
证 法 三 ： 左 － 右 ＝
xx
xx
xx
xxx
x
x
x
x
cos)sin1(
)sin1(cos
cos)sin1(
)sin1)(sin1(cos
cos
sin1
sin1
cos 222
0cos)sin1(
coscos 22
xx
xx
∴ x
x
x
x
cos
sin1
sin1
cos
证法四：(分析法)
欲证 x
x
x
x
cos
sin1
sin1
cos
只须证cos2x＝（1＋sinx）（1－sinx）
只须证cos2x＝1－sin2x
只须证sin2x＋cos2x＝1
∵上式成立是显然的.
∴ x
x
x
x
cos
sin1
sin1
cos 成立.
分析法证题的思路是“执果索因”：从结论出发，逐步逆推，推出一个真命题或者推
出的与已知一致，从而肯定原式成立.要注意论证格式.
此题的左右两边都比较简单，没有必要用左、右两式等于第三式来证.
由繁到简，“奔目标”，向目标靠
拢 .
课本上的证法二与分析法的实质是相同的，不过是改用综合法写出了证明过程.
Ⅲ.课堂练习
课本 P27练习5、6.
(对于5题的②小题，学生可能不知该如何下手，教师可作必要的提示：用平方关系进
行“1”的代换).
Ⅳ.课时小结
本节课我们讨论了同角三角函数关系式的两个方面的应用：化简与证明，与同学们讨
论了化简的一般要求，证明恒等的常用方法，对于化简与证明另外还应注意两种技巧：一
种是“切化弦”，一种是“1”的代换，“1”的代换不要仅限于平方关系的代换，还要注
意倒数关系的代换，究竟用哪一种，要由具体问题来决定.
Ⅴ.课后作业
一、课本 P28习题4.4 5、6、7、8、9.
二、1.预习课本 P28正弦、余弦的诱导公式至P30例3结束.
2.预习提纲
(1)设点 P（x，ｙ）是平面直角坐标系内任意一点.则它关于x轴、ｙ轴、原点 O对称的
点的坐标分别是什么?
(2)若角α是任意角，那么180°＋α还是不是任意角?－α是不是任意角?
(3)你能根据公式二、三，推导出180°＋α，－α的正切、余切的诱导公式吗?
●板书设计
平方关系 例 5 练习
商数关系 证明恒等式的常用方法：
倒数关系 ①…
例4 ②…
③…
④… 小结
⑤… 化简与证明常用的
两种技巧：
①…
化简结果要求： ②…
①…
②…
③…
④…
⑤…
●备课资料
《高中数学的内容、方法与技巧》
《高中数学辅导》
思考题：
1.化简下列各题
(1) sin1
2
sin1
2
(2)
cossin
cossin21
(θ为第二象限的角)
(3)sin2αtanα＋cos2αcotα＋2sinαcosα
(4)
cossin1
cossin2cossin1
解：(1)原式＝ |cos|
2
cos
4
sin1
4
)sin1)(sin1(
)sin1(2)sin1(2
22
]([2
(cos
2
0(cos
2
Zkk
(2)原式＝
cossin
|cossin|
cossin
)cos(sin
cossin
coscossin2sin 222
∵θ为第二象限的角
∴sinθ＞0＞cosθ
∴sinθ－cosθ＞0
故原式＝1.
(3)原式＝
cossin2sin
cos
cos
sincossin2sin
coscoscos
sinsin
33
22
=
cscseccossin
1
cossin
)cos(sin
cossin
cossin2cossin 2222244
(4) 原 式
cossin1
cossin)cos(sin
cossin1
cossin2cossincossin 222
cossincossin1
)cossin1)(cos(sin
2.证明下列各题：
(1)1＋tan2α＝sec2α
(2)cot2α＋1＝csc2α
(3)
sin1
cos
1sectan
1sectan
(4)已知 11
6
sin3cos5
cos2sin4
，求证
2lgseclg)3232(log 22
证明：(1)左＝
2
22
22
2
2
seccos
1
cos
sincos
cos
sin1 ＝右，证毕.
Ⅰ、Ⅳ象限）
Ⅱ、Ⅲ象限）
(2)左＝
2
22
22
2
2
cscsin
1
sin
sincos1sin
cos ＝右，证毕.
注意：此两题也是同角三角函数关系中的平方关系.
(3) 左 ＝
)tan)(sectan(secsectan
1sectan
)tan(secsectan
1sectan
22
2
sin1
cos
cos
1
cos
sin
1
sectan
1
)tansec1)(sec(tan
1sectan
＝右，证毕
(4)由已知，cosθ≠0
∴ 11
6
tan35
2tan4
44tanθ－22＝30＋18tanθ
26tanθ＝52
∴tanθ＝2
又
)2
)13(
2
)13((log)2
324
2
324(log)3232(log
22
222
12log)]1313(2
1[log 22
∴欲证原式成立，则须证 lgsec2θ＋lg2＝1.
∵lgsec2θ＋lg2＝lg（tan2θ＋1）＋lg2＝lg（4＋1）＋lg2＝lg5＋lg2＝lg10＝1，
∴原式成立
注意：本题已知中的式子的特点是分子、分母都是关于sinθ、cosθ的同次齐次式，对
于这类形式的表达式的求值、化简、证明都可采用分子、分母同除以sinθ或cosθ的同次幂
的方法，转化为 tanθ或cotθ的表达式来处理，有些形式上不是同次齐次式，但可转化
为关于sinθ、cosθ的同次齐次式的，也可以用此方法.
●教学后记
/3
