0 0 类别 : 教案

等比数列前 n 项和的公式 教学目标 1．掌握求等比数列前n项和的公式及其推导过程，培养学生创造性的思维． 2．初步掌握公式的应用，培养学生的解题能力． 教学重点与难点 等比数列前n项和公式的推导 教学过程设计 （复习一下旧知识，为下面推导出前n项和公式作准备，并提供了类比） 师：今天我们研究已知等比数列的首项a1，公比q，项数n（或n项an）， 求它的前n项和Sn的计算公式． （给足够的时间鼓励学生对问题自由思考，积极解决） 生：能不能像推导等比数列通项公式的方法，列出一些等式，然后迭乘或 迭加？ 师：可以试试． 生：a1=a1， a2=a1q， a3=a2q， …… an-1=an-2q， an=an-1q． 将上面n个等式的等号两边分别相加，得 a1+a2+a3+…+an-1+an=a1q+a2q+…+an-2q+an-1q 等号左边就是Sn，右边是…… （诱导一下） 师：可将右边适当变形，再观察它与Sn的关系，注意上式对n≥2时成立． 生：Sn=a1+q（a1+a2+…+an-2+an-1） 师：等号右边括号里是数列{an}若干项的和，可以用什么符号来表示？与 Sn的关系又是什么？ （及时点拔，可加深学生对符号Sn的理解，最后一个问题也是推导公式的 关键一步） 生：等号右边的括号里就是Sn-1，上面等式可以写成 Sn=a1+qSn-1=a1+q（Sn-an）． 以下只需解出Sn即可． （“方程”在中学代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛 的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使问题得 到解决） 师：（纠错）能否在等号两端同除（1-q）？ 生：应分q=1和 q≠1讨论． （分类讨论也是重要的数学思想方法） 师：因为S1=a1，所以此式对n=1也成立．（帮助学生完善证明过程） 生：当q=1时，数列{an}为常数列a1，a1，…，Sn=na1 （及时归纳小结） 师：我们根据等比数列的定义，用迭加的方法推导出了等比数列{an}的前n 项和公式 （板书） 如果已知a1，n，q，则当q≠1时，Sn的公式是什么？ （学生演算、口答，教师板书） 生：将an=a1qn-1代入，得 生：老师，我还有一种证法． 师：你是如何证明的？（学生口述，教师板书．） 当q=1时，Sn=na1． 师：非常好！这位同学围绕等比数列的基本概念，从等比数列的定义出发， 运用等比定理，导出了公式． （公式虽已导出，还可以再引导学生把思维发散开） 师：还有没有其他的推导方法？ （板书） Sn=a1+a2+…+an-1+an=a1+a1q+…+a1qn-2+a1qn-1． 观察等号右端，若每一项乘以公比q，就得到它后面相邻的一项，能否设 法消去一些项？同学们可以讨论一下． 生：（学生口述，教师板书） 在等号两边乘以q，得 qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn． 将两式的两端分别相减，就可消去这些共同项， （1-q）Sn=a1-a1qn．得到前面的求和公式． 师：这种求和方法也很重要，由于设法消去了一些中间项，使带有省略号 的含任意有限项的式子变成仅含有几项的式子，从而使问题得到解决． （用这种方法求和，对培养学生的观察、分析能力是有好处的） 这种求和方法称为“错位相减法”，是研究数列求和的一个重要方法． （板书） （这种求和的思路在解决某些求和问题时经常用到，应使学生掌握） （以上三种推导方法，可以看出利用“发散思维”进行教学，引导学生从 多条途径，用多种方法推导公式，从而培养学生的创造性思维） 师：在求等比数列（q≠1）的前n项和时，如果已知首项a1，公 师：与等差数列相似，等比数列的前n项和公式（1）和（2），及通项公 式an=a1qn-1，其中涉及a1，q，n，an和Sn这五个量，而它们又通过通项公式及 前n项和的公式联系着，因此只要已知其中的任何三个量，即可得到以其余两 个量为未知数的方程组，从而可以求出其余两个量． （类比的方法是认识事物的重要方法，提示学生在学习过程中，注意用类 比的方法记忆知识、解决问题） 师：下面举例说明公式（1）、（2）的一些应用． （利用投影片投影出例题） 例 1 口答下列各题： （2）已知等比数列{an}中，a1=2，q=3．求S3； （3）请利用第（2）题的数据，自己编题，改为a1或求q，并求解． （自己拟题能巩固和深化所学的知识） 生：（口答） （3）生甲：已知：q=3，S3=26．求a1． 生乙：已知：a1=2，S3=26．求q． 师：这一题是利用Sn求q，为什么可以用公式（2）？ 生：因为a1=2，若q=1，则S3=6，而已知S3=26，故 q≠1．所以可以选用公 式（2）． （这一追问为下一题做了铺垫） 例 2 已知{an}为等比数列，且 Sn=a，S2n=b，（ab≠0），求S3n． 师：要求S3n，需知a1，q，而已知条件为Sn和S2n．能否进一步挖掘题目的 条件，使已知和未知沟通起来？ 以下再化简即可． 师：这位同学处理问题很巧妙．他没有分别求得a1与q的值，而改 生乙：我认为第①式就有问题，他附加了条件 q≠1．而对q=1情况没有考 虑． 师：对！使用等比数列前n项和公式时，要特别注意适用条件，即 q=1时，Sn=na1； （含字母已知数的等比数列求和题目，学生常忽略 q=1情况，要引起足够 重视，以培养学生思维的严密性） （学生演算习题，教师投影出正确答案） 解：设数列的公比为q．若q=1（此时数列为常数列），则Sn=na1=a， 若q≠1（即2a≠b）， 由已知 ① ② ③ 师：（小结）这节课我们从已有的知识出发，用多种方法（迭加法、运用等 比性质、错位相减法）推导出了等比数列的前n项和公式，并在应用中加深了对 公式的认识． 如已知a1，n，q，则选择 已知a1，q，an，则选择 对含字母的题目一般要分别考虑 q=1和 q≠1两种情况，不能附加 从a1，q，n，an，Sn五个量中，知道任意三个，可求其余两个． 布置作业 1．在等比数列{an}中，a1=1，an=-512，Sn=-341，求公比q和项数n． （q=-2，n=10） 2．在等比数列{an}中，（1）已知n，q，an，求a1与Sn；（2）已知 n，q，Sn．求a1与an．（（1）a1=anq1-n．若q=1，Sn=na； 3．求和： ① ② ①-②得 （2）Sn=x+3x2+5x3+…+（2n-1）xn， ① xSn=x2+3x3+5x4+…+（2n-1）xn+1． ② ①-②得 （1-x）Sn=x+2（x2+x3+…+xn）-（2n-1）xn+1． 则当 x≠1时， 当 x=1时，Sn=n2） 课堂教学设计说明 本课知识与前面的知识——等差数列求和公式，教学内容联系紧密，只要 学生掌握好旧知识，再经过分析、综合、归纳、推理，就能导出所学内容．采用这 种教学方法，学生学习积极性高，因而教学效率高、效果好，同时，对完善学生 的认知过程，提高他们分析问题、解决问题的能力大有裨益． 本节课教学过程可概括如下： （1）复习旧知识，引出新课题； （2）推导公式，弄清条件，认识新知识； （3）运用公式，巩固新知识； （4）小结，布置作业． 对全课作了如此设计，主要基于以下几点： （1）对公式的教学，要充分揭示公式之间的内在联系，掌握与理解公式的 来龙去脉，掌握公式的导出方法，理解公式的成立条件．也就是让学生对本课 要学习的新知识有一个清晰的、完整的认识、忽视公式的推导和条件，直接记忆 公式的结论是降低教学要求，违背教学规律的做法． （2）本课采用启发引导，讲练结合的教学方法，既发挥了教师的主导作用， 又体现了学生的主体地位，学生获取知识必须通过学生自己的一系列思维活动 来完成，课堂上教师的作用主要在于给学生设计好符合他们学习心理过程的学 习程序，通过设疑、暗示、课堂讨论、自编习题等多种教学形式和方法，启发诱导 学生，激发学生的学习兴趣，使他们自始至终处于一种积极进取的兴奋状态， 使他们通过在教师引导下的独立活动，自然而有效地获取知识、技能和技巧．同 时在数学教学的实践活动中形成、发展学生的数学能力．