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义务教育课程标准实验教科书《数学》五年级下册培训提纲 整体内容分布： （一）数与代数 （三）统计与概率 1．因数与倍数 统计 2．分数的意义和性质 （四）数学思想方法 3．分数的加法和减法 数学广角――找次品 （二）空间与图形 （五）综合应用 1．图形的变换 1．粉刷围墙 2．长方体和正方体 2．打电话 第一单元 图形的变换 1、 教学内容 轴对称 旋转 欣赏设计 数学游戏 2、 教学目标 1. 使学生进一步认识图形的轴对称，探索图形成轴对称的特征和性质，并能在方格纸上画出一 个图形的轴对称图形。 2. 进一步认识图形的旋转, 探索图形旋转的特征和性质，能在方格纸上把简单图形旋转90º。 3. 使学生初步学会运用对称、平移和旋转的方法在方格纸上设计图案,进一步增强空间观念。 4. 让学生在上述活动中，欣赏图形变换所创造出的美,进一步感受对称、平移和旋转在生活中的 应用，体会数学的价值。 三、编排特点 1. 重视学生已有的知识基础，探索两个图形成轴对称的特征和性质。 在二年级学生已经认识了日常生活中的对称现象，有了轴对称图形的概念，并能画出一个轴对 称图形的对称轴和它的另一半,这里是进一步认识两个图形成轴对称的概念，探索图形成轴对称的特 征和性质，并学习在方格纸上画出一个图形的轴对称图形。本单元教材先设计了画对称轴，观察轴对 称图形的特征和画出一个轴对称图形的另一半的活动,加深对轴对称图形特征的认识，从而让学生在 已有的知识基础上探索新知识。 2. 注重联系生活实际，让学生在具体情境中认识图形的旋转。 本单元联系具体情境,让学生观察钟表的表针和风车旋转的过程,分别认识这些实物怎样按照顺 时针和逆时针方向旋转，明确旋转的含义，探索图形的旋转的特征和性质,再让学生学会在方格纸上 把简单图形旋转90º。 3.通过大量的活动，帮助学生理解图形的对称和旋转变换，增强空间观念。 本单元不仅设计了看一看、画一画、剪一剪等操作活动，而且注意设计需要学生进行想像、猜测和 推理进行探究的活动，培养学生的空间想像力和思维能力。例如，让学生判断几个图案分别是由哪种 方法剪出来的。这就要求学生要根据图案的特征，不断在头脑中对这个图案进行“折叠”，并将最后 的结果与下面的剪法对应起来。而且还让学生思考“还有什么剪法”，从而使学生的空间想像力和思 1 维能力得到充分的锻炼。 四、具体编排 共安排4个例题。 标　题 例题安排 轴对称 例1 轴对称的特征 例2 画轴对称图形 旋转 例3 旋转的特征 例4 把一个图形旋转90度 轴对称 主题图 编排思想：  联系生活实际，引出图形的变换。  从古至今，感受数学的应用价值、文化价值和美学价值。 教学建议：  引导学生从图案本身观察其数学特征。  引导学生从历史的角度观察，感受数学的应用价值、文化价值和美学价值。  例1 　　编排意图：  复习轴对称图形有关知识。  分别观察松树和小草，再整体认识轴对称。体会轴对称图形不仅仅是把一个图形平均分成两 半。  通过数一数对应点到对称轴的距离，概括轴对称的性质：对应点到对称轴的距离相等，对 应点连线垂直于对称轴。从而使学生对轴对称的认识从经验上升到理论。 教学建议：  在已有知识和经验基础上教学。  注意从经验上升到理论。  抓住“相等、垂直”特征，在知识、语言等方面勿拔高要求。 例2 编排意图  在已经掌握画简单图形的轴对称图形和轴对称图形的性质的基础上画一个图形的轴对称图 形。  提示学生思考画的步骤和方法。 教学建议：  让学生独立画。  对有困难的学生提示：先画几个关键的对称点，再连线。  全班汇报交流画的步骤和方法，尤其是窗户的的画法。  教师归纳总结画法。 做一做 教材让学生判断把一张纸连续对折三次，画上一个图形，剪出的是什么图案。在这个活动中，要 2 让学生进行空间想像，进一步体会轴对称变换的特点。如果学生想像对折四次后剪出的图案有困难， 教师可以让学生按书上的方法实际折一折、剪一剪，帮助学生进行想象。 旋转 例3 编写意图：  复习旋转有关知识。  线段的旋转：从指针的变换方向、长度和角度，三个方面把握线段旋转变换的特征。  图形的旋转：从点、线段、图形的角度观察风车：对应点与原点O连线组成的角有没有变化， 对应点与原点连线的长度有没有变化。从而使学生对旋转变换的认识从经验上升到理论。 教学建议  在已有知识和经验基础上教学。  注意从经验上升到理论。  抓住“旋转方向、长度、角度”三个特征，在知识、语言等方面勿拔高要求。 例4 编写意图：  把一个图形旋转90度。  从三角形的旋转方向、边的长度和角度三个方面，思考如何把三角形顺时针旋转90度。  把图形的旋转分解为顶点与点O连线的旋转，先把OA旋转90度；再把OB旋转90度，连结 AB便可。 教学建议：  在已有知识和经验基础上教学。  可让学生合作学习。  教师归纳总结方法：抓住“旋转方向、长度、角度”三个特征，把图形的旋转分解为线段的旋 转（只须顶点与点O的连线），在知识、语言等方面勿拔高要求。 做一做 编写意图：  １.根据旋转变换的性质判断，进一步体会旋转的特征。  ２.利用旋转设计图案。  体会利用旋转变换进行设计图案带来的美感。 教学建议：  放手让学生独立画，再全班汇报交流。  教师小结，结合生活中的数学介绍旋转变换在生活中的应用。 欣赏设计 编写意图：  结合主题图中的图案，让学生体会图形变换在生活中的应用，利用图形变换进行设计图案 带来的美感，数学的价值。  利用图形变换设计图案。 教学建议：  可再准备一些漂亮的图案，包括多种变换的图案。让学生分析、交流变换的性质和应用。  可放手让学生独立设计，再进行交流。  体现开放性和弹性。  教师小结时对科学性问题要纠正，同时以表扬为主。 练习一 3 第1题，让学生利用轴对称设计美丽的图案。 作简单图形的轴对称图形的方法，可以放手让学生设计，再进行交流。在设计图案的过程中，要 让学生在动手实践中进一步理解图形成轴对称的性质，体会轴对称变换的特点。 第2题，教科书呈现了几个剪好的图案，让学生判断分别是由哪种方法剪出来的，进一步培养学 生的空间想像力和思维能力。 学生要根据图案的特征，不断在头脑中对这个图案进行“折叠”“重合”，再将最后的结果与 下面的剪法对应起来，而且还让学生思考“还有什么剪法”。这个活动比“判断两个图形是不是成轴 对称”所要求的想象、猜测和推理等思维活动更多，在这个活动中学生的空间想像力和思维能力能够 得以锻炼，空间观念会得到发展。 如果学生有困难，教师可以调整题目的设计，反过来，让学生根据剪法，选择剪出的结果。学生 根据每一种剪法，在头脑中将彩纸展开，对“半棵小芽”这个图案连续做轴对称变换，得出结果， 再与上面剪出的图案对照。如果学生还有困难，教师可以让学生按书上的方法实际剪一剪，再帮助学 生进行想象。 第3题，是让学生综合运用所学的有关对称、平移和旋转变换的知识进行判断。注意让学生感受数 学的美，体会图形变换在现实生活中的应用。 第4题，可仿照第6页“做一做”第2题进行教学。但有一点不同，在本题中没有给出各个图形的 旋转中心，教师可以提示学生根据所设计图案的需要自己确定。 第5题，可仿照第4页的做一做和第2题进行教学。 第6题，让学生通过实验发现另一类图形“旋转对称图形”的特点。这些图形绕它们的中心旋转 一定的角度，还与原来图形重合。这里不必让学生了解“旋转对称图形”这个概念，只要学生能用自 己的语言描述出图形的这一特征就可以了。 设计镶嵌图案 编写意图:  在四年级学习了图形的密铺（镶嵌）基础上，拓展镶嵌图形的范围，让学生进一步体会图 形变换在生活中的应用，利用图形变换进行设计图案带来的美感，数学的价值。  利用图形变换设计镶嵌图案。 教学建议:  引导学生分析交流丰富多彩的镶嵌图案，不管运用了什么变换，其本质都可归结为把镶嵌 图案内的基本几何图形进行再分割。  可放手让学生独立设计，再进行交流。  体现开放性和弹性。  教师小结时对科学性问题要纠正，同时以表扬为主。 五、教学建议 1．注意让学生真正地、充分地进行活动和探究。 由于本单元知识是在学生已有的关于对称和旋转的知识基础上，并结合学生熟悉的生活情境进 行安排的，学生完全可以通过观察、想像、分析和推理等过程，独立探究出来。因此，教师要切实组织 好学生的课堂活动，为学生创造进行探究的时间和空间。不要让教师的演示或少数学生的活动和回答 代替每一位学生的亲自动手、亲自体验和独立思考。这样学生的空间想像力和思维能力才能得以锻炼， 空间观念才能得到发展。 2．恰当把握教学目标。 这一部分内容教学需要特殊注意的是，我们不要求学生说出准确的数学语言，只要学生能用自 己的语言描述出他发现的特征和性质就可以了。 例如，两个图形成轴对称的数学概念是“如果平面到其自身的一一变换的每对对应点A 、A´，都 4 垂直于同一直线l,且被直线l 平分，则这种变换叫做关于直线l 的轴对称。直线l 叫做对称轴，对应 点A 和A´叫做关于轴l的对称点，在直线反射下的对应图形A 、A´叫做关于轴l 的对称图形。”在初中 数学中，概括成“把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两 个图形关于这条直线对称，这条直线叫对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。”在小学阶 段，我们不要求学生说得这么准确，只要学生能用自己的语言把“折叠”“重合”这些基本特征概 括出来就可以。 图形成轴对称的基本性质，在初中数学中概括成“如果两个图形关于某条直线对称，那么对称 轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。”我们不要求学生概括出这样的结论，只要学生能像书 上的学生那样直观描述就可以了，使学生知道“对应点到对称轴的距离相等”。 再如，旋转的概念是“如果平面到其自身的一一变换，使任意一对对应点A 、A´与平面上一个 定点O 距离相等，∠AOA´等于指定的有向角α，而O 和自身对应，则这样的变换叫做关于点O的 旋转。定点O 叫做旋转中心，定角α叫做旋转角，相同的指定方向叫做旋转方向。”在初中数学中 概括成“把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转。点O 叫做旋转中心，转动 的角叫做旋转角，如果图形上的点P 经过旋转变为点P´ ，那么这两个点叫做这个旋转的对应 点 。”在小学阶段，我们不要求学生这样说，只要学生能概括出“绕一个点旋转”“向什么方向旋 转”“转动多少度”这几点就可以了。像“旋转中心”“旋转角”这些名词也不必要求学生掌握。 3.注意知识的科学性。 这部分知识虽然不要求用精确的语言描述变换的特征，但也要注意知识的科学性，避免学生在 操作和画图时出现不规范的情况。 第二单元　因数和倍数 一、教学内容 1．因数和倍数 2. 2、5、3的倍数的特征 3．质数和合数 二、教学目标 1．使学生掌握因数、倍数、质数、合数等概念，知道有关概念之间的联系和区别。 2．使学生通过自主探索，掌握 2、5、3的倍数的特征。 3．逐步培养学生的数学抽象能力。 三、编排特点 1．精简概念，减轻学生记忆负担。 三方面的调整： A．不再出现“整除”概念，直接从乘法算式引出因数和倍数的概念。 B．不再正式教学“分解质因数”，只作为阅读性材料进行介绍。 C．公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数移至“分数的意义和性质”单元，作为约分和通分 的知识基础，更突出其应用性。 2．注意体现数学的抽象性。 数论知识本身具有抽象性。学生到了高年级也应注意培养其抽象思维。 四、具体编排 5 1．因数和倍数 因数和倍数的概念 过去：用b ÷a＝n表示b 能被a整除，b ÷n＝a表示b 能被n整除。 现在：用na＝b 直接引出因数和倍数的概念。 （1）用2×6＝12给出因数和倍数的概念。 （2）用3×4＝12进一步巩固上述概念。 （3）让学生利用因数和倍数的概念自主发现12的其他因数。 （4）可引导学生利用一般的乘法算式a ×b =c归纳出因数和倍数的概念。 （5）说明本单元的研究范围。 注意以下几点： （1）虽然不出现“整除”一词，但本质上仍是以整除为基础，因此，乘法算式中的乘数和积都 必须是整数。 （2）因数和倍数是一对相互依存的概念，不能单独存在。 （3）注意区分乘法各部分名称中的“因数”和本单元中的“因数”的联系和区别。 （4）注意区分“倍数”与前面学过的“倍”的联系与区别。 例 1（一个数的因数的求法） （1）可用不同的方法求出 18的因数（列出积是 18的乘法算式或列出被除数是 18的除法算式）， 但应引导学生有序思考。 （2）用集合圈表示因数，为后面求两个数的公因数作铺垫。 一个数的因数的特点 （1）最大因数是其自身，最小因数是 1。 （2）因数个数有限。 （3）此结论通过例 1和“做一做”中的特例通过不完全归纳法得出，体现了从具体到一般的思 路。 例 2（一个数的倍数的求法） （1）求法：用该数乘任一非 0自然数所得的积都是该数的倍数。 （2）用集合圈表示倍数，为后面求两个数的公倍数作铺垫。 做一做 与例 1结合起来，提供了 2、3、5的倍数，为后面探讨 2、3、5倍数的特征作准备。 一个数的倍数的特点 （1）最小倍数是其自身，没有最大的倍数。 （2）因数个数无限。 （3）此结论通过例 1和“做一做”中的特例通过不完全归纳法得出，体现了从具体到一般的思 路。 2．2、5、3的倍数的特征 因为 2、5的倍数的特征在个位数上就体现出来了，而 3的倍数涉及到各数位上的数字之和，较 为复杂，因此后安排 3的倍数的特征。本部分内容对于熟练掌握约分、通分、分数的四则运算有很重要 的作用。 6 2的倍数的特征 （1）从生活情境“双号”引入。 （2）观察 2的倍数的个位数，总结出 2的倍数的特征。 （3）介绍奇数和偶数的概念。 （4）可让学生随意找一些数进行验证，但不要求严格的证明。 5的倍数的特征 （1）编排方式与 2的倍数的特征类似。 （2）可进一步总结既是 2的倍数又是 5的倍数的特征，即 10的倍数的特征。 3的倍数的特征 （1）强调自主探索，让学生经历观察――猜想――推翻猜想――再观察――再猜想――验证的 过程。 （2）可任意选择一个数，用正面、反面的例子对结论进一步验证。 （3）也可对任一 3的倍数的各位数调换位置，更深刻地理解 3的倍数的特征。 3．质数和合数 质数和合数的概念 （1）根据 20以内各数的因数个数把数分成三类：1、质数、合数。 （2）可任出一个数，让学生根据概念判断其为质数还是合数。 例 1（找 100以内的质数） （1）方法多样。可以根据质数的概念逐个判断，也可用筛法。 （2）把握教学要求：知道 100以内的质数，熟悉 20以内的质数。 五、教学建议 1．加强对概念间相互关系的梳理，引导学生从本质上理解概念，避免死记硬背。 从因数和倍数的含义去理解其他的相关概念。 2．要注意培养学生的抽象思维能力。 第三单元　长方体和正方体 一、教学内容 本单元分三小节：长方体和正方体的认识，长方体和正方体的表面积，长方体和正方体的体积。 在体积一节中，还介绍了容积的概念，并根据课程标准的要求，增加了探索某些实物体积的测量方 法。以上内容具体安排如下： 1．长方体和正方体的认 识 长方体、正方体的特征 长方体、正方体的关系 2.长方体和正方体的表面 积 表面积 表面积计算 3．长方体和正方体的体 积 体积和体积单位 体积计算公式 体积单位间的进率 容积和容积单位 7 二、教学目标 1．通过观察和操作，认识长方体和正方体的特征以及它们的展开图。 2．通过实例，了解体积（包括容积）的意义及度量单位（立方米、立方分米、立方厘米、升、毫 升），会进行单位之间的换算，感受 1m3、1dm3、1cm3以及 1L、1ml的实际意义。 3．结合具体情境，探索并掌握长方体和正方体的体积和表面积的计算方法，并能运用所学知识 解决一些简单的实际问题。 4．探索某些实物体积的测量方法。 三、编写特点 1．注意联系生活实际。 （1）结合学生熟悉的事物认识图形和概念。 （2）注意用所学的知识解决实际问题。 （3）选取具有鲜明时代特征的素材。 2．更加重视对概念的理解。 先通过 “乌鸦喝水”的故事，以形象生动的方式，让学生初步感知物体占有空间。然后通过把 石头放入有水的玻璃杯里的实验，让学生进一步体验物体确实占有空间，为引出体积概念做充分的 感知准备。计算不规则物体的体积，让学生利用已建立的体积概念想到可以用排水法求得不规则物体 的体积，加深对体积概念的认识。 3．加强动手实践、自主探索，让学生经历知识的形成过程。 本单元一些概念和计算方法都是通过学生动手操作、自主探索来学习的。如，长方体体积的计算 方法，先让学生用 1cm3的正方体拼摆出不同的长方体，通过对这些长方体的相关数据的观察、分析 和归纳，自己发现长方体的体积与它的长、宽、高之间的内在关系，从而总结出长方体体积的计算公 式。 4．对一些内容进行了调整。 不再安排对体积和表面积进行对比的例题。 四、具体编排 1．长方体和正方体的认识 ※ 教材的变化： （1）长方体、正方体的引出，直接从实物中抽象出相应的图形，不再从与平面图形的对比中引 出。 （2）直观地、直接地给出长方体的面、棱、顶点的概念。 （3）突出了学生自主探索的学习方式，让学生通过动手操作、自主探索来学习的。。 主题图 呈现了一些长方体或正方体形状的建筑物和生活用品，从中抽象出长方体和正方体的图形，让 学生感受到生活中的很多物品的形状都是长方体和正方体的。 认识长方体 例 1、例 2 教材先给出长方体的面、棱、顶点的概念。 例 1，研究长方体的特征。展示了小组同学对长方体的物品观察操作、填表交流、讨论总结，逐步 概括出长方体特征的学习过程。这里只是说明长方体的特征，不是下定义。 例 2，研究长方体棱的特点。展示了学生小组合作制作一个长方体框架，探索长方体的 12条棱之 8 间的关系，引出长方体的长、宽、高的概念。 教学建议： （1）加强直观演示和操作。让每个学生准备一个长方体实物。（2）教师适当引导。如在观察长方 体的面时，可让学生按照前、后、上、下、左、右的顺序数；在观察每个面的形状时，可提问：“有没有 完全相同的面？”做长方体框架时，可启发：要做成一个长方体框架，细木条要满足什么条件？ 认识正方体 ※教材通过让学生观察正方体物品，抽象概括出正方体的特征，指出正方体是由 6个完全相同 的正方形围成的立体图形。 ※比较长方体和正方体的相同点和不同点，说明正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体， 并用集合图表示它们的关系。比较时，可以按照面、棱、顶点的次序进行，教师整理后，利用集合图说 明长方体和正方体的关系。 练习五 第 4题，是一个长方体框架直观图，让学生通过观察，发现长方体棱之间的关系。如，各组棱相 互平行；与其中一条棱垂直的几条棱相互平行等，以加深对长方体的认识。 第 9*题，答案是：A→C，D→I，E→F。 2．长方体和正方体的表面积 表面积 教材加强了独立探索、动手操作，使学生更好地建立表面积的概念。让学生在展开后的图形中， 分别用“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”标明 6个面。使学生把展开后每个面与展开前 这个面的位置联系起来，更清楚地看出长方体相对的面的面积相等，每个面的长和宽与长方体的长、 宽、高之间的关系。 表面积的计算 例 1 教学长方体和正方体表面积的计算方法。为了培养学生能够根据具体条件和要求，确定不同的面 的面积怎样算，教材中没有总结长方体表面积的计算公式，体现解决问题策略的多样性和开放性。 例 2 教学正方体表面积的计算方法。启发学生自己根据正方体的特征，想出计算方法。 ※无需算出长方体 6个面的总面积的情况，在第 34、35页的“做一做”里加以说明。 练习六 第 2题，判断哪些展开图可以折成正方体，培养学生的空间想像力，加深对正方体的认识。教师 可以给一些方法上的指导。如，让学生先确定一个面做下底面，写上“下”，然后想像折叠的过程， 折叠一面确定出它是哪面，就在此面标上相应的文字，如确定是右面，就在此面标上“右”。最后如 果能不重不漏的在六个面上分别标上“上”、“下”“前”“后”“左”“右”，那么这个展示图就 能折成正方体，否则就不能。其中只有第 4个图不能折成正方体。如果想像判断有困难，可以让学生 在纸上画出这些展开图，再剪下来，动手折一折。 第 9题，是计算组合图形的表面积问题。注意提示学生：两个图形重叠部分的面积不能算在表面 积里。 第 10*题，把一个长方体从中间截断，分成两个正方体，让学生分别计算出长方体和两个正方体 的表面积，再比较它们的表面积，看有什么变化。通过比较，学生会了解到： 截完后，增加了两个 截面，所以 2个正方体的表面积和大于原来的长方体。 第 11*题，主要是考察学生的观察能力和空间想象能力。①没有涂到颜色的小正方体只有中间层 的中间的 1个；②一面涂色的小正方体共有 6个，即大正方体 6个面上最中间的小正方体；③两面涂 9 色的小正方体有 12个；④三面涂色的小正方体比较好找，就是大正方体 8个角上的小正方体，共有 8个。 3．长方体和正方体的体积 体积和体积单位 ※ 教材的变化： （1）加强了对体积概念的认识。通过学生更熟悉、更直观的“乌鸦喝水”的故事和石头放入盛水 的杯子里的实验等，生动形象地为学生感知、体会物体占有空间，理解体积概念提供丰富的感性经验。 （2）加强动手实践、自主探索，让学生经历知识的形成过程。如，体积单位的教学，通过比较两 个不容易看出大小的长方体的体积，让学生由比较物体的长度有统一的长度单位，比较物体的面积 有统一的面积单位，想到比较物体的体积应有统一的体积单位，从而引出体积单位。又如，长方体体 积的计算方法，先让学生用 1cm3的正方体拼摆出不同的长方体，通过对这些长方体的相关数据的观 察、分析和归纳，自己发现长方体的体积与它的长、宽、高之间的内在关系，从而总结出长方体体积的 计算公式。 体积 体积对学生来说是一个新概念。由认识平面图形到认识立体图形，是学生空间观念的一次发展。 教材加强了对体积概念的认识。教材通过学生更熟悉、更直观的“乌鸦喝水”的故事、石头放入盛水的 杯子里的实验等，以生动形象的方式，为学生体会物体占有空间，理解体积概念提供丰富的感性经 验。然后，引导学生观察比较电视机、影碟机和手机的大小，说明不同的物体所占空间的大小不同， 从而引入体积概念。 体积单位 通过提出问题“怎样比较两个长方体体积的大小呢？”启发学生通过回顾旧知、迁移类推出：要 比较长方体的体积大小也需要用统一的体积单位来测量。接着教材指出计量物体的体积要用体积单位， 给出常用的体积单位，并让学生观察相应的教具和模型，对这些体积单位的实际大小形成明确的表 象。在“做一做”中，教材安排了区别长度单位、面积单位和体积单位的练习。认识用 1cm3的小正方 体拼成的各种图形的体积是多少，以加深学生对体积单位和怎样用体积单位计量物体的体积的认识， 为下面教学计算长方体和正方体的体积做准备。 长方体的体积计算 教材先教学长方体体积计算公式的推导，再通过例 1计算长方体的体积。 长方体体积计算公式，教材通过让学生动手操作，自主探索出来的。教材先提出 “怎样知道一 个长方体的体积是多少呢？”让学生小组合作进行讨论，学生可能会想到把长方体切成小正方体， 它有多少个小正方体。但受客观条件的限制，有些物体是不能切割的，由此想到长方形的面积有计算 公式，长方体的体积也应该有计算公式，由此调动起学生实验、探究的动机和愿望。 教材让学生用体积为 1cm3的小正方体摆成不同的长方体，通过对摆法不同的长方体相关数据的 分析，引导学生找出长方体中所含体积单位的数量与它的长、宽、高之间的关系，从而总结出长方体 体积的计算公式，并用字母表示出来。 接着，教材安排了例 1，计算长方体的体积，以引巩固长方体的体积计算公式。 正方体的体积计算 与长方体的体积计算编排类似，教材先教学正方体体积计算公式，再通过例 2计算正方体的体 积。 正方体的体积公式，教材是通过启发学生根据长方体和正方体的关系，推导出来的。在用字母表 示正方体的公式时，教材介绍了“立方”的含义，说明三个相同的数连乘就是这个数的立方。之后，安 排例 2计算正方体的体积。 长方体和正方体的体积公式的统一 教材在说明了什么是长方体和正方体的底面积后，引导学生将长方体和正方体的体积公式，统 10 一成“底面积×高”，让学生看到长方体和正方体的体积公式之间的联系。 练习七 第 3题，无论怎么摆，新组成的长方体都是由 9个棱长为 1cm的小正方体组成的，那么它的体 积都是 9cm3。 第 5题，这是一道实际应用的问题。题中给出一个在生产生活中计算土、沙、石时常用的体积单位 “方”，学生只要知道 1方=1m3即可。 体积单位间的进率 教材通过图示，引导学生用不同的方法推出体积单位之间的进率。先看棱长是 1dm的正方体，体 积是 1dm3，也可以看作是棱长 10cm的正方体，由正方体体积的计算公式可以算出它的体积是 1000（10×10×10）cm3，由此得出 1dm3＝1000 cm3。然后让学生想一想 1 m3等于多少立方分米。这 样推出体积单位之间的进率，可以使学生较清楚地理解并记住相邻的体积单位之间的进率都是 1000。 接着，教材把长度单位、面积单位和体积单位及其相邻单位间的进率列成表格，让学生填写并对比， 以加深印象。 再通过例 3教学体积单位名数的变换，为以后计算实际问题时灵活处理体积单位做准备。例 4是 在解答实际问题的过程中进行体积单位名数的变换。 练习八 第 7题，根据长方体和正方体棱长总和相等，可以通过观察或计算得出正方体的棱长是（6＋5 ＋4）÷3=5（dm），体积是 5×5×5=125（dm3）；长方体的体积是 6×5×4=120（dm3）。 容积和容积单位 教材首先直接给出了容积的概念，并说明计量容积，一般就用体积单位。然后通过引导学生观察 生活中常见的药水瓶、饮料瓶上的容积单位，发现 L和ml这两个容积单位，然后介绍了计量液体的 体积常用容积单位升和毫升，以及它们与体积单位之间的关系。 接下来教材设计了一个小组活动，让学生在具体实践操作与观察对比中，利用瓶装矿泉水和量 杯来感知 L和ml这两个容积单位的实际大小。然后再让学生说一说，生活中还有哪些物品上标有毫 升和升，目的是使学生将新知与生活体验联系起来，有利于学生更加深刻地感知容积单位的实际意 义，培养学生应用数学的意识以及细心观察的良好习惯。 ※在容积概念的教学中应注意为学生提供足够的实际例证，让学生在具体情景中，感知和理解 容积所表示的具体含义。明确：只有能够装东西的物体，才能计量它的容积，计量的时候要从容器的 里面量长、宽、高，才能更准确地算出它的容积是多少。 例 5，介绍了长方体和正方体容器容积的计算方法，特别强调要从容器里面量长、宽、高，并复习 了体积单位与容积单位之间的关系。 例 6，教学用排水法来测量不规则物体体积的方法，即：利用有刻度的量杯记录下放入物体前后 水位的刻度，水面上升的那部分水的体积就是该物体的体积。可在教师的引导下让学生通过小组实践 活动探索出测量方法。 练习九 第 1题，主要是区分体积和容积的不同。体积相同的盒子，由于盒子的壁厚度不同，容积也就不 同。 第 12题， 是一道开放题，可以根据不同的实物选择不同的测量方法。如果是柔软可变形的物体， 可以捏成长方体或正方体，然后用尺子测出需要的数据，即可算出体积。如果是不能变形的物体，可 以利用例 6的排水法来测量。比较两个物体体积大小时，也可以利用排水法，看哪个物体使水面上升 的高，那个物体的体积就大。 第 16*题，这是一道思考题，可供学有余力的学生选做。根据第二、三幅图可知：一个大圆球加一 个小圆球排出的水是 12ml，一个大圆球加 4个小圆球排出的水是 24ml，这样可知 3个小圆球排出的 水是 24ml－12ml=12ml，3个小圆球的体积是 12cm3，则 1个小圆球的体积为 4cm3，由此可以得出 11 大圆球的体积为 12－4=8（cm3）。 整理和复习 对这一单元进行全面系统地整理和复习。第 1题通过比较长方体和正方体的相同点和不同点，复 习它们的特征。第 2题复习长方体、正方体表面积的计算方法。第 3题复习体积和容积以及它们之间的 关系。 教学时可注意：（1）引导学生归纳总结，形成知识网络。（2）通过迁移比较，促进学生掌握 易混知识的联系和区别。（3）重视抽象和概括，抓住本质特征。 练习十 第 3题，这道题不仅可以帮助学生比较表面积和体积，避免发生混淆，分清这两个概念和各自 的计算方法，而且还使学生在计算填表中发现变化规律，即长方体的长、宽、高变为原来的 2倍，则 表面积变为原来的 2×2=4倍，体积变为原来的 2×2×2=8倍。 第 4*题，图中画的两个长方体，都有一部分被遮挡住，要求学生从未被遮挡的部分看出它们的 长、宽、高各是多少，并算出体积。这可以提高学生看图的能力，发展空间想像能力。此题供有余力的 学生选做。这两个长方体的体积是： 4×3×3＝36（cm3）　　4×3×4＝48（cm3） 五、教学建议 1．注意所学知识与现实生活的密切联系。 在空间与图形的教学中，应充分利用生活中的事物，引导学生探索图形的特征，丰富空间与图 形的经验。在长方体和正方体的认识，可以从现实生活情景引入，通过对一些建筑物、生活用品形状 的观察，抽象出长方体和正方体的图形，使学生了解到生活中很多物体的形状是长方体或正方体的， 学习用数学的眼光来观察生活中物体的形状。表面积、体积和容积这些知识在日常生活中也会经常接 触到，教学中应创设问题情境，让学生在解决这些实际问题的过程中，加深对所学知识的理解，同 时培养解决问题的意识。 2．在动手操作、自主探索中，培养空间观念，建构新知。 空间观念的培养应通过多种感官协同作用，教学中可以让学生通过对长方体实物或模型进行看 一看、摸一摸、比一比、想一想等活动，引导学生认识长方体的面、棱、顶点和空间位置关系，从而对长 方体有一个比较全面的认识。在体积的教学中，要让学生亲自动手去做实验，感受到物体占空间，不 同物体所占空间有大有小，从而深刻地理解体积的含义。通过用小正方体来摆不同形状的长方体，来 观察、猜测、归纳、推理出长方体的计算公式。 第四单元　分数的意义和性质 一、教学内容 分数的意义、分数与除法的关系 真分数与假分数 分数的基本性质 最大公因数与约分 最小公倍数与通分 分数与小数的互化 12 二、教学目标 1.知道分数是怎样产生的，理解分数的意义，明确分数与除法的关系。 2.认识真分数和假分数，知道带分数是一部分假分数的另一种书写形式，能把假分数化成带分 数或整数。 3.理解和掌握分数的基本性质，会比较分数的大小。 4.理解公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数，能找出两个数的最大公因数与最小公倍数， 能比较熟练地进行约分和通分。 5.会进行分数与小数的互化。 三、编排特点 1．多侧面地展现了分数的来源。 现实需要和数学需要。 2．把因数、倍数的有关知识与分数的相关知识结合起来教学。 3．关注数学的抽象过程，从现实问题情境引出数学问题，得出数学知识。 4．部分内容作了适当的精简处理或编排调整。 （1）求一个数是另一个数的几分之几的实际问题，原来安排在分数与除法的关系之后，现在挪 后。 （2）分数大小比较，不单列一段，而是与通分结合在一起学习。 （3）删去了原来第 2节中把整数或带分数化成假分数的内容。 四、具体编排 1．分数的意义 分数的产生 通过测量与分物，引入分数，使学生感悟分数是适应客观需要而产生的。 分数的意义 （1）单位“1”既可以表示一个物体，也可以表示一些物体，体现了部分与整体的关系。同一个 分数可以表示不同的具体量，体现了分数的抽象性。 （2）分数单位的概念。 分数与除法 （1）体现了分数的数学来源：计算时往往不能正好得到整数的结果，常用分数来表示。可从数 系的扩展角度来认识分数的产生。 （2）分数与除法的统一点：对一个整体进行平均分。 （3）为后面的假分数以及把假分数改写成整数、带分数作准备。 例 1 把除法的意义和分数的意义进行统一：把 1个物体平均分成 3份，用除法的意义列出除法算式 1÷3，根据分数的意义得到每份是 3 1 。 例 2 13 （1）把许多物体（3块月饼）平均分成 4份，求每份是多少。用除法的意义列出除法算式 3÷4，根据分数的意义得到每份是 4 3 ，在这儿，可以用两种方式来理解 4 3 ：A、把 1平均分成 4份， 每份是 4 1 ，这样的 3份是 4 3 。B、把 3平均分成 4份，每份是 4 3 。 （2）通过图示得到分数结果，方法多样：一、用操作或图示法。二、推理：1块月饼平均分给 4人， 每人分得 4 1 块，3块月饼平均分给 4人，每人分得3个 4 1 块，是 4 3 块。 分数与除法关系的总结 根据例 1和例 2总结出分数与除法的关系。在这儿，可以把分数的意义进一步扩展，它既可以表 示作为结果的一个数，也可以表示一种运算过程。 （1）可以解决整数除法中商不是整数的情况。 （2）分数与除法可以互逆，可看作同一种运算。 （3）因为除数不能为 0，所以分母不能为 0。 2．真分数与假分数 以前学生只接触过分子比分母小的分数，现在介绍分子和分母相等或分子大于分母的分数，可 以让学生更全面地认识分数。 例 1 让学生根据已有知识写出分数，并重点观察分数中分子和分母的大小，并借助直观把它们和 1 比较，再介绍真分数的概念。 例 2 让学生重点观察分数中分子和分母的大小，并把它们和 1的大小比较，给出假分数的概念。需指 出这里的单位“1”是一个圆而不是所有圆的总体。 例 3 （1）从生活语言“一个半”引出带分数的写法及读法。 （2）让学生仿照着写出其他的分数。 例 4 （1）要把假分数化成整数或带分数是因为要培养学生对于分数的数感。 （2）化的时候有不同的方式。 　　A．根据分数的意义：4个 4 1 就是 1。 　　B．利用直观图。 C．利用分数与除法的关系。 （3）可引导学生总结假分数化成整数或带分数的一般方法。 3．分数的基本性质 分数的基本性质是约分、通分的基础。 例 1（分数基本性质的推导） 14 （1）通过直观图观察得出三个分数相等。 （2）从两个方向观察三组分数的分子、分母的变化规律。 （3）通过自主举例，从具体到一般，总结出分数的基本性质。 （4）由于分数与除法的内在一致性，引导学生用除法中商不变的性质来说明分数的基本性质。 例 2（分数基本性质的应用） 把分数化成分母不同（分母扩大、分母缩小两种情况），但大小相同的另一分数。 4．约分 与九义教材相比，把公因数、最大公因数移至此，更体现了求公因数的必要性。 最大公因数 例 1（公因数、最大公因数的概念） （1）利用实际情境（用正方形铺满长方形且必须是整块数）引出求公因数的必要性。 （2）借助操作进一步理解正方形的边长必须既是长方形长的因数，又是宽的因数，从实际问题 转入数学问题。 （3）用集合的形式表示出因数、公因数，与第二单元相响应。 例 2（最大公因数的求法） （1）前面没有正式教学分解质因数，因此这儿不教学用分解质因数的方法求最大公因数的方法， 只在“你知道吗”中进行介绍。 （2）多种方法。 　　A．分别列出两个数的所有因数，再找公因数。 　　B．从较小的数的最大因数开始找，看是不是另一个数的因数。 也可引导学生想出不同的方法，如：从较大的数的最大因数开始找，然后和上面的 B方法进行 比较，看哪种更合适。 （3）让学生通过观察，找出公因数和最大公因数之间的关系：所有的公因数都是最大公因数的 因数。 做一做 让学生接触两类特殊数的最大公因数：两数存在因数和倍数的关系，两数互质。 约分 例 3（最简分数的概念） （1）通过实际情境引出两个分数（根据不同的素材引出：具体的米数、分成四段）。 （2）利用分数的基本性质说明两个分数相等，为后面的约分设下铺垫。再给出最简分数的概念。 例 4（约分） （1）原理：利用分数的基本性质把分数改写成相等的最简分数。 （2）方法多样：可以逐步约分，也可直接用最大公因数约。 （3）给出约分的简便写法。 5．通分（编排方式与约分相似） 与九义教材相比，把公倍数、最小公倍数移至此，更体现了求公倍数的必要性。 最小公倍数 15 例 1（公倍数、最小公倍数的概念） （1）利用实际情境（用长方形铺满正方形且必须是整块数）引出求公倍数的必要性。 （2）借助操作进一步理解正方形的边长必须既是长方形长的倍数，又是宽的倍数，从实际问题 转入数学问题。 （3）用集合的形式表示出倍数、公倍数，与第二单元相响应。 例 2（最小公倍数的求法） （1）前面没有正式教学分解质因数，因此这儿不教学用分解质因数的方法求最小公倍数的方法， 只在“你知道吗”中进行介绍。 （2）多种方法。 　　A．分别列出两个数的倍数，再找公倍数。 　　B．从较大的数的最小倍数开始找，看是不是另一个数的倍数。 也可引导学生想出不同的方法，如：从较小的数的最小因数开始找，然后和上面的 B方法进行 比较，看哪种更合适。 （3）让学生通过观察，找出公倍数和最小公倍数之间的关系：所有的公倍数都是最小公倍数的 倍数。 做一做 让学生接触两类特殊数的最小公倍数：两数存在因数和倍数的关系，两数互质。 通分 例 3（分数大小的比较） （1）通过实际情境引出两个分母相同的分数的大小比较。 （2）10 3 和10 7 的比较方法多样（三年级上册已经有了一定基础）。 A．根据分数的意义。 B．根据分数单位的多少。 （3）让学生通过一些特例，自行总结分母相同或分子相同的分数的大小比较方法（三年级上册 有了分子都是 1的分数大小比较方法）。 （2）利用分数的基本性质说明两个分数相等，为后面的约分设下铺垫。再给出最简分数的概念。 例 4（通分） （1）从实际情境引入，出现分子、分母均不相同的情况，比较大小时产生认知冲突。 （2）原理：利用分数的基本性质把两个分数改写成分母相等的分数。 （3）通分时，可以把分母都化成两个分母的最小公倍数，也可以不是最小公倍数。 （4）作为比较大小的方法，还可以把两个分数改写成分子相同的分数。 （5）区别通分与约分：约分是对一个分数的运算，通分是对两个分数的运算。 6．分数和小数的互化 例 1（小数化分数） （1）用小数和分数两种不同的方式表示同一个除法运算的结果，建立起两者的联系。 （2）利用小数的意义给出小数化分数的一般方法。一位小数由教材给出范例，两、三位小数由自 己类推。 16 例 2（分数化小数） （1）创设六个数比较大小的数学情境。 （2）分数化小数的方法多样; A．分母是 10、100……的，利用小数的意义来化。 B．分母不是 10、100……的，可以化成分母是 10、100……的，也可以利用分数与除法的关系来 化。 整理和复习 分数的概念 分数的分类 分数的基本性质及其运用 分数与小数的互化 五、教学建议 1．充分利用教材资源，用好直观手段。 2．及时抽象，在适当的抽象水平上，建构数学概念的意义。 3．揭示知识与方法的内在联系，在理解的基础上掌握方法。 第五单元 分数的加法和减法 1、 教学内容  同分母分数加减法  异分母分数加减法  分数加减混合运算以及整数加法的运算定律推广到分数 2、 教学目标 1．理解分数加减法的算理，掌握分数加减法的计算方法，并能正确地计算出结果。 2．理解整数加法的运算定律对分数加法仍然适用，并会运用这些运算定律进行一些分数加法的 简便运算，进一步提高简算能力。 3．体会分数加减运算在生活、生产中的广泛应用。 三、编排特点 1．结合学生经验中非常熟悉的素材，学习分数加减法。 为使学生理解“分数单位相同才能相加减”的算理，教材以学生的日常生活为背景，引导学生 在身临其境的情况下学习分数加减法计算。  第 1小节例 1、例 2中，利用一家三口分吃一块大饼和小朋友喝矿泉水的情境，引入同分 母分数加减法的学习。例 3中，以观看少儿节目为背景，学习同分母分数连加连减的学习。  第 2节中，以处理当今影响环境的重要因素生活垃圾为背景，学习异分母分数的加减法。 这样选材，符合“计算教学应注意与学生的现实生活相联系，让学生感受到通过计算可以解决 一些实际问题”的课改理念，既具有浓郁的生活气息，又具有强烈的时代特征。它降低了学生理解分 数加减计算算理的难度，利于学生较顺利地掌握分数加减计算的基本方法。 2．淡化分数加减法意义的教学。 根据《标准》“结合具体情境，体会四则运算的意义”的要求，教材淡化了分数加减法意义的教 17 学，利用类推说出分数加减的含义。  例（1）中，由小精灵明明发问：“想想整数加法的含义，你能说出分数加法的含义吗？”  例 2中，由小精灵聪聪发问：“分数减法的含义与整数减法的含义有什么关系？” 引导学生由整数加、减法的含义类推出分数加、减法的含义； 3．引导学生在探究中概括分数加减法的计算方法。 教材引导学生在自主探究中，逐步地总结出分数计算的一般方法。 第 1节中，例 1、例 2教学完后，引导学生探究：“观察例 1和例 2，你能发现什么共同 点？”让学生在探究、交流中总结出同分母分数加、减法的一般方法。 第 2节中，例 1教学完后，引导学生探究：“你能说说异分母分数加减法怎么计算吗？”又 一次让学生通过探究、讨论，概括出异分母分数加减法的一般方法。 4．在计算教学中突出“鼓励算法多样化”的课改理念。 第 1节中例 3的教学，如何计算分数连加、连减的问题，教材提供了两种不同的算法后提问： “你喜欢哪一种方法？”、“还有其他算法吗？” 第 3节例 1的教学，教材提供了两种不同的分数加减混合运算的算法后，提问：“你喜欢哪 种方法？”“我们的方法有什么不同呢？” 让学生在比较中体会算法的多样性与合理性，懂得应选择较简捷的方法进行计算。 5．编排体现数学文化的阅读材料。 《标准》提出，“数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部 分。”结合本单元学习内容，教材编排了两个阅读材料： 第 112页的“你知道吗？”，通过阅读这段材料，使学生了解一些关于分数四则计算的发 展史，了解我们的祖先在这一方面的睿智与成果，体会用不同的符号来表示分数对分数计算产生的 重大影响，从而进一步体会用简明的符号来表示数的重要性。 第 116页的“生活中的数学”。通过阅读这份材料，不但扩大了学生的视野，而且使学生看 到分数在五线谱中的灵活应用，体会数学与音乐、与人类精神生活的密切联系。 四、具体编排 标 题 例题安排 第 1节 同分母分数加减法 例1 同分母分数加法的含义及计算方法 例2 同分母分数减法的含义及计算方法，总结 分数加减法的计算方法 例3 连加、连减 第 2节 异分母分数加减法 例1 （1）异分母分数加法 （2）异分母分数减法 第 3节 分数加减法混合运算 例1 （1）不带括号的分数加减法混合运算 （2）带括号的分数加减法混合运算 例2 整数加法的运算定律推广到分数 1．同分母分数加、减法 本节包括三方面的内容：  分数加、减法的含义  同分母分数加减法的计算方法  连加、连减 同分母分数加、减法，三上已学过一些简单的（分母不超过 10），但当时采用直观的方法进行教学， 18 没有引导总结一般的计算方法。本册第四单元，系统学习了分数的意义和性质，建立起了“分数单 位”的概念。 本小节系统学习分数加减法的含义，理解分数加减法的算理，总结出同分母分数加、减法的一般 计算方法。 本节教材共安排 3道例题。 　　例 1 （教学同分母分数加法） 由一家三口分吃大饼引入。 利用整数加法的含义列出算式，利用已有的分数加法知识进行计算。 给出规范的书写过程，其中 8 31 ，计算熟练后可省略。 利用直观图 ，清楚地看到 8 4 就是 2 1 。由此引出结果的表达要求：计算的结果，能约分 的要约成最简分数。 引导学生由整数加法的含义推出分数加法的含义。 例 2（教学同分母分数减法）编排同例1。 由小朋友倒矿泉水引入。 利用已有的分数减法知识进行计算，说出算理。 引导学生由整数加法的含义推出分数减法的含义。 同分母分数加减法的一般方法 结合例 1、例 2，引导学生在合作中概括同分母分数加减法的一般方法。 教学建议： 在教学例1、例2时，要注意突出相同单位的数相加、减，也就是分数单位相同的分数才能相 加减。 注意分数单位的复习。 例 3（教学连加连减） 以儿童喜爱的少儿节目播放时间为背景引入连加、连减。 连加呈现了多种算法，通过“你喜欢哪一种方法？”让学生在对比中体会用三个分数直接相 加，计算更简便。 连减让学生自主完成，连减两种思路都可以。 教学时，应说明“分子是 0的分数等于 0”。如把“1－15 2 －15 12 ”改成“1－15 3 －15 12 ”，启发学生联系分数与除法的关系，想出 0除以任何正整数都得 0，所以“分子是 0的分数等于 0”。 2．异分母分数加、减法 本小节只安排一个例题，含两个小题。第（1）题是异分母分数加法，第（2）题是异分母分数减 法。 从数学与环保关系的角度入手，引出例题的教学。 例 1（1）（教学异分母分数加法） 用扇形统计图给出了几种垃圾在生活垃圾中的占有量。通过计算废金属和纸张占生活垃圾的 几分之几，引出异分母分数加法。 直接提出“你能用学过的知识解决吗”，引导学生探索：如何将未知转化为已知。 通过小组研讨活动，使学生明确：分母不同的分数，要先通分才能相加。 利用直观图，帮助学生理解算理。 19 例 1（2）（教学异分母分数减法） 通过比较危险垃圾和食物残渣的多少，引出异分母分数的减法。 利用类推，不再出直观图，让学生自主把握计算的关键——通分，填出通分后的两个分数， 并算出最后结果。 练习二十二  第 10题 是探索规律、激发兴趣的练习。是由“杨辉三角”改编来的。（如下图） 　　　　　　 　 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 ………………………………………… 练习时，可先介绍“杨辉三角”，让学生算一算每一横行各数的和（1，2，4，8，16……）概 括出和的规律，然后将其中的“1”都换成“ 4 1 ”，看看这个规律还存在吗？换成 8 1 呢？  第 12*题 此题可引导学生操作学具来解决。如学生可能会这样操作：先将4个苹果，平均分给 8个孩子， 每人得4÷8= 2 1 （个），再将剩下的2个苹果，平均分给 8个孩子,每人得2÷8= 4 1 (个)。所以，每 个孩子可分得 2 1 ＋ 4 1 ＝ 4 3 (个)。这实际上是埃及分数（分子是 1的分数）的一个有趣性质“任何 一个真分数都可以表示为有限个分母不同的埃及分数的和”的应用。 教学建议： 重点要放手让学生探索如何将异分母分数转化为同分母分数来计算。 注意加强通过的单项练习。 3.分数加减法混合运算 本节包括两部分内容。 分数加减法混合运算 整数加法运算定律推广到分数加法 教材安排两个例题。 例1（教学分数加减法混合运算） 第（1）题，不带括号的分数加减法混合计算。 第（2）题，是带括号的分数加减法混合计算。 教材以“云梦森林公园地貌情况”与“森林和裸露地面降水量转化情况对比”为背景，引入两 种类型的分数加减法混合运算。 例1（1） 由解决“森林部分比草地部分多几分之几”，引入不带括号的异分母分数加减混合运算。 说明不带括号的分数加减法混合运算的顺序。 呈现了不同的方法，对比两种不同的算法，引导学生思考：“你喜欢哪种方法？” 让学生 在交流中体会根据数据特点选择合理算法的优势，逐步培养优化的思想方法。 例1（2） 由解决“裸露地面储存的地下水占降水量的几分之几”，引出连减和带括号的异分母分数加 20 减混合运算。 通过对比两种不同的方法，明确带括号的加减混合运算的顺序。 最后由“你能说说分数加减混合运算的顺序吗？”让学生自主归纳出分数加减混合运算的顺序。 教学建议 这部分内容教学时要培养认真书写的良好习惯。 分数加减法混合计算的步骤在两步以上，学生在按步写出每一次计算的过程时，应严格要求 按教科书中呈现的格式书写，等号一律对齐，分数线在同一条直线上。 同时提醒学生，最后的结果要化成最简分数。 例2（整数加法运算定律推广到分数加法） 采用不完全归纳法让学生归纳。 教材给出通过两组算式，让学生观察、计算,找出每组算式的关系,得出整数加法的交换律、结合 律对分数加法同样适用的结论。 加法的交换律、结合律可推广到若干个数相加 为了充分发挥运算定律对于运算的依据作用，在“做一做”中安排了 4个数相加的练习： 7 9 ＋ 8 1 ＋ 8 3 ＋ 7 5 ，通过这类练习，让学生体会运算定律并不限制加数的个数，合理、灵活地运用它， 会使计算十分的简便。 五、教学建议 1.引导学生认识分数加减法与整数加减法的内在联系。 分数加减法的含义与整数加减法的含义是完全相同的。它们的计算方法从表面上看截然不同，但 实质上有一个共同的特点，就是“相同单位的数才能相加减”。从这个意义上来讲，不论是整数还是 分数的加减法，都要统一单位后才能进行。当分数的单位统一后，分数的加减运算也就归结为整数的 加减了。如，第 2节中的例1（1）： )65(20 65 20 6 20 5 10 3 4 1  个 20 1 上述过程中，先将异分母分数转化为同分母分数，然后用整数加法的方法将分子相加，即相同 单位的数相加，得出最后的和。 因此，教学时，应有意识地引导学生认识分数加减法与整数加减法之间的联系，紧紧扣住学生 经验中“相同单位的数才能相加减”的算理，逐步概括出分数加减的一般计算方法。 2.注重对算理的分析，以算理引入算法。 抽象概括出分数加减法的一般计算方法，是本单元教学的重点。要搞好这一过程的教学，必须 处理好算理与算法，单纯记忆与发展思维之间的关系。教学时，应通过观察、思考、说理、交流等活动， 让学生经历用算理引入算法的重要过程。使学生明白：①计算同分母分数加、减法时，“分母不变” 是因为分母相同，也就是分数单位相同，所以只用分子进行加、减；②计算异分母分数加、减法时， 只要将异分母分数转化为同分母分数就可以了。这样教学，不但使学生明白算理是算法的灵魂，而且 避免了机械用法、单纯记忆的弊端，达到“明理驭法”的目的。 3.处理好独立探究与合作交流的关系，不可偏废任何一种方式。 本单元的学习内容，是在三年级上册简单的同分母分数加减计算的基础上发展的，教学时，应 充分考虑学生已有的认知经验，首先提供给每一位学生独立探究的时间和空间。在学生探究得比较成 熟时，具备了和同伴交流的“资本”和“底气”时，再组织他们进行合作交流。如教学第 1节例 1计 算“ 8 3 8 1  ”、例 2计算“ 4 1 4 3  ”、例 3计算“ 15 7 15 1 15 4  ”时，应让每一位学生自主思考、计 21 算，然后再交流计算的过程和想法；又如教学第 2节例 1（1）计算 10 3 4 1  （2）计算 20 3 10 3  时， 首先应让每一位学生思考：用学过的知识解决，行吗？试一试。在学生充分尝试、探究的基础上再组 织交流。交流时，重点放在“相同单位的数才能相加，怎样表述相加的过程”这一核心问题上，使交 流达到“互通有无、取长补短、心领意会”的目的。 4.用好有关数学文化的阅读材料，适当补充涉及分数运算的史料。 五年级的学生已有一定的生活经验，对数学的神秘感有了更强的好奇心。因此，结合分数加减的 学习内容适当补充一些数学史料，可使学生的好奇转化为探究欲，促其学习数学兴趣的提高，并逐 步形成良好的探究习惯。因此，教学时，应重视教材提供的两个涉及数学文化的阅读材料的学习。在 此基础上，再补充一些相关的学习材料。如：埃及分数(分子为 1的分数)的特点和性质：“任何真分 数都可以表示为有限个分母不同的埃及分数的和”，练习二十二中，第 12*题的结果“ 4 1 2 1 8 6  ” 就是埃及分数的有趣性质和在实际中的应用。又如“1可以表示为项数很多的埃及分数的和。”如： 1=1 nn 11 5 1 4 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1   （ n为不等于 0的自然数） =（1— 2 1 ）+（ 3 1 2 1  ）+（ 4 1 3 1  ）+（ 5 1 4 1  ）+…+（ nn 1 1 1  ）+ n 1 = nnn 1 )1( 1 20 1 12 1 6 1 2 1   第六单元 统计 一、 教学内容 例 1 理解众数的意义及特点。 能根据具体的问题，选择适当的统计量表示数据的不同特征。 例 2 认识复式折线统计图，了解复式折线统计图的特点。 根据复式折线统计图回答简单的问题。 根据数据的变化进行数据分析和合理的推测。 二、教学目标 1. 理解众数的含义，学会求一组数据的众数，理解众数在统计学上的意义 。 2. 根据数据的具体情况，选择适当的统计量表示数据的不同特征。 3. 认识复式折线统计图，了解其特点，能根据需要，选择条形、折线统计图直观、有效地表示 数据，并能对数据进行简单的分析和预测。 三、编排特点 1．在学生已有知识和经验的基础上，教学众数和复式折线统计图。 教材在编排本单元内容时，注意通过与先前统计知识的联系，帮助学生理解所学内容。如，众 数的含义就是通过与平均数的对比来认识的，复式折线统计图也是由单式折线统计图引出的。这样既 有助于加深对前面所学统计知识的理解，也便于对新知识的领悟。 2．提供丰富的生活素材，凸现统计的意义和价值。 本单元所选素材涉及到体育、气象、消费等方面，不仅扩大了学生处理信息的范围， 22 加强了与生活的联系，同时体会到统计知识的作用，明确学习目的。 四、具体编排 例 1 编排思想:  创设舞蹈比赛选拔队员的情境，提出问题让学生思考。  呈现了不同的解决问题的方法。  通过全班的交流，教师进行总结，给出了明确的答案。  给出众数的概念，突出其特点。 教学建议:  引导学生分组讨论，从一组数据的极差和均匀程度分析怎么确定身高，再汇报交流。  给出众数概念后，注意让学生在分析比较中理解平均数、中位数和众数的联系和区别，进而 理解为什么用众数来确定队员的身高，理解众数的统计意义。 做一做 编排思想:  呈现学生视力分布的数据，整理　和描述后提出问题让学生思考。  体会中位数和众数的不同特点。  安排调查学生视力的实践活动。  通过生活中的数学体会平均数和众数的应用。 教学建议:  引导学生独立分析、汇报交流。  根据中位数和众数来分析学生视力的分布情况。  第3小题，可开放，学生能说出道理便可。  第5小题，要真正搞一次实践活动，进行数据分析。 练习二十四 第 2题，虽然两名队员平均成绩一样，但是甲队员的成绩分布更稳定、均匀，更适合参加比赛。 第 4题，通过整理数据让学生理解：在一组数据中，众数可能不只一个，也可能没有众数。 第5题，根据具体问题，选择适当的统计量表示数据的不同特征。 第6题，进一步感受众数在统计中的作用，体验统计在决策中的重要价值。 例 2 编排思想:  利用复式统计表给出中国和韩国第9-14届亚运会获金牌情况，再用单式折线统计图分别进 行描述，让学生比较两国金牌数量的变化情况。  发现这样比较不是很直观方便。  提出问题让学生思考。  明明给出提示。  让学生完成复式折线统计图。  聪聪提出问题，引导学生认识复式折线统计图的必要性和特点：便于比较两组数据的变化 趋势和差异性。  提出４个问题让学生思考，进一步体会复式折线统计图的特点。  结合数据进行爱国主义教育。 教学建议: 23  引导学生根据统计表和统计图比较均可。  比较的问题可多样，如增减变化情况和相差情况等。  注意在已有知识的基础上学习：让学生回忆单式条形统计图合并成复式条形统计图的过程。  教师归纳画图的方法和规范性。  结合回答问题认识统计的意义。 做一做 编排思想: 通过回答问题，进一步认识复式折线统计图的特点：便于比较两种数据的变化趋势和差异性。 教学建议: 引导学生通过复式折线统计图，进一步学会分析数据，通过比较发现：两人成绩总体上都在上 升，但是李欣是稳步上升，刘云则波动较大，不稳定。由此可预测比赛成绩李欣可能好于刘云。 练习二十五 第 1题，通过分析数据得出：男生和女生都在增高,但 13岁后女生趋缓。 第 2题，进一步感受统计在生活中的作用，体验统计在决策中的重要价值。 第 4、5题，面对不同的实际问题，选择合适的统计量,体验统计在决策中的重要价值。 五、教学建议 1． 在已有知识的基础上教学。 教学本单元时，可充分利用学生已有的知识经验，通过与所学知识的对比，体会统计量的含义 及统计图的特征和适用范围。如，教学复式折线统计图时，可先用单式折线统计图分别表示两组数据， 让学生体会到，单式折线统计图可以清楚地反应出一组数据的增减变化，但在对两组数据进行比较 时就不方便了，由此引出复式折线统计图。从而使学生深切体会到复式折线统计图的特点和优势，加 深对折线统计图的认识。 ２.注重对统计量的意义的理解，避免简单的统计量的计算。 教学中应避免单纯从计算的角度引导学生学习统计知识，应当注意对统计量意义的理解。如众数， 不仅要让学生知道什么是众数，会求众数，更要注意结合具体数据理解众数的作用和特点。如教材第 122页例1要解决“挑选身高是多少的队员参赛比较合适？”这一问题，实际上就是选用合适的统计 量来描述15个候选队员的身高的集中情况，教材先让学生用平均数、中位数来描述，发现不能很好 地反应身高的集中趋势，然后引出众数，由此体会众数的特点：在一组数据中，如果个别数据有很 大的变动，且某个数据出现的次数最多，此时用该数据（即众数）表示这组数据的“集中趋势”就 比较适合。教学时则可按此思路帮助学生理解众数的统计意义。 3. 教学评价注重过程性评价。 让学生经历简单的收集、整理、描述和分析数据的过程是学习统计知识的首要目标。这就要求教师 应创造尽可能多的机会让学生亲自从事简单的统计活动，如调查同学们的视力情况、所穿鞋子的号码、 喜爱的电视节目等。教师要鼓励学生积极投入到各种活动中，留给他们足够的独立思考和自主探索的 时间与空间，并在此基础上加强与同伴的合作与交流。从事统计活动的过程中教师应起到引领、指导 的作用，例如，教师可以提出一些问题引发学生的讨论：你们准备如何收集数据；用什么方法展示 数据；哪些数据经常出现；数据反映出什么趋势；从这些数据中能得到什么结论；从这些结论中能 预测到什么等等。 ４.适当把握平均数、中位数、众数的教学要求。 关于选择平均数、中位数、众数作为一组数据的代表问题，学生较难理解，有时没有唯一正确答 案，只有合适与否的问题。因此要开放些。注重学生结合实际问题对这三个统计量的联系和区别的理 解，淡化纯数值的计算。 24 综合应用 打电话  教学目标: 通过这个综合应用，让学生进一步体会数学与生活的密　切联系以及优化思想在生活中的应用， 培养学生应用数学知识解决实际问题的能力，同时通过画图的方式发现事物隐含的规律，培养学生 归纳推理的思维能力。  编排思想: 　１.探索最优方案（每个人都不空闲）。 　２.发现规律（第 n分钟接到电话的人数是前 n-1分钟接到电话的学生总数加１（老师），前 n分钟接到电话的学生总数是２的 n次方减１）。 　３.应用规律。  教学建议： 1.小组合作学习，教师指导，全班汇报交流。 ２.提示学生利用画图表的直观形式解决问题。 　３.数学模型是一种理想化的理论，要事先设计好具体通知方案（包括每人的通知对象）和流 程图。 第七单元 数学广角 一、教学内容 找次品 “数学广角”主要是向学生渗透一些重要的数学思想方法。优化是一种重要的数学思想方法，可 有效地分析和解决问题。本单元主要以“找次品”这一操作活动为载体，让学生通过观察、猜测、试验 等方式感受解决问题策略的多样性，在此基础上，通过归纳、推理的方法体会运用优化策略解决问题 的有效性，感受数学的魅力。 二、教学目标 1．使学生通过观察、猜测、试验、推理等活动，体会解决问题策略的多样性及运用优化的方法解 决问题的有效性。 2．让学生感受到数学在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的发来解决实际生活中的简单问题， 初步培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。 三、编排特点 1．关注学生的生活经验，重视小组合作与交流。 根据学生的年龄特征，教科书在素材的选取上非常注重现实性，如钙片、矿泉水、松果、饼干、糖 果、白糖等物品，都是学生身边常见的，既可激发学生学习的兴趣，又为教师组织教学提供了便利。 教科书的两个例题在编排上都呈现了小组合作学习的情景，要求学生通过小组活动探究解决问 25 题的方法，在活动过程中逐步养成合作、交流的习惯。 2．注意体现思维过程和分析方法，培养学生解决问题的能力。 教科书在编排结构上注重体现数学知识的逻辑顺序，强调数学思维的一般过程，着力培养学生 解决数学问题的意识和能力。如例 1安排了从 5个物品中找次品，仅要求学生说出找次品的方法，不 需要进行规律总结，从而让学生感受解决问题策略的多样性；例 2则安排了 9个待测物品，并要求 学生归纳出解决这类问题的最优策略，从而让学生经历由多样化过渡到优化的思维过程。 此外，教科书在分析方法的编排上还很重视“数学化”，即由具体到抽象，由特殊到一般的数 学分析模式。先让学生探讨待测物品数量为 5个、9个时怎样找次品，并罗列出各种解决方案；然后从 这些方案中寻找规律，总结、提炼出一般方法和优化策略；最后，再利用归纳出的方法去解决待测物 品数更多时的问题，同时也从可验证归纳出的方法是否正确。这里之所以需要验证，是因为本单元提 供的归纳方法在本质上是一种不完全归纳法，对数量更大时的情形是否适用，还需要通过试验来检 验。 四、具体编排 例 1 编排思想： 创设找５瓶钙片中的１瓶次品的合作学习的情境。 认识“找次品”这类问题 ，探索解决问题的方法。 体现解决问题方法的开放性、多样性。 教学建议： 运用小组合作交流的学习方式。 体现探索性和开放性，不必急于归纳最优方法，重在鼓励。 如果没有天平，可利用卡片操作、画图表的形式进行分析。 教师注意进行指导。 例 2 编排思想:  创设找若干零件中的１个次品的合作学习的情境。  进一步认识“找次品”这类问题 ，探索解决问题的最优方法。  体现解决问题方法的开放性、多样性、有效性。 教学建议:  运用小组合作交流的学习方式。  探索性最优化方法。  如果没有天平，可利用卡片操作、画图表的形式进行分析,如画树图的方法。 26  教师初步归纳最优方法。  让学生继续探索10、１１个零件找次品的方法。  教师最后全面归纳最优方法。。 练习二十六 第 1题，因总数为 9筐，故可平均分成 3份，只称 2次就保证能把吃过的那筐松果找出来。如果 天平两端各放 4筐，如果这时天平恰好平衡，则剩下的那筐就是小松鼠吃过的，这样只称一次就找 出了小松鼠吃过的那筐松果；但这种方法是不能保证一次就称出来的，也不能保证 2次就能称出来 只能保证称 3次就一定能称出来，故该方法不是最优的。 第 2题，把 15盒平均分成 3份，至多 3次就可以保证找出较轻的那盒饼干。 第 4题是一个趣味题，问题的关键在于认识到爸爸与小明的年龄差是不会随时间变化而改变的， 即现在和 3年后两者的年龄差一样，所以设小明今年 x 岁，则爸爸今年就是（ x +24）岁，从而 x +( x +24)=34,可算出小明今年是 5岁，爸爸今年是 29岁。 第 5题的编写意图在于让学生脱离具体的操作活动，学会用图示来分析和解决数学问题，从而 培养学生的抽象思维能力。本题答案是至少需要称 3次。 第 6题与例题不同，是另一种类型的“找次品”，因为不知道次品比正品重还是轻，所以问题 就复杂多了。对本题而言，还是分成 3份，至多称 2次就一定能找出次品。第一次天平两边各放一袋 白糖，若天平平衡则剩下的那袋就是次品，再称一次就能判断次品是轻还是重了；若天平不平衡， 则这两袋中一定有一袋是次品，可取下轻（或重）的那袋，把剩下的那袋放上天平，若天平平衡， 则轻（重）的是次品，若天平不平衡，则重（轻）的是次品。 对学有余力的学生，可以此题为起点，探索数量为 4，5……时如何找出次品。 第 7*题是一道关于集合运算的题目。学生在三年级下册学过用集合圈来分析解决问题，所以本 题可引导学生利用集合知识画出下面的图示： 再分析题意：两个组都没有参加的有 6人，所以参加课外小组的一共有 25－6=19人。这样，结合以 前学的知识，就可算出集合圈中表示既参加音乐组又参加美术组的有 12+10－19=3人。 关于“你知道吗”的说明 本专栏简要介绍了在已知次品比正品重或轻的情况下，保证能找出次品所需测的次数。由该表可 发现，只要待测物品数量介于 13 n +1～ n3 之间，则最多只需要测n次就保证能找出次品。由此， 要保证 6次能测出次品，待测物品可能是244～729个。 五、教学建议 1．加强学生的试验、操作活动。 本单元内容的活动性和操作性比较强，大都可以采取学生动手实践、小组讨论、探究的方式教学。 实际教学时，可先多给学生一些时间，让他们充分地操作、试验、讨论、研究，找到解决问题的多种策 略。在活动中出现的一些共性的问题，教师可集中解决，如有的学生在称的次数少于至少能保证找出 次品的次数时，就找出了次品，这时教师应提醒学生把所有的可能性都考虑进去。活动完成后，教师 可要求学生分组汇报结果，并在黑板或屏幕上一一展示，让学生感受到同一问题却有多种解决方案， 27 同时也为后面寻求最优的解决策略打下了研究、分析的基础。 2．重视培养学生的猜测、推理能力和探索精神。 组织学生进行试验操作活动，仅仅是本单元教学内容的基础或前奏，教学的重点在于活动后的 猜测、归纳、推理过程，由此促进学生养成勤于思考，勇于探索的精神。操作活动时，学生往往会得出 多种解题策略，教学时，教师应引导学生从这些纷繁复杂的方法中，从简化解题过程的角度，找出 最优的解决策略。实际教学时，教师可先让学生观察各种解决策略，引导学生发现把待测物品分成 3 份称的方法最好，在此基础上，就可让学生进行猜测：这种方法在待测物品的数量更大时是否也成 立呢？从而可引发学生进一步进行归纳、推理等数学思考活动。这时，教师可引导学生逐步脱离具体 是实物操作，转而采用列表、画图等方式进行较为抽象的分析，实现从具体到抽象的过渡。 28