0 0 类别 : 试卷

试题类型：B 2006年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数 学 2006．6. 7 本试卷分选择题和非选择题两部分．共4页．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号写在答题卡上， 用2B铅笔把答题卡试卷类型（B）涂黑．在答题卡右上角的“试室号”栏填写本科 试室号，再把座位号列表填写的上位号，用2B铅笔把将相应的信息点填涂，不按要 求填涂的，答卷无效。 2．选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需 改动，用橡皮擦干净后，再选其它答案，答案不能答在试题卷上． 3. 非选择题必用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡上个题目的指定 区间内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使 用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答卷无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式： 如果事件 A、B互斥，那么 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)； 球的表面积公式：S=4πR2 如果事件 A、B相互独立，那么 P(A·B)＝P(A)·P(B)； 其中 R表示球的半径 数列{n 2}的前项和公式 球的体积积公式：V= 4 3 πr 3 1 2+22+32+…+n2= ( 1)(2 1)6 n n n  其中 R表示球的半 径 第一部分 选择题（共 50分） 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分 .在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的 奎屯王新敞新疆 1、函数 23( ) lg(3 1)1 xf x xx   的定义域是 A. 1( , )3  B. 1( ,1)3 C. 1 1( , )3 3 D. 1( , )3  2、若复数 z满足方程 2 2 0z   ，则 3z  2006年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 1 A. 2 2 B. 2 2 C. 2 2i D. 2 2i 2006年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 2 3、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A. 3 ,y x x R   B. sin ,y x x R  C. ,y x x R  D. x1( ) ,2y x R  4、如图 1所示，D是 ABC 的边 AB上的中点，则向量CD uuur A. 12BC BA  uuur uuur B. 12BC BA  uuur uuur C. 12BC BA uuur uuur D. 12BC BA uuur uuur 5、给出以下四个命题： ①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条 直线和交线平行， ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行， ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是 A.4 B. 3 C. 2 D. 1 6、已知某等差数列共有 10项，其奇数项之和为 15，偶数项之和为 30，则其公差为 A.5 B.4 C. 3 D. 2 7、函数 ( )y f x 的反函数 1( )y f x 的图像与 y轴交于点 (0,2)P （如图 2所示），则方程 ( ) 0f x  在 [1,4]上的根 是 x  A.4 B.3 C. 2 D.1 8、已知双曲线 2 23 9x y  ，则双曲线右支上的点 P到右焦 点的距离与点 P 到右准线的距离之比等于 A. 2 B. 2 23 C. 2 D. 4 9、在约束条件 0 0 2 4 x y y x s y x       下，当 3 5x  时，目标函数 3 2z x y  的最大值的变化范围是 A.[6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8] 10、对于任意的两个实数对 ( , )a b 和 ( , )c d ，规定： ( , ) ( , )a b c d ，当且仅当 ,a c b d  ；运算“”为： ( , ) ( , ) ( , )a b c d ac bd bc ad    ；运算“”为： ( , ) ( , ) ( , )a b c d a c b d    ，设 ,p q R ，若 (1,2) ( , ) (5,0)p q  ，则 (1,2) ( , )p q  A. (4,0) B. (2,0) C. (0,2) D. (0, 4) 2006年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 3 A D CB 图 1 x y 1 24 3 1( )y f x O 图 2 x y x y s  2 4y x  图 3 O 第二部分 非选择题（共 100分） 二、填空题：本大题共 4小题，每题 5分，共 20分 . 11、 22 4 1lim( )4 2x x x    ________. 12、棱长为 3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______. 13、在 112( )x x 的展开式中， 5x 的系数为________. 14、在德国不来梅举行的第 48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆 “正三棱锥”形的展品，其中第 1堆只有 1层，就一个球；第 2,3,4,L 堆最底层（第一 层）分别按图 4所示方式固定摆放，从第二 层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上， 第 n堆第 n层就放一个乒乓球，以 ( )f n 表 示第 n堆的乒乓球总数，则 (3) _____f  ； ( ) _____f n  （答案用 n表示）. 三解答题：本大题共 6小题，共 80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 15、(本题 14分)已知函数 ( ) sin sin( ),2f x x x x R     . (I)求 ( )f x 的最小正周期； (II)求 ( )f x 的的最大值和最小值； (III)若 3( ) 4f   ，求 sin 2 的值. 16、(本题 12分)某运动员射击一次所得环数 X 的分布如下： X 0 6: 7 8 9 10 P 0 0.2 0.3 0.3 0.2 现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为 . (I)求该运动员两次都命中 7环的概率 (II)求 的分布列 (III) 求 的数学期望 E . 2006年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 4 图 4 … 17、(本题 14分)如图 5所示， AF、 DE分别世 Oe 、 1Oe 的直径， AD与两圆所在的平面均垂直， 8AD  . BC是 Oe 的直径， 6AB AC  , //OE AD . (I)求二面角 B AD F  的大小； (II)求直线 BD与 EF 所成的角. 18、(本题 14分)设函数 3( ) 3 2f x x x    分别在 1 2x x、 处取得极小值、极大值. xoy平面上点 A B、 的坐标分别为 1 1( )x f x（,） 、 2 2( )x f x（,） ，该平面上 动点 P满足 •4PA PB uuur uuur ,点Q是点 P关于直线 2( 4)y x  的对称点.求 (I)求点 A B、 的坐标； (II)求动点Q的轨迹方程. 19、(本题 14分)已知公比为 (0 1)q q  的无穷等比数列  na 各项的和为 9，无穷等比数列  2na 各项的和为 815 . (I)求数列 na 的首项 1a 和公比 q； (II)对给定的 ( 1,2,3, , )k k n L ，设 ( )kT 是首项为 ka ，公差为 2 1ka  的等差数列，求 (2)T 的 前 10项之和； (III)设 ib为数列 ( )kT 的第 i项， 1 2n nS b b b   L ，求 nS ，并求正整数 ( 1)m m  ，使得 lim nmn S n 存在且不等于零. （注：无穷等比数列各项的和即当 n  时该无穷等比数列前 n项和的极限） 20、(本题 12分) A是定义在 [2,4]上且满足如下条件的函数 ( )x 组成的集合：①对任意的 [1,2]x ，都有 (2 ) (1,2)x  ；②存在常数 (0 1)L L  ，使得对任意的 1 2, [1,2]x x  ，都有 1 2 1 2| (2 ) (2 ) | | |x x L x x    . (I)设 3(2 ) 1 , [2,4]x x x    ，证明： ( )x A  (II)设 ( )x A  ，如果存在 0 (1,2)x  ，使得 0 0(2 )x x ，那么这样的 0x 是唯一的； (III) 设 ( )x A  ，任取 1 (1,2)x  ，令 1 (2 )n nx x  ， 1,2,n  L ，证明：给定正整数 k ， 对任意的正整数 p，成立不等式 1 2 1| | | |1 k k p k Lx x x xL      2006年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 5 图 5 A B C F D E O 1O 2006 年高考广东卷(B) 第一部分 选择题（50 分） 1、函数 )13lg(1 3)( 2  xx xxf 的定义域是 A. ),3 1(  B. )1,3 1( C. )3 1,3 1( D. )3 1,(  1、解：由 13 1 013 01      xx x ，故选 B. 2、若复数 z 满足方程 022 z ，则 3z A. 22 B. 22 C. i 22 D. i 22 2、由 izizz 22202 32  ，故选D. 3、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A. Rxxy  ,3 B. Rxxy  ,sin C. Rxxy  , D. Rxxy  ,)2 1( 3、B在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数; D在其定义域内不是奇函数,是减函数;故选A. 4、如图 1所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量 CD A. BABC 2 1 B. BABC 2 1 C. BABC 2 1 D. BABC 2 1 4、 BABCBDCBCD 2 1 ，故选A. 5、给出以下四个命题 ①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条 直线和交线平行; ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面; ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行; ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是 A.4 B.3 C.2 D.1 5、①②④正确，故选 B. 6、已知等差数列共有 10项，其中奇数项之和 15，偶数项之和为 30，则其公差是 A.5 B.4 C. 3 D.2 6、 330255 15205 1 1      dda da ，故选 C. 2006年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 6 7、函数 )(xfy  的反函数 )(1 xfy  的图象与 y轴交于点 )2,0(P (如图 2所示)， 则方程 0)( xf 的根是 x A. 4 B. 3 C. 2 D.1 7、f(x)=0的根是 x 2，故选 C 8、已知双曲线 93 22  yx ,则双曲线右支上的点 P到右 焦点的距离 与点 P到右准 线的距离之比等于 A. 2 B. 3 32 C. 2 D.4 8、依题意可知 3293,3 22  baca ， 23 32 a ce ，故选 C. 9、在约束条件          42 0 0 xy syx y x 下，当 53 s 时， 目标函数 yxz 23  的最大值的变化范围是 A. ]15,6[ B. ]15,7[ C. ]8,6[ D. ]8,7[ 9 、 由         42 4 42 sy sx xy syx 交 点 为 )4,0(),,0(),42,4(),2,0( CsCssBA  ， （1） 当 43 s 时可行域是四边形OABC，此时， 87 z （2）当 54 s 时可行域是△OAC此时， 8max z 故选D. 10、对于任意的两个实数对（a,b）和(c,d),规定（a,b）＝(c,d)当且仅当 a＝c,b＝d;运算 “”为： ),(),(),( adbcbdacdcba  ，运算“”为： ),(),(),( dbcadcba  ，设 Rqp , ，若 )0,5(),()2,1(  qp 则  ),()2,1( qp A. )0,4( B. )0,2( C. )2,0( D. )4,0(  2006年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 7 10、由 )0,5(),()2,1(  qp 得         2 1 02 52 q p qp qp , 所以 )0,2()2,1()2,1(),()2,1(  qp ,故选 B. 第二部分 非选择题（100 分） 二、填空题 11、  )2 1 4 4(lim 22 xxx 11、 4 1 2 1lim)2 1 4 4(lim 222   xxx xx 12、若棱长为 3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 12、  2742 3333 2  RSRd 13、在 112     xx 的展开式中， 5x 的系数为 13、 85112)2()2( 1121111111111111   rrxCxxCT rrrrrr r 所以 x5的系数为 1320)2()2( 3113111111   CC rr 14、在德国不莱梅举行的第 48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准 “正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第 2、3、4、…堆最底层 （第一层）分别按图 4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之 上，第 n堆第 n层就放一个乒乓球，以 )(nf 表示第 n堆的乒乓球总数，则 )3(f ； )(nf （答案用 n表示） . 14、 ( 1)( 2)f (3) 10; ( ) .6 n n nf n    三、解答题 15、（本小题满分 14分） 已知函数 Rxxxxf  ),2sin(sin)(  （Ⅰ）求 )(xf 的最小正周期；（Ⅱ）求 )(xf 的最大值和最小值； （Ⅲ）若 4 3)( f ，求 2sin 的值. 15解： )4sin(2cossin)2sin(sin)(   xxxxxxf （Ⅰ） )(xf 的最小正周期为  21 2 T ; 2006年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 8 （Ⅱ） )(xf 的最大值为 2 和最小值 2 ； （Ⅲ）因为 4 3)( f ，即 16 7cossin2①4 3cossin   , 即 16 72sin  16、（本小题满分 12分） 某运动员射击一次所得环数X的分布列如下： X 0-6 7 8 9 10 Y 0 0.2 0.3 0.3 0.2 现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为 . (Ⅰ)求该运动员两次都命中 7环的概率； (Ⅱ)求 分布列； (Ⅲ) 求 的数学希望. 16解：(Ⅰ)求该运动员两次都命中 7环的概率为 P（7）=0.2×0.2=0.04； (Ⅱ)  的可能取值为 7、8、9、10 P（ξ=7）=0.2×0.2=0.04 P（ξ=8）=2×0.2×0.3＋0.32=0.21 P（ξ=9）=2×0.2×0.3＋2×0.3×0.3＋0.32=0.39 P（ξ=10）=2×0.2×0.2＋2×0.3×0.2＋2×0.3×0.2＋0.22=0.36 ξ分布列为 ξ 7 8 9 10 P 0.04 0.21 0.39 0.36 (Ⅲ) ξ的数学希望为 Eξ=7×0.04＋8×0.21＋9×0.39＋10×0.36=9.07 17、（本小题满分 14分） 如图 5所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8, BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE//AD. (Ⅰ)求二面角 B—AD—F的大小； (Ⅱ)求直线 BD与 EF所成的角. 17、解：(Ⅰ)∵AD与两圆所在的平面均垂直, ∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD是二面角 B—AD—F的平面角， 依题意可知，ABCD是正方形，所以 ∠BAD＝450. 即二面角 B—AD—F的大小为 450； (Ⅱ)以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则 O（0，0，0），A（0， 23 ，0），B（ 23 ，0，0）,D（0， 23 ，8）， E（0，0，8），F（0， 23 ，0） 2006年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 9 所以， )8,23,0(),8,23,23(  FEBD 0 18 64 82cos , 10| || | 100 82 BD FEBD EF BD FE       uuur uuuruuur uuur uuur uuur 设异面直线 BD与 EF所成角为 ，则 1082|,cos|cos  EFBD 直线 BD与 EF所成的角为 10 82arccos 18、（本小题满分 14分） 设函数 23)( 3  xxxf 分别在 1x 、 2x 处取得极小值、极大值. xoy平面上点A、B的 坐标分别为 ))(,( 11 xfx 、 ))(,( 22 xfx ,该平面上动点 P满足 4PA PB uuur uuur ,点Q是点 P关于 直线 )4(2  xy 的对称点. 求(Ⅰ)点A、B的坐标 ； (Ⅱ)动点Q的轨迹方程 18解: (Ⅰ)令 f′(x)=(－x3+3x+2)′=－3x2+3=0解得 x=1或 x=－1 当 x<－1时, f′(x)<0, 当－1<x<1时, f′(x)>0 , 当 x>1时, f′(x)<0 所以,函数在 x=－1处取得极小值,在 x=1取得极大值,故 x1=－1, x2=1,f(－1)=0, ,f(1)=4, 所以, 点A、B的坐标为A(－1,0),B(1,4). (Ⅱ) 设 P(m,n), Q(x,y)，     2 21 , 1 ,4 1 4 4PA PB m n m n m n n            uuur uuur 2 1PQk ， 所 以 2 1  mx ny ， 又 PQ 的 中 点 在 y=2(x － 4) 上 ， 所 以 2 42 2 y n x m      消去m,n得(x－8)2+(y+2)2=9 19、（本小题满分 14分） 已知公比为 )10(  qq 的无穷等比数列 }{ na 各项的和为 9，无穷等比数列 }{ 2na 各项的和为 5 81 . 2006年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 10 (Ⅰ)求数列 }{ na 的首项 1a 和公比q； (Ⅱ)对给定的 ),,3,2,1( nkk  ,设 )(kT 是首项为 ka ，公差为 12 ka 的等差数列. 求数列 )(kT 的前 10项之和； (Ⅲ)设 ib 为数列 )(iT 的第 i 项， nn bbbS  21 ，求 nS ，并求正整数 )1( mm ， 使得 m Sn n  lim 存在且不等于零. (注：无穷等比数列各项的和即当 n 时该无穷数列前 n项和的极限) 19解: (Ⅰ)依题意可知,              3 2 3 5 81 1 91 1 2 12 1 q a q a q a (Ⅱ)由(Ⅰ)知, 1 3 23     n na , 所以数列 T(2)的的首项为 t1=a2=2,公差 d=2 a2－1=3, 15539102 121010 S ,即数列 T(2)的前 10项之和为 155. (Ⅲ)            121 2 1 2 1 1 3 2 1 ( ) 13 ii i i ib a i a i a i i i            ，    2 1 3 2271845    nnnS n n ，  145 18 27 2lim lim ( ) ,3 2nnm m m mn n n nS n n n n n     当m=2时， 1lim 2 n mn S n   ，当m>2时， lim 0 n mn S n  ，所以m=2 20、（本小题满分 12分） A是由定义在 ]4,2[ 上且满足如下条件的函数 )(x 组成的集合：①对任意 ]2,1[x ， 都有 )2,1()2( x ； ②存在常数 )10(  LL ，使得对任意的 ]2,1[, 21 xx ，都有 |||)2()2(| 2121 xxLxx   （Ⅰ）设 ]4,2[,1)( 3  xxx ，证明： Ax )( 2006年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 11 (Ⅱ)设 Ax )( ,如果存在 )2,1(0 x ,使得 )2( 00 xx  ,那么这样的 0x 是唯一的; (Ⅲ)设 Ax )( ,任取 )2,1(lx ,令 ,,2,1),2(1  nxx nn  证明:给定正整数 k,对任意 的正整数 p,成立不等式 ||1|| 12 1 xxL Lxx k klk    解：（Ⅰ）对任意 x∈[1,2], ]2,1[,21)2( 3  xxx , 3 3 3 33 (2 ) 5 1 3 5 2x     ， 所以 φ（2x)∈（1,2），对任意的 x1, x2∈[1,2]，        23 23 213 212121 112121 2|||)2()2(| xxxx xxxx    ，        23 3 31 1 2 21 2 1 2 1 1 >3x x x x     而 ，         223 3 31 1 2 2 2 20 ,31 2 1 2 1 1x x x x         所以，         223 3 31 1 2 2 2 L 0 1 1 2 1 2 1 1 L x x x x          令，（） |||)2()2(| 2121 xxLxx   , 所以 φ（x)∈A. (Ⅱ) (反证法) 设存在两个 x0，x0ˊ∈（1，2），x0≠x0ˊ使得 x0=φ（2x0), x0ˊ=φ（2x0 ˊ) 则由 / / / /0 0 0 0 0 0 0 0| (2 ) (2 ) | | | | | | |x x L x x x x L x x        ， 所以 L≥1，矛盾，故结论成立。 3 2 2 1 2 1(2 ) (2 )x x x x L x x     （Ⅲ） ， 11 2 1nn nx x L x x   所以       ||1|| 12 1 1211 xxL Lxxxxxxxx k kkpkpkpkpkkpk     kkpkpkpkpk xxxxxx   1211  2 3 1 2 1 2 1 2 1...k p k p kL x x L x x L x x           12 1 1 xxL LK   2006年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 12