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2017年4月27日 2006 届北大附中深圳分校 高三数学模拟试卷二 北大附中深圳南山分校 高三数学组 倪 杰 同 学 们 好 ！ 第Ⅰ卷（选择题 共 60分） 一、选择题（每小题 5分，共 10小题，共 50分） 2. 函数 y = x－ ln(1+x)的单调递减区间为 （ A）（－∞，－ 1） （ B）（－ 1， +∞） （ C）（－ 1， 0） （ D） （ 0， +∞） A C C 3.在等差数列 {an}中， a1 + a2 + … + a50 = 200， a51 + a52 + … + a100 = 2700，则 a1等于 （ A）－ 1221 （ B）－ 21.5 （ C）－ 20.5 （ D）－ 20 1. i100－ ( )5 + ( )4 = （ A） i （ B）－ i （ C） 1 （ D） 1+ i 1 1 i i   1 2 i 2 2x y 16 2  2 2x y 13   1 4 4. 设椭圆 和双曲线 的公共焦点为 F1、 F2 ， P为两曲线的一个交点，则 cos F∠ 1PF2的值等于 （ A ） (B) (C) (D) 1 3 1 9 3 5 B x y OF1 F2 P 请 您 认 真 看 图 ！ 5.若一个直角所在平面外一点到直角顶点的距离是 17，到直角两边的距离是 13，则该点到直角所在平面 的距离为（ A） 7 （ B） 8 （ C） 9 （ D） 10 A D6. 已知函数 是周期为 4的偶函数，则 f（ 6.6） = （ A） 0.36 （ B） 0.4 （ C） 0.24 （ D） 0.6 2 0 1 ( ) 2 1 2 x x f x x x         x y O 1 2 f（ 6.6） =f(2.6)= f(-1.4) = -1.4+2=0.6-1 C 7. ABC△ 的内角 A满足 sinA + cosA＞ 0，且 tanA－ sinA＜ 0则 A的取值范围是 (A) (0 ， ) (B) ( ， ) （ C） ( ， ) (D) ( ， )4  4  4  3 4  2  3 4  2  1 3 1 2 8.设 n≥2，若 an是 (1+x)n展开式中含 x2的系数，则 （ A） 2 （ B） 1 （ C ） （ D ） 2 3 1 1 1lim( )a a ax n    L A O C A B C 由题设知∠ ABC=900， AB= ， AC=BC=R， ∴△ ABC 直角三角形 . 2 2 D 球心 O到平面 ABC的距离为 OD. 2 2 R 9.半径为 R的球面上，有 A、 B、 C三点， A和 B间 的球面距离为 ， A和 C、 B和 C之间的球面距离 都是 ，则球心 O到平面 ABC的距离为 （ A ） （ B ） （ C ） （ D） 2 R  2 3 R 3 3 R 3 2 R 3 R A B O 1.设地球的半径为 R，球心为 O，点 A 在东经 230，北纬 600，点 B 在东经 1130，北纬 600处，则 A、 B两点间的球 面距离 L为 ______. O1 O C B A 8 6 4 5 2.在三棱锥 O-ABC 中， OA=8， AB=6， AC=4， BC=5，∠ OAC=450，∠ 0AB=6 00，则 OA与 BC夹角的余弦 值为 _____. O1 课后思考题 D 10.课程改革后，向 100名老师调查对教材新旧版本 的态度，有如下结果：赞成旧版本的人数是全体的五 分之二，其余的不赞成，赞成新版本的比赞成旧版本 的多 30人，对新旧版本都赞成的老师数比对新旧版 本都不赞成的老师数的 3倍多 2人，则对新旧版本都 赞成的老师人数为 （ A） 11 （ B） 12 （ C） 13 （ D） 14 A B {A }赞成旧版本的人 ; {B}赞成新版本的人； A∩B新 旧版本都赞成的人为 x； A B∪ 新旧版本都不赞成的 人 . A∩B A B∪ 40 人 70 人 由题意得 3[100-(110-x)]+2=x，解得 x=14. 美 丽 心 情 第Ⅱ卷（非选择题 共 100分） 二．填空题：（本大题共 4小题；每小题 5分，共 20分） 11.不等式 的解集为 {x | x＜ 1或 x＞ 2}，那么 a的值等于 _____. ax 1x 1  12.已知椭圆 x2+4y2=4的长轴 A1A2，短 轴 B1B2，将坐标平面沿 y轴折成一个二 面角，使 A1点在平面 B1A2B2上的射影 恰好是该椭 圆的一个焦点，则此二面角 的大小是 _____.13.已知 (x2 + 2x－ 3)5 = a10x10 + a9x9 + … + a1x +a0, 则 a1 = _____. 14. “数学拓展课上，老师定义了一种运算 *”，对于 n N∈ +满足以下运算性质：（ 1） 2*2 = 1，（ 2） （ 2n + 2） * 2 = 3（ 2n * 2） . 则 2n*2用含 n的代数 式表示为 ____. 0.5 300 810 3n- 1 C512·C44（ -3） 4=810 x y O {2n*2}是首项是 2*2 = 1 ，公比为 的等比 数列 . 1 3 三、解答题：（共 6小题，共 80分） 2 3  5( ,0)9  （ 15）（本小题满分 12分）已知函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0 ， |φ|<π) 的最小正周期为 , 最小值为 － 2，图像过点 ，（ 1）求该函数的解 析式； （ 2）当 φ为锐角时 ,求函数图像的对称轴方程及单 调区间 .解：（ 1） A=2, , ω=32 23T   5 5sin(3 ) 0 (k z).9 3k        又φφ 5k 2n k z 2 2( 1) ,3 3n n         若，,则φ , ,3  φφ 5 22 1, 2 23 3k n n Z n n           若，则φ 2 3    Q φ，φ， 22sin(3 ) 2sin(3 ).3 3y x y x     故或 2 5 22 3 2 ( )2 3 2 3 18 3 18k x k k x k k Z                   3 2 2 72 3 2 k z).2 3 2 3 18 3 18k x k k x k                  ( 13 k ( ),3 2 3 18x x k k Z           2sin(3 )3y x  （ 2）当 φ为锐角时， 　 2sin(3 )3y x   2 5 2[ , ](k z).3 18 3 18k k      故函数 的单调增区间为 2 2 7[ , ](k z),3 18 3 18k k     单调减区间为 1 (k z).3 18x k    对称轴方程为： （ 16）（本小题满分 13 分） 已知：在正三棱柱 ABC—A1B1C1中， AB = a， AA1 = 2a . D是侧棱 BB1的 中点 . 求证：（Ⅰ）求证：平面 ADC1⊥平面 ACC1A1； （Ⅱ）求平面 ADC1与平面 ABC所成二面角的大小 ； （Ⅲ）求点 B到平面 ADC1的距离 .证明：解法一： （Ⅰ）取 AC、 A1C1的中点 N、 N1，连结 NN1交 AC1于 M，连 MD，则 NN1 //CC1 , NN1 = CC1于是 NM //BD， NM = BD，∴ BDMN是 矩形， DM BN,∥ DM 平面 ADC1, 因此平面 ADC1⊥平面 ACC1A1 ∵ABC—A1B1C1是直三棱柱 , ∴ 平面 ABC⊥平面 ACC1A1 N1 N M A B1 C A1 B C1 D ∵BN AC⊥ ，∴ BN⊥平面 ACC1A1 2 ABC 3( ) a ,4S QⅡ 1 3 a, 5 ,2DM BN AC a   1 2 ADC 1 1 15AC DM a2 4S    ， 1 2 ABC 2ADC 3 aS 54cos .S 515 a4       5arccos .5  1ADC ABCS cosθS , V由 其中 θ是平面 ADC1与平面 ABC所成二面角的大小 N1 N M A B1 C A1 B C1 D 平面 ADC1与平面 ABC所成二面角的大小为 5arccos .5  （Ⅲ）作 NQ AC⊥ 1于 Q，∴ NB MD∥ ，MD 平面 ADC1  ∴NB∥平面 ADC1，因此点 B 到平面 ADC1的距离等于点 N 到平面 ADC1的距离，即为 NQ 的长， 在直角三角形 ACC1中，过 C点 作斜边 AC1的高为 h，由 AC1×h = AC·CC1 ， 即： a × h = a×2a.52 1 1 5, h a a,2 55 5h QN     5 a.5 即 B点到平面 ADC1的距离为 : N M A B1 C A1 B C1 D Q h 如果我们时时能用感恩的心来看这个世 间， 则会觉得这个世间很可爱、很富有 ! 树上小 鸟 的轻唱，太阳无私的光明与热能，路旁花朵 的 芬芳，都会令你感到心旷神怡。 解法二：（Ⅰ）以 A点为 原点， AA1为 z轴， AB为 y轴， 过 A点与 AB垂直的直线为 x轴 ，如图建立空间直角坐标系 . 则 A(0,0,0), B（ 0, a, 0 ), 1 3 1 3 1( a, a,0),D(0,a,a), ( a, a,2a).2 2 2 2C C 取 AC1的中点 M，则 3 1( , , )4 4M a a a 1 3 1 3 1AC ( a, a,2a),AC ( a, a, 0),2 2 2 2  uuur uuur 3 3DM ( a, a, 0),AD (0, , ), (0, ,0).4 4 a a AB a    uuuur uuur uuur 1 3 3 1 3AC DM a a a ( a) 2a 0 0,2 4 2 4         uuur uuuur 3 3 1 3AC DM a a a ( a) 0 0 0.2 4 2 4         uuur uuuur ∴AC1 DM⊥ ， AC DM ⊥ , DM∴ ⊥平面 ACC1A1, 又 DM 平面 ADC1, ∴平面 ADC1⊥平面 ACC1A1.  M A B1 C A1 B C1 D X Y Z M A B1 C A1 B C1 D X Y Z （Ⅱ）设平面 ADC1的法向量 n1=（ x， y， z） 11 3 1AC n ( a, a , 2a) ( , , )2 2 x y z   uuur r ， 1AD n (0, , ) ( , , ) 0,a a x y z   uuur r 3 1 x 3yax ay 2az 02 2 y zay az 0            即： 1n ( 3a, a, a)  r不妨取， 平面 ABC的法向量为 2 1n AA 0 0 2 )a r uuur （，，， 平面 ABC的平面 ADC1的夹角为 θ 21 2 22 2 2 21 2 n n ( 3a) 0 ( a) 0 (a 2a) 2a 5cos 5| n | | n | 2 5 a3a a a 4a               r r r r ， 平面 ADC1与平面 ABC所成二面角的大小为 5arccos .5 （Ⅲ）点 B到平面 ADC1的距离为 d， 21 2 2 21 | AB n | | (0, a , 0) ( 3a, a, a) | a | n | 5 5 a.5a3a a a d         uuur r r则 （ 17）（本小题满分 13分）一些零件中有 10个合 格品与 3个次品，安装机器时，从这批零件中任取一 个 . 各个零件被抽到的可能性相同，如果每次取出的 产品都不放回此批产品中，求：（Ⅰ）直到取出合格 品为止时所需抽取次数 ξ的分布列和 Eξ；（Ⅱ）在 取得合格品以前已取出的不合格品数 η的分布列和 Eη. （精确到 0.01） 当 ξ= 1时，即只取一次就取到合格品 , ∴P（ ξ= 1） =10 ;13 解：（Ⅰ） ξ的取值为 1， 2， 3， 4 当 ξ= 2时，即第一次取到次品，而第二次取到合格品， 3 10 5 .13 12 26 ∴P（ ξ= 2） = 3 2 10 5 ,13 12 11 143  类似地 , P(ξ= 3)= 3 2 1 10 1 .13 12 11 10 286   P(ξ= 4)= ∴ η的分布列为 ξ 1 2 3 4 P 10 5 5 11 2 3 4 1.27.13 26 143 286E         （Ⅱ） η的取值为 0， 1， 2， 3.就是说 ξ= 1 时， η= 0 ξ= 2时， η= 1, ξ= 3时， η= 2,ξ= 4时， η= 3 ∴η=ξ－ 1 Eη= E（ ξ－ 1） = Eξ－ 1= 1.27－ 1= 0.27 ∴ξ的分布列为 η 0 1 2 3 P 10 13 5 26 5 143 1 286 10 13 5 26 5 143 1 286 (18)（本小题满分 14分）已知点 M（ x0， f(x1)） 是函数 f(x) = , x (0∈ ， +∞)图象 C上的一点，记曲线 C在点 M处的切线为 l. （Ⅰ）求切线 l的方程； （Ⅱ）设 l 与 x轴， y轴的交点分别为 A、 B，求△ AOB周长的最小值 . 1 x 12 2 1 1 1f (x) , k=f (x ) ,x x    解：(Ⅰ) （ 2分） ∴ 切线方程为 : 12 1 1 1 1 (x x ).x xy     2 1 1 1 2y x .x x  即： （ 4分） 12 1 1 1 2x y 0 x 2x ,x xy   （Ⅱ）在中，令= , = ∴A（ 2x1， 0） 1 2 xy 令 x = 0，得 1 2 x ∴ B（ 0 ， ) ∴△AOB的周长 2 21 1 1 1 2 22 (2x ) ( )x xm x    2 1 1 12 1 1 12( x ), x (0, ),xm x      （ 6分） 1 1 x令 t = x1 + , x∵ 1∈（ 0， +∞ ） ∴ t≥2 （ 8分） ∴ 当 t = 2，即 x1 = 1 时， m 最小 = 2(2 + ) 故△ AOB的周长的最小值是 4+2 （ 12分） 2 走 进 北 大 走 进 附 中 OF FQ 1 uuur uuur OF FQuuur uuur与3 c4 （ 19） (本小题满分 14分 ) 如图，已知：△ OFQ的 面积为 S ，且 （Ⅰ）若 0.5＜ S＜ 2，求向 量 的夹角 θ的取值范围；（Ⅱ）设 OF= c(c≥2), S = ，若以点 O为中心， F为焦点的椭圆 经过点 Q，当 |OQ|取得最小值时，求此椭圆方程 . O Q F （Ⅰ）由已知得 1S | OF | | FQ | sin( )2 1 | OF | | FQ | cos          uuur uuur uuur uuur ∴tanθ= 2S, 又 0.5＜ S＜ 2, 1∴ ＜ tanθ ＜ 4 4  则 ＜ θ＜ arc tan4 （ 4分） 解：设 OF与 FQ的夹角为 θ （Ⅱ）以 O为原点， OF所在直线为 x轴 . 如图建立 直角 坐标系 . 设椭圆方程为 （ a＞ b＞ 0） 2 22 2x y 1a b  点 Q（ x， y ），则 FQ =（ x－ c， y） x y 因为△ OFQ 的面积为 （ 6 分） 1 3| OF | 3y= ,y c , 2 4 2  uuur OF FQuuur uuur 又 =（ c， 0） ·（ x－ c， y） = c（ x－ c） =1 ∴ x = c + （ 8分） 1c 2 2 21 9| OQ | x y (c ) , c 2.c 4      uuur | OQ |uuur∴ 当且仅当 c = 2时， 最小 （ 10分）5 3( , )2 2此时 Q的坐标为 2 2 2 2 25 9 14a 4b a b 4      由此可得 , 解方程组可得 a2=10,b2=6 . 2 2x y 110 6 ∴ 椭圆方程为 （ 12分） （ 20）（本小题满分 14分） 64个正数排成 8行 8列 ，如下所示组成一个数阵 . a11 a12 a13 … a18 a21 a22 a23 … a28 a31 a32 a33 … a38 …… …… …… a81 a82 a83 … a88 由已知 a24 = a14·q =（ a11 + 3d） ·q = 1a32 = a12·q2 =（ a11 + d） ·q2 =0.25 (4 分） a24a32 联立方程，解得： d =0.5 q =0.5 （ 6分 ）∴aij = a1j·q i-1= [a11+(j－ 1)d]·q i-1= j·(0.5)i ( 8分） 1 21 4 在符号 aij（ 1≤i≤8， 1≤j≤8）中， i表示该数所在的行 数， j表示该数所在的列数 . 已知每一行数都成等差 数列，而每一列数都成等比数列（每列公式 q都相 等） a11 = ， a24 = 1， a32 = ( )Ⅰ 求 aij的通项公式 ;( )Ⅱ 记第 k行各项和为 Ak，求 A1的值及 Ak通项公式 ;( )Ⅲ 若 Ak＜ 1，求 k的值 . 解：（Ⅰ）设第一行公差为 d，各列的公比为 q , k 36 2 Ak = ak1 + ak2 + ak3 + … +ak8 = a11·q k-1+ a12·q k-1+a13·q k-1+ … + a18·q k-1 = q k-1 (a11 + a12 + … +a18) = (0.5)k-1·18 = （ 12分 ） k 36 2（Ⅲ）∵ Ak＜ 1 即 ＜ 1 有 k≥6，又 k≤8 ∴k的值是 6， 7， 8. （ 14 分） （Ⅱ） A1 = a11 + a12 + a13 + a14 + … +a18 =（ 0.5+4） ×4 = 18 （ 10 分） 英国作家萨克雷说：“生活就是一面镜子，你 笑，它也笑；你哭，它也哭。” 一个不懂得感恩的人 , 即使家财万贯 , 他仍是 个贫穷的人 ; 懂得感恩并知恩报恩才是天下最 富有的人。 奋斗者不一定成功 , 不奋斗者一定不 成功 ! 教师寄语 : 斗奋