0 0 类别 : 教案

第十四教时 二项式定理(四) 【教材】10.4二项式定理 【目的】1.进一步掌握二项式系数的性质. 2.会利用二项式系数的性质解决一些实际问题,提高学生分析问题、解 决问题的能力和创造能力,为今后进一步学习概率中的二项分布打下 良好的基础. 【过程】： 一、复习引入 复习二项式系数的三条性质,再次指出,它们可由杨辉三角看出.多媒体 出示: 1)( ba  ………………………………………1 1 2)( ba  ……………………………………1 2 1 3)( ba  …………………………………1 3 3 1 4)( ba  ………………………………1 4 6 4 1 5)( ba  ……………………………1 5 10 10 5 1 6)( ba  …………………………1 6 15 20 15 6 1 …… …… …… 我们看到表中除 1以外的每一个数都等于它肩上的两个数之和,利用这 一性质,可以根据 nba )(  的各二项式系数写出 1)(  nba 的各二项式系数, 这也可以算作二项式系数的第四条性质——递推性. 二、新课——二项式系数性质的应用 例1 ①有1元、2元、5元、50元、100元的人民币各一张,取其中的一张或 几张,能组成多少种不同的币值? ② 7个电阻串联在一起连成一串,中间只要有一个坏了,这串电阻 就失效,因电阻损坏而失效的可能性种数是多少? 指出:本例是组合应用题,两小题思路相类似. ① 63126662616  CCC  种 ② 仿照①,共有127种. 例 2 在 10)32( yx  的展开式中,求: ①二项式系数的和; ②各项系数的和; ③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤ x的奇次项系数和与 x的偶次项系数和. 分析:因为二项式系数特指组合数 rnC ,故在①,③中只需求组合数的和, 而与二项式 yx 32  中的系数无关. 设 10102829110010)32( yayxayxaxayx   (*), 各项系数和即为 1010 aaa   ,奇数项系数和为,偶数项系数和为 9531 aaaa   , x的奇次项系数和为 9531 aaaa   , x的偶 次项系数和 10420 aaaa   .由于(*)是恒等式,故可用“赋值 法”求出相关的系数和. ①二项式系数和为 101010110010 2 CCC  . ②令 1yx ,各项系数和为 1)1()32( 1010  . ③奇数项的二项式系数和为 91010210010 2 CCC  ,偶数项的二项式 系数和为 9910310110 2 CCC  . ④设 10102829110010)32( yayxayxaxayx   , 令 1yx ,得到 110210  aaaa  …(1), 令 1x , 1y (或 1x , 1y )得 10103210 5 aaaaa  …(2) (1)+(2)得 101020 51)(2  aaa  ,∴奇数项的系数和为 2 51 10 ; (1)-(2)得 10931 51)(2  aaa  ,∴偶数项的系数和为 2 51 10 . ⑤ x的奇次项系数和为 2 51 10 9531  aaaa  ; x的偶次项系数和为 2 51 10 10420  aaaa  . 指出:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和 与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的 常规方法之一. 引伸:①求 6102 )1()1( xxx  展开式中各项系数的和.(令 1x ,得答案: 0) ② 若 7722107)21( xaxaxaax   , 则  710 aaa  ,  6420 aaaa ,  7531 aaaa ,  710 aaa  . ③ nxxx )1()1()1( 2   的展开式中的各项系数之和为 .( 22 1 n ) ④设 121111112084 )3()3()3()4()1( axaxaxaxx   , 求:(1) 12210 aaaa   的值;(2) 12420 aaaa   的值. ( 令 2x , 得 1221084 2)1( aaaa   , 即 2562812210  aaaa  . 令 4x , 得 1221084 0)3( aaaa   , 即 012210  aaaa  ,故 128)0256(2 1)]()[(2 1 122101221012420  aaaaaaaaaaaa  ) 例 3 已知 nxx 223 )(  的展开式的系数和比 nx )13(  的展开式的系数和大 992,求 nxx 2)12(  的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的 绝对值最大的项. 分析:由题意 992222  nn ,解得 5n . ① 10)12( xx  的展开式中第6项的二项式系数最大, 即 8064)1()2( 55510156   xxCTT . ②设第 1r 项的系数的绝对值最大, 则 rrrrrrrr xCxxCT 21010 10 10 101 2)1()1()2(   ∴        1101 10 10 10 1101 10 10 10 22 22 rrrr rrrr CC CC ,得        1 1010 1 1010 2 2 rr rr CC CC ,即     rr rr 10)1(2 211 ∴ 3 11 3 8 r ,∴ 3r ,故系数的绝对值最大的是第4项. 三、小结 四、作业