球的直观图画法和球的表面积教案
教学目标
1．掌握球的正等测画法；
2．熟记球的表面积公式；
3．激发学生研讨公式的兴趣和掌握推导方法，从而培养学生的空间想象能
力，逻辑思维能力和转化能力．
教学重点和难点
重点：球的表面积及表面积公式的推导．
难点：球表面积公式的推导．
教学设计过程
一、复习提问
师：圆的直观图用什么方法画出的．
生：（思考片刻，要求学生答出）一般不用斜二测，而用正等测画．
师：用正等测画圆的直观图规则是什么？
生：（要求思考1分钟后回答）
1．在已知图形⊙O中，互相垂直的轴Ox，Oy画直观图时，把它们画成对应
的轴O＇x＇，O＇y＇，使∠x＇Oy＇=120°（或60°）．
2．已知图形上平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x＇
轴或y＇轴的线段．
3．平行于x轴或y轴的线段、长度不变．
二、讲新课
1．球的直观图的画法：
师：我们学习了圆的直观图的画法，球和圆有何不同．
生：球是立体图形，圆是平面图形．
师：那么球的直观图是否和圆的直观图画法类似．
生：（学生思考后，举手回答）应有三个坐标轴．
师：你怎么考虑的．
生：因为圆是平面图形，两条相交直线确定平面，球是立体图体，只有三
条互相垂直的直线才能确定空间．
师：以上同学回答得很好，球是立体图形，它需要在三维空间中完成．讲
解课本p．84例 2，画半径为R的球的直观图．画法：（略）
2．球的表面积．
师：圆的面积是多少？
生：（异口同声回答）S=πR2
师：圆的面积S=πR2，是怎样得来的，你知道吗？
生：书上告诉的．（全班学生大笑）
师：对了，这个结论是书上直接给出的．因为我们所学的知识还无法来解
决它的推导过程，待今后继续深造来解决．
师：我们今天来学习球的面积公式．同学们要特别注意知识的形成过程．
师：（让学生目测实心半球）是半球面积大，还是底面的大圆面积大？
（培养学生的观察能力和估算能力）
（全班学生积极发言，充分调动了回答问题的积极性，这个问题较易回
答）
师：（同学们再目测一下）看看上面的面积是大圆面积的几倍（估算一
下），是6倍吗？（部分学生回答不可能）
师：是4倍吗？
（教室里肃静，仍有一部分学生回答说：可能性不大）
师：是2倍吗？
生：差不多！
师：上面的面积正好是下面底面大圆的2倍．为什么是2倍呢？正是我们
今天解决的问题．
师：圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，都是利用它的展开图求出的，由于球
面不能展开成平面图形，所以球的表面积公式无法用展开图求出，为了求得球
的表面积公式，我们先来证明一个预备定理：
定理 球面内接圆台（圆台上、下底面是球的两个截面）的高为 h，球心到
母线的距离为p，那么圆台的侧面积为2πph．
已知：球面O的内接圆台的高 O1O＇=h，球心O到母线 AD的距离 OE=p
求证：S 圆台侧=2πph．
师：同学们考虑上式是比例式，在平面几何中怎样证明比例呢？
生：利用相似形或平行线分线段成比例定理．
师：这个题用什么方法证好呢？
生：相似三角形．
师：证哪两个三角形相似？
生：（学生沉思，教师提示）只要证明△ADD＇∽△OEE＇即可，
（如图2）
师：（大家观测）上面回答对吗？
生：（部分学生回答）对的．
师：哪位同学起来回答为什么？
生：（一位中等成绩的学生回答说）
师：这两个三角形相似是很容易证明的．
（课本中“注意”二字，这个结果对于球的内接圆柱、圆锥同样成立．应引
起教师的注意，要求学生练习）
师：下面证明定理：
球面面积等于它的大圆面积的4倍．即：
S 球面=4πR2
（在投影片上画出课本图2－48，并且画得大些）
师：将半球面上的半大圆 ANB分成2n等分，用过各分点平行于半球大圆面
的平面将半球分为多少部分，是2n部分吗？
生：（个别学生答，是2n部分，即注意力不集中的学生）不是．
师：那么是几部分呢？
生：是 n部分．
师：这 n部分是什么图形呢？
生：（一少部分回答说 n个圆台）n-1个圆台，一个圆锥．
师：我们作这些圆台的高，分别为 h1，h2，h3，…，hn．球心到它们母线的
距离是否相等．
生：（部分学生认为不相等，教师准备作好引导的作用）相等的．
师：设这个距离为p，由预备定理可得这些圆台圆锥的侧面积的和是多少？
生：（全班学生思考，教师提示）
S＝2πph1＋2πph2＋…＋2πphn
＝2πp（h1+h2＋…＋hn）
师：同学们认真分析，h1＋h2＋h3＋…＋hn和应是多少．
生：ON，即球的半径R．
师：所以S=2πp·R．
师：如果分点无限增加，侧面积怎样变化．
生：（这时教师需提示）侧面积无限地接近半球面．（教师对无限地应解
释，学生第一次接触这个名词）
师：分点无限增加，p与 R有什么关系．
生：p无限地接近 R．
师：此时侧面积的和S变为2πR2，我们把这个和作为半球面的面积，即 S
球面=4πR2．
例 已知：圆柱的底面直径与高都等于球的直径．
求证：（1）球的表面积等于圆柱的侧面积．
师：圆柱的侧面积是什么？
生：底面周长乘以高，即 S=c·h．
师：在本题中底面周长是什么？
生：c=2πR．
师：高是什么．
生：h=2R．
师：所以圆柱侧面积为S=4πR2．
（这样问题（1）得证，证明过程要求学生下去练习完成）
师：圆柱的全面积是侧面积加两个底面积．那全面积是多少呢？
练习：
1．球的大圆面积扩大到原来的4倍，那么球的表面积扩大到原来的
[ ]
2．三个球半径之比是1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面
积之和的
[ ]
作业：
p．92.6，7．
家庭作业：
1．阅读课文．（巩固知识的形成过程加深理解记忆）
2．对于课文把半球的半大圆 ANB分成2n等分．如果对球半径 n等分行不
行．
课堂教学设计说明
1．本节课完成了两个内容，一是球的直观图画法，二是球表面积公式及其
推导．教案整体构思是要突出教师为主导，学生为主体，学生参与整个教学过
程，克服学生上课走神的现象．常此以往，能调动学生学习积极性和主动性．
2．重视知识的形成过程，培养学生逻辑推理能力和大胆猜想能力，因为发
现问题要比解决问题更重要．数学这门学科不能仅仅作为工具去教学．不能把
知识的结论抛给学生，使学生记住结论会演算两道题就行了．而是要培养学生
在提高思考能力上下功夫．教学上要力戒“奉送真理，灌注真理”的做法。
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