复数与方程教案
教学目标
1．掌握在复数集内解一元二次方程的方法；使学生掌握含有未知数
的解法．
2．教学过程中，渗透数学转化思想及方程的思想，提高学生灵活运用数学
知识解题的能力；培养学生严谨的逻辑思维．
3．通过对实系数一元二次方程在实数范围内求解和在复数范围内求解的比
较，认识到任何事物都是相对的，而不是绝对的这一辩证唯物主义的观点．
教学重点与难点
个复数相等的充分必要条件的运用．
教学过程设计
师：方程x2+1=0在复数范围内有没有解，解集是什么？
生：因为-1=i2，则原方程化为x2-i2=0，即（x+i）（x-i）=0．所以原方程
解集为{i，-i}．
师：对．那么方程ax2＋bx＋c=0（a，b，c是实数）在复数范围内解集是
什么？
生1：当 Δ=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实根，解集为
师：方程x2＋1=0中，Δ=-4＜0，上述结论对吗？
生3：无意义．此时方程的解集为
师：对．实系数一元二次方程ax2＋bx＋c=0在复数范围内解的情况为：当
Δ≥0时有实根；当 Δ＜0时，有一对共轭的虚根．
例1 若关于x的方程x2+5x+m=0的两个虚数根x1，x2满足|x1-x2|=3，求实数
m的值．
生2：因为|x1-x2|=3，|（x1-x2）2|=9；则|（x1＋x2）2-4x1x2|=9，即|25-
4m|=9．
例2 已知实系数一元二次方程2x2＋rx＋s=0的一个根为2i-3，求r，s的
值．
生：2x2＋rx＋s=0一根为2i-3，另一根为-3-2i．由韦达定理知：
s=（2i-3）（-2i-3）=9＋16=25，
r=2i-3+（-2i-3）=-6．
师：我们上面解决了实系数一元二次方程求解问题．对于至少有一个系数
是虚数的一元二次方程应该如何解？
例3 求方程x2-2ix-5=0的解．
生1：将方程左端配方，得（x-i）2-4=0，即（x-i）2=4．解得x-i=±2，即
x1=2+i，x2=-2+i．
师：通过这个例子大家想一想对于方程ax2＋bx＋c=0（a≠0，a，b，c至
少有一个虚数）解是什么？
生1：对原方程左端配方，得
师：b2-4ac一定是解负实数吗？
生2：不一定．a，b，c中至少有一个是虚数，所以b2-4ac∈C．
师：那么这个方程的解应该怎样表示．
生3：先求b2-4ac的平方根．设b2-4ac的平方根为z1，z2∈C．那么
师：对．一元二次方程的求根公式此时仍然适用．再提一个问题，当b2-
4ac≥0时，方程的解都是实数吗？
生1：是．
师：请问由此得出怎样的结论．
生3：当一元二次方程的系数中至少有一个虚数时，求根公式仍然适用，
但判别式不再适用．
师：还有吗？
生4：韦达定理仍然适用．
师：系数不全为实数的一元二次方程中，判别式不再适用，说明“世界上
的任何事物都是相对的而不是绝对的”这一辩证唯物主义观点．求解系数不全
为实数的一元二次方程的步骤：
（1）求出 Δ=b2-4ac的平方根z1，z2；
练习 解方程：x2＋（1＋i）x＋5i=0．
生：Δ=[-（1＋i）]2-4×5i=-18i，
因为 -18i=（3-3i）2，
则 -18i的平方根为3-3i，-3＋3i．
所以 x1=1-2i，x2=2＋i为原方程解．
例4 解方程|z|+2z=2+4i．
师：解这个方程能用求根公式吗？
生1：不可以．此方程不是一元二次方程．
师：这类方程如何解呢？
生：……
师：观察方程等号左端和左端．左端是一个虚数，实部、虚部都是已知的，
右端是复数．两个复数相等的充要条件是什么？
生2：两个复数相等的充要条件是：实部与实部相等，虚部与虚部相等．
师：这个方程左端能分离实部虚部吗？
师：怎样求z？
生4：求出a，b即可．
众生：不对！
师：为什么？
师：含有|z|的复数方程，转化为无理方程组时，所求出方程组的解一定要
代回原方程组验根．
例5 方程x2+（m+2i）x+2+mi=0至少有一实根，求实数m的值和这方程的
解．
生1：方程有实根，判别式 Δ≥0，从而解出m．
生2：这是一个系数不全为实数的一元二次方程，根的判别式已不再适用．
师：对．那么方程有实根这一条件应如何用呢？
生：……
师：设实根为x0，想到什么呢？
生：分离复数的实部和虚部．
综上所述：
生1：设x=a＋bi．原方程转化为：
a2＋b2＋2a＋2bi=4＋2i．
所以 原方程的解为：x1=-3＋i或 x2=1-i．
师：这位同学解题过程有问题吗？
生2：设x=a＋bi（a，b∈R）．没有“a，b∈R”这一条件，上面的解法就
无依据了．
师：我们一定要注意思维的严谨性．
师：形如anxn＋a0=0（a0，an∈C且 an≠0，n∈N+，n≥3）的方程叫做二项方
程．任何一个二项高次方程都可以化成 xn=a（a∈C）的形式．因此都可以通过
复数开方求根，在复数集内有且仅有 n个复数根．
例6 在复数集内解方程：
x4＋x2＋x2＋x＋1=0．
师：这个方程与二项方程有关系吗？
生：方程左端是等比数列．由等比数列前n项和公式得到x4＋x3＋
师：现在把原方程的求解问题转化为x5=1的求解问题，这就是数学中转化
的思想．把未知问题向已知问题转化，从而使未知问题得到解决．
师：这个方程能转化为二项方程吗？
生：……
师：|z|能计算出来吗？
生：由z5=|z|2，知|z|=0或|z|=1．
当|z|=0时，z4=z．解为z=0．
师：这节课我们研究了几类方程的解法？
生：这节课是研究在复数范围内解方程．主要类型有：（1）实系数一元二
次方程；（2）系数不全为实数的一元二次方程；（3）含有|z|，
师：解这几类方程应注意些什么？
生1：对于实系数一元二次方程：当 Δ＞0时，方程有两个相异的实根；当
Δ=0时，方程有两个相等的实根；当 Δ＜0时，方程有两个共
生2：对于系数不全为实数的一元二次方程，根的判别式不再适用，但求
根公式，韦达定理仍然适用．在使用求根公式时，需先计算出 Δ=b2-4ac的平方
根．
法，根据复数相等的充要条件，转化为方程组，从而求出z．特别注意，
在解无理方程时，一定要验根．另外，若方程有实根时，解决问题的方法类似．
生4：对于高次方程的解法，通常要转化为二项方程．在复数范围内解方
程时，n次方程一定有 n个根．
师：这节课通过复数范围内方程的求解过程，我们要进一步体会数学转化
的思想、方程的思想的运用．
作业
1．P214：2，4；P217：16（1），（3），（5）；P218：20（2），
（4）．
2．补充题：
（2）解方程：x2-4ix+5=0；
（3）已知方程x2+mx+1+2i=0（m∈C）有实根，求|m|的最小值．
补充题答案
（1）设z=a＋bi，a，b∈R．a2+b2-3ai-3b=1+3i，则
（2）Δ=（-4i）2-4×5=-16-20=-36．-36的平方根为6i，-6i．
课堂教学设计说明
法．为了保持本教案的完整性将可化为二项方程的高次方程的解法也列入
本教案，教学中可根据情况酌情处理．
本教案中学生答错的地方，带有一定的普遍性，应给予足够的重视．
本教案特别强调展示学生的思维过程，在教师的逐步引导下，诱导学生得
出正确的结论，使学生有水到渠成的感觉．
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