导数与微分的复习课教案 1
教学目的
1．深入理解导数与微分的概念和几何意义；
2．熟练掌握有关的导数公式，求导数的四则运算法则，复合函数和反函数的求导
法则，熟练地掌握求初等函数的导数与微分．
教学重点和难点
熟练地掌握各种求导法则是重点；复合函数、反函数的求导法则以及对数函数的导
数公式，用定义求导数的基本方法是本章的难点．
教学过程
一、内容小结
本章主要内容是导数和微分的概念，求导数和求微分的方法以及微分在近似计算
中的某些应用．
复习时先让学生自己小结本章的主要内容：
它表示在点 x处函数 y对自变量的变化率，它的几何意义是曲线 y＝f(x)在点
(x，f(x))处的切线的斜率．
如果 f'(x0)存在，曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的方程为
y－f(x0)＝f'(x0)(x－x0)；
法线的方程(当 f'(x0)≠0时)为
2．函数 y＝f(x)的微分 dy就是函数的导数 f'(x)与自变量的微分 dx(dx＝Δx≠0)的
积，即
dy＝f'(x) dx．
求函数 y＝f(x)的导数 f'(x)与求函数的微分 f'(x)dx是互通的，即
所以导数也叫做微商．
3．求导法则
设函数 u(x)，v(x)在点 x处有导数，则有：
(1)[u(x)±v(x)]'＝u'(x)±v'(x)；
(2)[c·u(x)]'＝c·u'(x)，(c是常数)；
(3)[u(x)·v(x)]'＝u'(x)·v(x)＋u(x)·v'(x)；
(7)对隐函数 F(x，y)＝0求导数 yx'，把 y看作 x的函数，利用复合函数求导法则去
求．
4．初等函数的导数和微分
求函数的导数或微分的方法叫做微分法．根据定义求导数是最基本的方法，对初
等函数来说，只要根据定义先求一些基本初等函数的导数，再利用求导数(或微分)的四
则运算法则以及复合函数，反函数的求导(或微分)法则，就可以求出任一初等函数的导
数(或微分)，这里，复合函数的求导法则特别重要．应切实掌握．
对教材中列出的十二个基本初等函数的求导公式必须熟记和正确运用．
二、例题分析
通过例题使学生进一步理解和灵活运用所学的基本概念和法则．
例 1 用导数定义求 y＝tanx的导数．
说明：本题目的是进一步熟练用定义求导的三个步骤，三角公式，重要极限的运
用．
解：
例 2设函数
为了使 f(x)在点 x＝1处连续而且可导，应该怎样选取系数 a，b？
说明：本题的目的是使学生进一步理解函数的可导性与连续性的关系，灵活运用
有关概念进行解题．解本题关键是怎样理解 f(x)在点 x＝1处连续而且可导这句话．
分析：由 f(x)在 x＝1处连续，可得，
又 f(1)＝1，故 a＋b＝1．
由 f(x)在 x＝1处可导，可得，
故有 a＝2，求得 b＝－1．
例 3 求下列函数的导数：
说明：对无理函数求导时，通常化为指数形式较为简便；对复合函数求导时，注
意不要丢掉中间变量对自变量的导数．
例 4 求下列函数的导数：
说明：对形如 y＝u(x)v(x)的函数的求导，一般是先取对数，所得 lny是 x的复合函
数，利用复合函数进行求导．
解：(1)∵xy＝yx．∴ylnx＝xlny．
两边对 x求导数，整理得
(2)∵y＝(cosx)sinx，∴lny＝sinxln(cosx)．
两边对 x求导数．
例 4从上口直径为 12厘米，深为 18厘米的锥形漏斗流出溶液，当液面高度从 10
厘米下降到 9.8厘米时，求流出溶液的容积的近似值．
解：如图 2－12设液面高度为 h(t)，液面圆半径为 r(t)，容器内溶液体积为
当液面高度从 10厘米下降到 9.8厘米时，即
当 h＝10(厘米)，Δh＝9.8－10＝－0.2(厘米)．
答：流出溶液的容积约为 6.98立方厘米．
三、布置作业
1．求下列函数的导数：
2．求下列函数的微分：
4．求隐函数 x2＋2xy－y2－2x＝0在 x＝2点处的导数．
已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c通过点(1，1)，而且在点(2，－1)处与直线
y＝x－3相切，求 a，b，c的值．
6．一锥形容器，半锥角为 30°，试求：
(1)灌水时，水的体积V对水面高度 h的变化率；
(2)体积V对水面截面圆的半径 r的变化率．
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