0 0 类别 : 教案

数列极限的运算法则教案 1 教学内容： 1．数列极限的四则运算法则； 2．运用四则运算法则求数列的极限． 教学目标： 1．使学生理解数列极限的四则运算法则，并能运用极限的四则运算法则求 数列的极限； 2．通过数列极限的求解中转化的思想和分类讨论的思想的运用，培养学生 思维的灵活性、科学性和批判性； 3．通过数列极限的求解，帮助学生进一步认识极限的思想和方法，培养学 生有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证观点． 教学过程 一、课题引入 给出如下几个数列，请学生求出它们的极限． (1) 1 2 ， 2 3 ， 3 4 ，…， n n 1 ，… ； (2)       4 523 2 2 n nn ； (3)  nnn 22  ． 学生运用数列极限的定义，一般都能求出数列(1)的极限为 1．但对(2)， (3)的极限的求解，感到束手无策，求知的欲望驱使学生迫切地希望获得求解的 方略（这正是教师有意识地设置(2)，(3)两题所希望出现的局面）．此时，教 师趁热打铁，顺水推舟，指出通常求极限的问题比较复杂，仅凭定义来确定极 限是不方便的，因此我们需要研究数列极的运算方法，并以此引出课题─── 数列极限的四则运算法则．考虑到不必证明，故随即开门见山地给出数列极限 的四则运算法则． 二、知识讲解 上述课题引入的过程也是给出数列极限的四则运算法则的过程，设疑的目 的是为了激发学生的求知欲．数列极限的四则运算法则如下： 如果 Aann lim ， Bbnn lim ； 即么 nlim（ na nb ）=A·B； nlim B A b a n n  （B≠0）． 特别地，如果C是常数，那么， n lim（C · an）= nlim C · nlim an = C ·A． 对数列极限的四则运算法则，我们作如下说明： 1．四则运算法则的每一个式子中都有两种运算，即加法运算和极限运算； 减法运算和极限运算；乘法运算和极限运算；除法运算和极限运算．四则运算 法则的实质是每个式子中两种运算先后顺序的可交换性．例如，第一个式子表 明，先求an与bn的和，再求这个和的极限，与先分别求an、bn的极限，再求这两 个极限的和实质上是等效的，等等． 2．数列｛an｝、｛bn｝的极限必须存在，才能用此法则． 3．加、减、乘的运算法则可推广到任意有限个数列（强调仅仅是有限个数 列）的情况． 4．对于商的极限的情形，作为分母的数列的极限不能为零． 三、例题分析 作为数列极限四则运算法则的应用，并兼顾方法和技能的培养，可选配如 下例题： 例1．已知 nlim an=5， nlim bn=3，求 nlim（3an－4bn）． 通过本例的求解训练，可使学生熟练极限的四则运算法则．事实上， 原式= nlim 3 an－ nlim 4bn=3 nlim an－4 nlim bn=3×5－4×3=3． 例2．求：(1) nlim（5＋ n 1 ）； (2) nlim 23 12 2   n n ． 本例是数列极限四则运算的简单应用．对于(1)，可直接使用法则；对于 (2)，由于分子、分母的极限均不存在，因此不能直接运用商的极限法则，而需 要作适当的变形，使之具备运算法则的条件．为此，将分子分母同除以n2即可． 解：(1) 原式= nlim 5＋ nlim n 1 =5＋0=5 (2) 原式= nlim 2 2 23 12 n nn   =           2 2 23lim 12lim n nn n n = 2 2 2lim3lim 1lim2lim n nn nn nn     03 00   通过本例(2)中的求解，可培养学生逻辑推理能力，以及思维的严密性和科 学性． 例3．求：(1) nlim 4 523 2 2   n nn ；(2) nlim  nnn 22  分析：这是课题引入中的(2)、(3)两小题，它们显然都不具备四则运算法则 的条件．对于(1)，可引导学生仿例 2 (2) 的策略，请学生自行求解．对于 (2)，应先进行分子有理化，再将分子分母同除以n2然后再求极限． 解：(1)原式= nlim 2 2 41 523 n nn   = nlim 2 2 4lim1lim 5lim2lim3lim n nn nn nnn     = 01 003   3 求解本题一个常见的错误是： 原式= 14limlim 5lim2lim3lim 2 2      nn nnn n nn ． 这个解法错误有三处，一是错用了“商”的极限运算法则（事实上分子、分 母的极限都不存在）；二是错用了“和”的极限运算法则（事实上，除了5和4 以外，3n2，2n，n2的极限都不存在）；三是错误地进行了约分运算（事实上， “∞”不是一个确定的数，因而不能进行通常的约分运算）． (2) 原式= nlim nnn n 2 2 2   = nlim n 211 2   =   nnn n 21lim1lim 2lim     = 11 2   =－1． 求解本题一个常见的错误是： 原式= nlim n－ nlim nn 22  =∞－∞=0． 这个解法错误有二处同，一是由于 n与 nn 22  的极限都不存在，因此直 接运用差的极限运算法则是错误的；二是由于“∞”不是一个确定的数，因此 “∞－∞=0”是没有根据的． 例4．求下列极限 （1） nlim（  1 7 1 4 22 nn … 1 13 2   n n ）； （2） nlim [ n（1－ 2 1 ）（1－ 3 1 ）（1－ 4 1 ）…（1－ 1 1 n ）] ． 分析：对于（1），应先求和，然后再求极限；对于（2），应先求积，然 后再求极限． 解：（1）原式= nlim   1 1374 2   n n = nlim   12 53 2 nnn = nlim 22 53 2 2   n nn = nlim 2 22 53 n n   2 3 求解本题一个常见的错误是： 原式= nlim 1 4 2 n ＋ n lim 1 7 2 n ＋…＋ n lim 1 13 2   n n =0＋0＋…＋0＋…=0． 这一解法的错误在于未注意运算法则仅对有限个有极限的数列而言的．而 本题中当 n→∞时，实际上是无穷多个数列了，因此不能运用此法则． （2）原式= nlim（ 4 3 3 2 2 1 n … 1n n ） = nlim 1n n = nlim n 11 1  =1． 通过例3、例4的求解训练，可进一步熟练数列极限的四则运算法则，培养 了学生观察分析能力和运算推理能力，以及思维的灵活性、科学性和批判性，同 是也训练了学生求数列极限的技能和技巧． 四、习　题 1．已知 nlim an=3， nlim bn=5，求下列极限： （1） nlim（2an－5bn＋3）； （2） nlim nn nn ba ba   ． 2．求下列极限： （1） nlim     n n n 4 142 ； （2） nlim 3 23 41 132 n nnn   ； （3） nlim  11  nn ； （4） nlim      3 2 3 2 3 2 3 2 321 n n nnn ． 参考答案 1．（1） －16． （2） － 4 1 ． 2．（1）1． （2）－ 2 1 ． （3）0． 提示：利用分子有理化． （4） 3 1 ．提示：先求和，注意12＋22＋…＋n2= 6 1 n（n＋1）（2 n+1）． 五、小结或总结 本节课主要介绍了数列极限的四则运算法则以及数列极限的求法、四则运算 法则的实质是加、减、乘、除运算与极限运算的可交换性．运用四则运算法则求数 列的极限时，必须注意法则所要求的条件． 六、引申与提高 设 f (n)和φ (n)都是 n的多项式，且 f (n)=ak nk＋ak－1 nk－1＋…＋a1 n ＋a0（ak≠0）， φ (n)=blnl＋bl－1n l－1＋…＋b1n＋b0（bl≠0）（k， Nl ）， 则 nlim    n nf  这一结论可仿本课中例 2（2）及例3（1）的求解方法而获得．利用这一结 = l k b a = 0 不存在 （即 f（n）与 φ（n）最高次项系数之比） （k=l）， （ k ＜ l），（k＞l）. 论，极易解决本单元教学指导库中测试题一（3） 中的问题．事实上， 由题意知，只有 4 1 6  a ， a=－ 2 3 ． 故选 D． 七、思　考　题 设 nlim an=A， nlim bn=B，利用极限定义，证明： nlim（an＋bn）= A＋B． 证明：任给ε＞0， 由于 nlim an=A，故对ε1= 2  ，存在 N1， 当 n＞N1时， Aan  ＜ε1= 2  恒成立． 取N1与 N2中的较大者为 N， 则当 n＞N时，    BAba nn     BbAa nn  ≤ BbAa nn  ＜ε1＋ε2 = 2  ＋ 2  =ε ∴ nlim（an＋bn）= A＋B．