轨迹方程求法提高课教案
教学目标
在学生基本掌握用“直接法”求轨迹方程的基础上，安排一节提高
课，向学生介绍求轨迹方程的别外两种方法，“转化法”和“参数法”．
使学生对轨迹方程的求法有一个较完整和全面的了解，逐步掌握其基本
方法．
教学重点和难点
重点：轨迹方程的三种求法：①直接法；②转化法；③参数法．
难点：参数法中参数的选择和消去．
教学过程设计
(一)本节课是一节专题研究课，专题内容是“轨迹方程的三种基
本求法：直接法，转化法，参数法”，教师举出三个典型题与学生共同
研究，通过三个例题让学生逐渐去体会这些方法的思路，达到在今后学
习中逐步掌握的目的．
上节课我们研究了求轨迹方程最基本的方法──直接法．请大家回
忆一下用“直接法”求轨迹方程的主要步骤．下面用直接法再研究一个
较难的问题．
研究问题1：如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以
A、B为端点的曲线C上任一点到l2的距离与到点N的距离相等，
的坐标系，求曲线段C的方程．(1998年高考题)
解：以l1，l2分别为x轴、y轴，M为坐标原点建立直角坐标系，作
AE⊥l1于E，AD⊥l2于D，BF⊥l2于F，设
A(xA，yA)，B(xB，yB)，N(xN，0)．
依题意：xA=|ME|=|DA|=|AN|=3
∵△AMN为锐角三角形．∴E在线段MN内．
xB=|BF|=|BN|=6．
设P(x，y)是曲线段C上的任一点，依题意有
x2=(x－xN)2＋y2，(xA≤x≤xB，y＞0)．
故曲线C的方程为y2=8(x－2)，(3≤x≤6，y＞0)．
研究问题2：如图，线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，
|AB|=5，点M是AB上一点，且|AM|=2，点M随线段AB的运动而变化，
求点M的转迹方程．(课本118而第7题)
分析：这个问题中有三个动点A、B、M，关键是找到所求轨迹上的动
点与其它动点的坐标之间的关系，而其它动点间存在着明显的关系，于
是进行代入转化，则可求得轨迹方程．
解：设三个动点的坐标分别为M(x，y)，A(x0，0)，B(0，y0)．
∴点M的轨迹方程为4x2＋9y2=36．
我们把这种求轨迹方程的方法叫做“转化法”．“转化法”的核心
是找到所求轨迹上的动点与其它动点坐标间的关系，然后紧紧抓住其它
动点满足的条件，代入进行转化，从而得到所求轨迹的方程．
研究问题3：过A(2，1)的直线和x轴，y轴分别交于M、N两点，求
MN的中点P的轨迹方程．
解：设P点坐标为(x，y)，P点为M、N的中点，找出M、N的坐标．
用点斜式算出MN的方程，y－1=K(x－2)，即Kx－y－2K＋1=0．
令x=0得 M点的坐标(0，－2K＋1)．
这里的K是一个参数，通过它就可找到变量x，y的关系式，现在
想法消去参数K，得到x，y的关系式．
整理得：x－2xy＋2y=0．
∴P点的轨迹方程是x－2xy＋2y=0．
同学们不难发现上面的方法是通过一个参变数做媒介，把所求轨迹
上动点P的横纵坐标，x，y和参数紧紧地联系到一起，消去参数，就得
到x，y的关系式，就是要求的轨迹方程．这种方法叫“参数法”．这
里这个参数非常关键．它是把动点的横、纵坐标联系到一起的桥梁．如
何选择参数，又如何消去参数是个难点，一言难尽．同学们在今后学习
中将会进一步去探索和掌握．
(二)小结：求轨迹方程的三种基本方法．
(1)直接法(2)转化法(3)参数法
由学生给出总结．
(三)作业：
习题7.6 7、8 复习参考题七 A组 19、20、21
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