直线方程在生产实践中的应用教案 1
教学目的
(1)使学生能正确运用二元一次不等式表示区域；正确判定点与直
线的位置关系．
(2)使学生能应用二元一次不等式表示区域的图解法来解决生产实
际中简单的线性规划问题(如合理落料、劳动力调配等)．
(3)通过生产实践的具体问题初步培养学生把实际问题转化为数学
问题的能力，并能灵活运用数学知识和方法解决这些问题的能力．
教学过程
一、知识准备
我们今天研究的课题是“直线方程在生产实践中的应用”．为了更
好地解决这个课题，我们先复习一下有关直线方程的一些最基本的知识．
么，在什么情况下，点P在直线l的上方、在直线l上、在直线l的
下方呢？(让学生回答，并把答案写在黑板上．)
以点P的坐标代入直线方程：
发生什么变化？
当a为负数时，点P在直线的下方；当a从负数趋向零时，点P将
越来越靠近直线；当a=0时，点P在直线上；当a从0逐渐增大时，点
P在直线的上方且离直线越来越远．
二、应用举例
[例 1] 某厂有一批长为2.5米的条形钢材，要截成60厘米和43
厘米长的两种规格的零件毛坯，试找出最佳的下料方案并计算材料的利
用率．
按通常的解法，我们应假设未知数并布列方程或不等式．
解 设每根钢材可截成60厘米及43厘米长的毛坯各为x、y根．按题
意得不等式
0.6x＋0.43y≤2.5，
即
0.6x＋0.43y－2.5≤0．①
只根据一个二元一次不等式能够求出最佳的下料方案中的x、y吗？
想想看．
(教师启发引导．)
从几何意义上解释，求最佳的下料方案的实质就是在直线的下方或
在直线上找到
在平面直角坐标系中，画出直线0.6x＋0.43y－2.5=0，如图1所
示．
真的要在那么大的范围内找吗？不．因为毛坯的个数不能为负数，
所以x、y都只能是非负整数，就是说：以不等式①的解作坐标的点必须
是在直线的下方，且在第一象限包括边界在内的区域上，最靠近直线或
者就在直线上的整点．
点(2，3)最靠近直线，所以x=2，y=3，且有
0.6×2＋0.43×3＝2.49，
最接近2.5，因而废料最少，所以，点(2，3)所表示的方案是最佳
的下料方案．
材料的利用率是
答：把每根条钢截出2根60厘米长和3根43厘米长的零件毛坯是
最佳的下料方案，材料的利用率是 99.6％．
请大家再回答一个问题，假如有一个整点刚好在所要求的范围内落
在直线上，这个点所代表的方案在解决实际问题中是不是最佳的方案？
(一定有很多同学回答：是！)真的是最佳的方案吗？
答案应该是否定的，而且这个方案正是浪费最严重的方案，因为任
何切割技术都有切割口的损耗．所以，在生产实际中，还要把切割口的
损耗计算在内．事实上例1的切割口最少是4个，最多是5个．如果切
割口的损耗每次不超过2.5毫米时，原方案仍是最好的方案．如果超过
2.5毫米的话，还得另找最佳方案．
[例 2] 某工厂可以生产甲、乙两套产品，已知生产全套甲种产品需
耗煤 1吨，耗电 200瓩；生产全套乙种产品需耗煤 1吨，耗电 100瓩．
甲产品每套产值为3千元，乙产品每套产值为2.6千元．工厂每月可用
煤 60吨，可用电 1万瓩，问甲、乙两套产品各安排生产多少套才能使工
厂的月产值最大？
怎样解决这类问题呢？一般来说要分两步走：第一步是把题设的数
量及其相互关系用数学式子表达出来，并对整个问题作出数学上的解释；
第二步，运用已经掌握的数学知识和方法解决问题．
解 设计划安排生产甲、乙产品分别为x、y套，根据已知条件显然用
煤和用电都不能超过规定的指标，所以
在满足上列条件的x、y中，求使日产值S=3x+2.6y取最大值的x、y
及相应的 S值．
至此，把生产实际问题转化为数学问题的任务已经完成．下一步是
怎么解？根据解例1的经验，我们不妨在平面直角坐标系中分别作出直
线
x+y=60 ③
和
2x＋y＝100， ④
如图2(图可以预先画好，以节省时间)．根据不等式组的几何意义，
整个问题的实质就是在直线③、④的下方，在第一象限及包括其边界的
区域上找出使 S取最大值的点所表示的解，并求出 S的最大值．
现在，摆在我们面前显然有两大困难．一是区域比较复杂，不是一
条直线的下方，而是两条直线及其下方；二是原来只需选靠近直线上的
点，现在是既要选点并且要根据 S=3x＋2.6y取最大值的情况下选点．
能不能想法解决区域比较复杂这个矛盾呢？
(当同学们提出要把区域分为两部分时，要追问怎样分比较好？并
充分肯定这种分法很有创见．)
要划分区域，就要求出两直线的交点．这可由方程组
于是得到以下两个区域：
现在我们不妨研究怎样在区域(Ⅰ)上选点，才能使 S=3x＋2.6y取
得最大值．事实上，S的最大值要由两个变量来决定，这不好办．根据
最大值的定义，如果能转化为对于所规定的定义域的范围内，总有
S(x)≤a成立[或 S(y)≤a]，其中a为常量，我们就可以判断 a为 S的最
大值了．怎样才能转化为只依赖于一个变量的不等式呢？
(这里应作适当的停顿，其目的是要让同学们有思考的时间，尽量
让同学自己去发现这种变换，而不是由老师把结论交给学生．要创造机
会让学生充分显示并发挥他们的才能．)
把 S=3x+2.6y变形为
y=(S－3x)÷2.6．
代入x＋y≤60，得
2.6x+S－3x≤60×2.6．
∴ S≤0.4x＋60×2.6．
因为区域(Ⅰ)满足 0≤x≤40，所以
同理，以y=(S－3x)÷2.6代入2x＋y≤100，整理得
S≤100×2.6－2.2x．
因为区域(Ⅱ)满足 40≤x≤50，所以
答：生产甲种产品 40套，乙种产品 20套时，工厂可以达到最高月
产值 17.2万元．
还有没有别的解法呢？
(也按上面的处理方法，让同学们有时间思考．估计下面的方法学
生较难想出，主要立足于老师引导．)
如果我们把 S的表达式变形为
在整个区域上找到一点使直线的截距为最大就可以了．这样就不难
找到点(40，20)正好使直线获得最大的截距，如图3．
三、小结和练习
小结：(1)所举的两个例子都是关于增产节支的生产实践问题．增
产节支要靠科学的方法寻求最优方案．要做到学以致用，我们所学的很
多知识都可以在科学研究、生产实践、今后的再学习上发挥很大的作用．
(2)运用数学知识解决生产实际问题，一般地说有两个问题必须认
真解决．第一，要把生产问题转化、抽象、提炼为数学问题，列出数学式
子并能对整个问题作出合理的数学解析；第二，要以科学知识为依据，
善于灵活地创造性地运用科学的知识解决问题．
(3)解决合理落料、劳动力调配等简单线性规划问题的步骤大致可
归结为：由条件列出不等式组；画出不等式组所示区域；用图解法找出
最值点，并计算最值．
现在，请大家做下面的练习题：
已知每袋面粉重 50公斤，每袋大米重 210公斤，用载重量为 720公
斤的小车运输．
(1)试找出车运效率最高的运输方案；
(2)若有面粉 250袋，大米600袋，试问怎样的运输方案才是最佳
的运输方案，运输效率是多少？
(由学生自己独立完成，教师巡视，并适时作些提示，最后与学生
对答案．)
提示：设每次装运面粉为x袋，大米y袋，按题意列出
5x+21y≤72．作出直线5x＋21y=72．找出最靠近直线的整点(1，3)，
(6，2)，(10，1)．
答案：(1)每次运大米2袋，面粉 6袋，效率是100％．
(2)最优方案是先每次运1袋面粉 3袋大米，待大米全部运完后，
再每次运面粉 14袋至运完为止，总次数为204次，运输效率是
94.3％．
四、布置作业
课本习题：略．
补充题：
某工厂可以生产甲、乙两种机床，每生产甲种机床一部要用煤 2吨，
电 100瓩，劳动力2个，产值为3千元；乙机床每部用煤 2吨，电 50瓩，
劳动力2.5个，产值为2.5千元．已知工厂每月可用煤 120吨，电 500
瓩，有劳动力140人，问两种机床各生产多少套才能使工厂的月产值最
高？
教案说明
(1)课堂教学形式宜用问答式，教学方法拟用探索法，由老师起主
导作用，尽量让学生寻求解决问题的方法，对学生的创见应予充分肯定．
虽然只有3道题，但难度较大，时间偏紧．除例2需详解外，例1
可以不必板书．图形与题目可先在小黑板上准备好或用幻灯处理，着重
抓思想方法和解题方法．
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