直线和平面垂直教案 1
教学目的
使学生熟悉直线和平面垂直的基本命题及其证明．
教学过程
一、复习提问
1 ．空间两条直线有哪几种位置关系？
2．经过一点和一条直线垂直的直线有几条？
3．空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？
4．当直线和平面相交时，这直线和这平面内的直线有哪几种位置关系？
(学生回答上述问题后，教师指出：本单元的学习内容是直线和平面相交的一种特
殊情形——直线和平面垂直．研究这种关系要从直线和直线的垂直关系入手．现在我
们先观察一个模型，从中来发现直线和直线垂直的一些规律．)
二、制作模型，引导猜想
(让学生在纸上画一个平面四边形ABCD，对角线AC垂直且平分 BD，如图
1．)
师：这样的四边形的边有什么性质？(AB=AD，CB=CD．)根据是什么？(平面几
何定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．)反过来，如果一个
平面四边形ABCD的边满足AB=AD，CB=CD，这个四边形的对角线有什么性质？
(AC垂直并且平分BD．)根据是什么？(上述定理的逆定理：和一条线段的两个端点距
离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．)
通常把这样的平面四边形叫做“筝形”．
(让学生把画出的筝形沿BD折成空间四边形，放置成图 2位置．观察这个模型：
连结AC，AC、BD是空间四边形的两条对角线；原来筝形的对角线AC折成两条线段
OA、OC．)
师：在这个模型里有哪些直线具有垂直关系？
(学生易知 BD⊥OA，BD⊥OC．引导学生进一步提出猜想：BD⊥AC．
引导学生把猜想表述成命题形式．)
命题 1：平面四边形 ABCD中，如果 AC垂直平分BD，沿BD将平面四边形折
成空间四边形，那么空间四边形的两条对角线互相垂直．(命题 1的正确性有待证明．)
师：在图 2中，过OA、OC作平面α，那么在平面α中的哪些直线和 BD垂直？
(学生将模型和直观图对照，经过观察、思考，提出第二个猜想：BD和平面α内
的任何一条直线都垂直．引导学生把第二个猜想表述成命题．)
命题 2：平面四边形 ABCD中，如果 AC垂直平分 BD(交点为 O)，沿 BD将
平面四边形折成空间四边形，又过 OA、OC作平面α，那么 BD和平面α内的任何
一条直线都垂直．
师：命题 2的结论包含了命题 1的结论．因此只须证明命题 2成立．
三、指导学生证明命题
师：对于平面α内不经过点O的直线，可以过点O作它的平行直线．所以，只
要证明图 3中的任意直线OE，有BD⊥OE(设 E为OE与AC的交点)．
[学生思考证明方法，教师巡视并对下列问题根据需要作个别提示：
(1)OA、OC和线段BD是什么关系？(OA、OC垂直平分BD．)
(2)从结论上看，OE与线段BD应当有什么关系？(OE垂直平分 BD．)
(3)怎样证明OE是BD的垂直平分线？(只要证 BE=DE．)
(4)怎样利用AB=AD，CB=CD证明BE=DE？(利用全等三角形性质．)
学生叙述证明过程；教师板书主要步骤．]
参看图 4：
即BD垂直于过OA、OC所作平面α内的任何一条直线．
四、回顾，推广，总结
师：前面我们用“筝形”折成空间四边形，发现并且证明了其中直线和直线垂直
的规律——命题 2．这个命题可以简记为：
现在我们再考虑：是不是只有用筝形作成的空间四边形才能得出上面的结论呢？
(学生思考、讨论，提出第三个猜想：用对角线互相垂直的平面四边形折成空间四
边形也能得出同样的结论．教师引导得出如下命题．)
命题 3：平面四边形 ABCD中，如果 AC垂直 BD，垂足为O，沿BD将平面四
边形折成空间四边形，又过OA、OC作平面α，那么BD 和平面α内的任何一条直线
都垂直．
简记为：
师：怎样证明命题 3？从表面上看，点 O不是 BD的中点(这和命题 2不同)，
但是我们可以在 OB的反向延长线上截取 OD'=OB，连结 AD'、CD'(图 5)，就可以
用命题 2的证法来证明命题 3．
比较命题 2与命题 3可知，把BD看作是直线 l上的一条线段，那么OB=OD可以
在 l上截得，于是我们可以去掉命题 2中的这个附加条件，保留这两个命题中的直线和
直线垂直关系，叙述成下面命题：
基本命题：如果一条直线(l)和一个平面(α)相交，并且和平面内过交点(O)的两条
直线(m、n)都垂直，那么这条直线就和这个平面内的任何一条直线(g)都垂直(图 6)．
(经过取点，作辅助线构成图 4，即可按命题 2的证明过程完成证明．)
师：基本命题包括了前面三个命题，它给出了直线和直线垂直关系之间的相互联
系，显示了直线与平面相交的一种特殊情况．
五、布置作业
课本习题：略．
思考题：
用平面四边形沿一条对角线折成空间四边形，要使空间四边形的两条对角线互相
垂直，原来的平面四边形必须具备什么条件？证明你的猜想．
教案说明
(1)指导思想．高一立体几何课本“直线和平面垂直的定义及判定定理”的内容，
当讲到判定定理的证明时，教材难度突然增大．表现在：第一，定理采取了最一般的
叙述，论证层次多；第二，构图复杂，辅助线多；第三，在立体几何问题中运用平面
几何知识多．这对于初学者往往成为难以逾越的障碍．如果采用传统的教法照搬教材，
出示现成的教具，学生必将处于被动地位，不能真正理解和掌握教材内容．
针对上述情况，安排了本节学习“直线和平面垂直”的预备课．
教材要作适当处理，把判定定理简化为基本命题(见教案)作为本节课的教学内容，
使它在线线垂直到线面垂直的过渡中起着承上启下的关键作用．
教学过程的设计体现引导发现法．用学生自制的模型创设问题情境，按照观察—
—猜想——证明——总结的步骤，从平面到空间，从具体到抽象，从特殊到一般，让
学生自己发现基本命题及其证明，从中受到认识空间图形的综合训练，为后继学习打
下基础．
(2)通过学生自制模型，创设问题情境．用筝形折成空间四边形这个模型，有助于
学生克服学习难点．因为：第一，模型中蕴含着直线和平面垂直的基本命题；第二，
模型呈现了证明基本命题所用构图的主体骨架；第三，认识筝形能自然联想起有关的
平面几何知识，而这些知识恰好是本节课作证明时所必需的．
模型能提供适当的问题情境．学生对一般的空间四边形比较熟悉．研究筝形折成
空间四边形中的对角线垂直关系，属于欲知未知的问题，有一定难度，但能够“跳一
跳，摘得到”，因此易于激发学生的学习积极性．
(3)提出猜想，从直观开始．学生在制作模型中看到：所谓“沿BD将平面四边形
ABCD折成空间四边形”，实际上就是以BD为轴将三角形ABD或三角形CBD在空
间旋转而成．在旋转中，BD⊥OA，BD⊥OC保持不变．下一个考察目标是空间四边
形的对角线AC．学生联想异面直线所成角的意义，动手操作或仅在想象中将 AC平
移通过点 O，经过测量或估计得出第一个猜想：BD⊥AC．
第二个猜想要在直观图中完成．考察对象涉及平面α内的所有直线．学生先考虑
个别直线，再经过归纳或仅仅凭借直觉都可以得出结论．学生所经历的观察、联想、猜
想的过程是一个充满创造性的探索过程．这种活生生的思维过程本身极富有教育意义．
在数学教学中应当尽量给学生提供这样的机会，让学生的能力受到锻炼，得到发展．
学生提出的猜想不仅要表述成数学命题，而且还要经过严格论证，使学生的思维
提高到正确演绎推理的水平上来．
(4)证明命题 2，要集中思考如何打通条件和结论之间的逻辑通道．为了叙述简便，
在命题 2的证明中，我有意回避了结论为BD⊥AC的情形．事实上，此时只要过点O
作OE'∥AC，OE'与AC无交点．我们可以取定点 E'，连结 OE'交直线 OA于 A'，
以A'代替A即可证明．当证法推广运用于基本命题时，上述情况自然包含于一般性的
证明之中．
(5)从命题 2到基本命题，可以有两条思考途径．其一是就命题 2的条件进行分析．
由于 OB=OD能在 l上截得，这一条件可以从前提中去掉，而在作辅助图形时给出，
于是提炼出基本命题．本节课采取了另一条途径．通过命题 2与命题 3的比较，提取
其共同因素，概括出基本命题．命题 2的证明也随之迁移到基本命题上来．这种讲法
比较适合多数学生的认识水平．
从命题 1到基本命题是逐步深化的．命题 1到命题 2是结论的普遍化；命题 2到
命题 3是条件的简化．基本命题摆脱了空间四边形的具体模型，从中抽取了线线垂直
的相依关系．基本命题具有高度概括、简单和谐、普遍适用的特征，体现出了数学美．
(6)思考题与本节课采用的模型有密切联系，可以促使学生回顾本节课学习的全过
程，强化学习的效果．
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