含绝对值符号的不等式证明教案 1
教学目标
1．掌握绝对值的基本性质，在学会一般不等式的证明的基础上，
学会含有绝对值符号的不等式的证明方法．
2．通过含有绝对值符号的不等式的证明．进一步巩固不等式的证
明中的由因导果、执果溯因，……等数学思想方法．通过证明方法的探
求，培养学生勤于思考，全面思考的思考方法．
3．通过含有绝对值符号的不等式的证明，可培养学生辩证思维的
方法和能力，以及严谨的治学精神．
教学重点与难点
理解掌握定理 1，及其证明方法是这节课的重点也是难点，对定理
1的指导论证不仅重在结论，更重要是重视结论的探求推导过程．捕捉
住推证这个时机，启发学生用辩证的思想方法，去探求解决矛盾的途径．
教学过程设计
(一)复习
师：我们在初中学过绝对值的有关概念．哪位同学来说说绝对值的
定义？
生：当 a∈R时，则有：
师：绝对值的几何意义？
生：点A的读数为 a，|a|表示A点到原点的距离．
师：绝对值的运算公式？
生：如果 a＞0，则有：
师：绝对值的基本性质有哪些？
生：当|a|≥0时，若 a≠0，|a|＞0．
师：|a|与±a有什么关系？
生：a＞0时，|a|=a；a＜0时，|a|＞a，|a|=－a；a=0时，|a|=±a，所
以|a|≥±a．
师：|a|2与 a2有什么关系？
生：|a|2=a2．
师：比较－|a|与 a，a与|a|的大小？
生：这需要讨论．
当 a＞0时： 当 a＜0时： 当 a=0时：
|a|＝a |a|＝－a －|a|＝a=|a|
－|a|=－a＜0 －|a|＝a
－|a|＜a＝|a| a＜|a|
－|a|＝a＜|a|
师：由以上大家的讨论，我们可以得到什么结论？
生：－|a|≤a≤|a|．
师：这里对 a有什么要求？
生：a∈R．
(二)新课
师：请大家看式子|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|．这个式子包括两部分：|
a＋b|≤|a|＋|b|(1)；|a|－|b|≤|a＋b|(2)．利用上面的式子－|a|≤a≤|a|，如
何出现含有 a＋b的式子？
生：由－|a|≤a≤|a| ①与－|b|≤b≤|b|②两式相加就有－(|a|＋|b|)≤a
＋b≤|a|＋|b|．③
有什么结论？
生：|a＋b|≤|a|＋|b|．(*)
师：这正是我们要证明的式子的(1)．那么式子(2)我们又如何证明
呢？现在我们考虑(2)式左边|a|与|b|的差的符号有哪些可能？
生：|a|－|b|＞0或=0或＜0三种可能．
师：现在我们就这几种可能进行讨论．当|a|－|b|＜0时，看(2)式是
一个怎样的不等式？
生：绝对不等式，显然成立．
复习的绝对值的基本性质．所以我们可有以下证明：
由－|ab|≤ab≤|ab|，知－|2ab|≤2ab≤|2ab|，则 a2－|2ab|＋b2≤a2＋
2ab＋b2≤a2＋|2ab|＋b2，即|a|2－|2ab|＋|b|2≤(a＋b)2≤|a|2＋|2ab|＋|b|2．所
以(|a|－|b|)2≤|a＋b|2≤(|a|＋|b|)2 ．
又|a|－|b|≥0，则|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|．
由以上证明我们可以看到如论|a|－|b|＜0或|a|－|b|≥0都有|a|－|b|≤|
a＋b|成立．
师：再与(*)合在一起，就有公式：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|成立，这
就是我们要学习的定理 1．
师：对上面的(2)式的证明还有什么其他方法呢？是否可以考虑利用
已经证明的(1)式来证明(2)式呢？
生：可以把 a成 a=a＋b－b，|－b|=|b|，这样就有|a|=|(a＋b)－b|≤|a
＋b|＋|－b|，移项后就有：|a|－|b|≤|a＋b|得到(4)，由(3)(4)便也可得到定
理 1．
师：由于定理 1中对 a，b没有特殊要求．我们如果用－b代 b会有
什么结果？(要求学生自己运算)．下面请一位学生到黑板上完成．
生：(在黑板上做)
因为|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，
用－b代 b，得
|a|－|b|≤|a＋(－b)|≤|a|＋|b|，即|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|．
师：这就是我们今天要学的定理 2．
(三)练习
成）
师：请一个同学上黑板完成其余同学在课堂本上完成．
师：这是一道含有绝对值符号的不等式．但首先是一道不等式的证
明．以前我们学过的不等式证明都有些什么常用的方法？
生：有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、三角代换法等．
师：当我们无从下手时，我们考虑用什么方法？
生：用分析法．
师：那我们用分析法试试．(由学生叙述老师板书)
生：分析法．
+a2b2，只要证 1－a2－b2＋a2b2＞0，只要证(1－a2)(1－b2)＞0．
师：经过以上分析法那我们还可以用什么方法？能不能利用分析的
过程？
生：可以用综合法．
师：那谁来说说如何用综合法证明？
生：综合法．(由学生口述教师写板书)
证明：由|a|＜1，知 a2＜1，则 1－a2＞0；又|b|＜1，则 b2＜1，即 1
－b2＞0，因此(1－a2)(1－b2)＞0．
生：大于或等于．
师：如果从证明那些可能不存在出发证，能用什么方法？
生：反证法．
师：下面请同学用反证法来证明．
生：(学生口述老师书写)
移项：(a＋b)2－(1＋ab)2≥0，1＋a2b2－a2－b2≤0，即(1－a2)(1－
b2)≤0．
证法 1：从定理 1出发，利用放缩法．
当 a＋b=0时，不等式显然成立；
证法 2：
由|a＋b|≤|a|＋|b|，知|a|＋|b|－|a＋b|≥0．
证法 3：(考虑构造函数)
通过例 2的证明计算的启发，让学生运用已学过的定理，及其它已
有的知识技能进行演算，通过演算启发学生认识定理 1及其他有关数学
知识．
(四)作业 P28：练习 4，P30：9，10．
课堂教学设计说明
含有绝对值不等式的证明的学习，是在学生掌握了不等式的几种基
本方法的基础之上展开的．这部分先复习绝对值的定义及几何意义，再
复习绝对值的运算性质和绝对值不等式的基本解法等有关知识．在这基
础上介绍含有绝对值的不等式的两个基本定理，并用不等式证明的基本
方法来证明，要求学生了解这两条定理形式上虽有不同，但实质是等价
的．当用－b代替 b时，可由一个推出另一个，而重要的是证明定理
1，通过例题初步会用不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|解决一些简单问题．
在用定理证明例 2时，引导学生多种思路，采用前面已经讲过的不等式
证明中的基本方法和数学思想方法，培养学生分析问题、解决问题的能
力．例 3是根据绝对值不等式的定理采用放缩变换的方法，掌握处理好
含有绝对值不等式的常用方法，这也是提高逻辑推理能力的内容之一．
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